Il s'agit de l'UE MU4MA011 du Master 1 de mathématiques.

Les cours avaient lieu le jeudi de 10h45 à 12h45 et le vendredi de 8h30 à 10h30.

Le cours s'appuie sur des notes de cours et sur un fascicule d'exercices.

Vous pouvez aussi consulter ces autres notes de cours, écrites par moi, en anglais, qui contiennent quelques coquilles, mais sont plus proches de la manière dont j'ai expliqué les choses en cours.

Dans cette version du fascicule d'exercices, vous trouverez en plus des énoncés des indications de solutions pour les exercices.

Le cours sera évalué par deux interrogations, un partiel, et un examen.

• Les interrogations ont été organisées par les enseignants de TD et ont eu lieu pendant un TD. Chaque interrogation a été notée sur 10.
• Le partiel a eu lieu le 27 octobre et a été noté sur 30.
• L'examen aura lieu le mardi 9 janvier de 14h à 17h dans l'amphi B3. Il sera noté sur 50.

Pour les étudiants inscrits en présence à ce cours, la note est calculée comme suit : on posera ${\sf CC}={\sf I}_1+{\sf I}_2+{\sf P}$, et ${\sf N}=\max({\sf CC}+{\sf E},2{\sf E})$.

Pour les étudiants inscrits à distance à ce cours, la note est ${\sf N}=2{\sf E}$.

Les étudiants inscrits à distance ayant participé au partiel auront leur copie corrigée, mais leur note ne comptera pas.

L'examen a au lieu le mardi 9 janvier 2024.

Le programme consistait en l'ensemble du contenu du polycopié en français disponible ci-dessus, à l'exception des sections 2.8 et 2.9 (pages 48 à 52) et 3.7 (bas de la page 85 à la page 88).

• 2016-17 — Session 1 : sujet, corrigé. Session 2 : sujet, corrigé.
• 2017-18 — Session 1 : sujet, corrigé. Session 2 : sujet, corrigé.
• 2019-20 — Session 1 : sujet, corrigé. Session 2 : sujet, corrigé.
• 2020-21 — Session 1 : sujet, corrigé. Session 2 : sujet, corrigé. Partiel : corrigé.
• 2021-22 — Session 1 : sujet, corrigé. Session 1 bis : sujet, corrigé. Partiel : sujet, corrigé. Session 2 : sujet, corrigé.
• 2022-23 — Session 1 : sujet, corrigé. Partiel : sujet, corrigé. Session 2 : sujet, corrigé.
• 2023-24 — Session 1 : sujet, corrigé. Partiel : sujet, corrigé.

• 2020-21 — Interrogation 1 : sujet, corrigé. Interrogation 2 : sujet, corrigé.
• 2021-22 — Interrogation 1 : sujet, corrigé. Interrogation 2 : sujet, corrigé.
• 2021-22 — Interrogation 1 : sujet, corrigé. Interrogation 2 : sujet, corrigé.

07/09 – Présentation générale du cours.

“Chapitre 0” introductif.

Tribus. Tribu engendrée, par une partition, par une topologie. Tribu produit.
Comparaison de ${\mathscr B}_{\mathbb R^2}$ et ${\mathscr B}_{\mathbb R}\otimes {\mathscr B}_{\mathbb R}$.
Tout ouvert de $\mathbb R^2$ est une réunion dénombrable de rectangles ouverts, donc ${\mathscr B}_{\mathbb R^2} \subseteq {\mathscr B}_{\mathbb R}\otimes {\mathscr B}_{\mathbb R}$.

08/09 – Applications mesurables, tribu engendrée par une application, tribu image d'une application. Applications à valeurs dans un espace produit. Applications continues.
Classe monotone : $\pi$-systèmes, $\lambda$-systèmes, lemme de la classe monotone.
Applications : caractérisation de la loi d'une variable aléatoire réelle par sa fonction de répartition, unicite de la mesure produit.

14/09 – Variables aléatoires, loi, espérance. Variables aléatoires positives, intégrables. Changement de variable abstrait.
Indépendance d'une famille de tribus, de variables aléatoires, d'événements.
Caractérisation de l'indépendance de variables aléatoires par la factorisation des espérances et par leur loi jointe.
Vérification de l'indépendance de tribus sur des $\pi$-systèmes générateurs. Regroupement par paquets.
Énoncé de la loi du 0-1 de Kolmogorov.

15/09 – Démonstration de la loi du 0-1 de Kolmogorov. Application à la limite presque sûre de la suite des moyennes empiriques d'une suite i.i.d.

Chapitre 1. Espérance conditionnelle.

Définition de l'espérance conditionnelle.
Cas de la tribu pleine, d'une tribu par rapport à laquelle $X$ est mesurable.
Cas de la tribu triviale, d'une tribu indépendante de $X$.
Une fonction est mesurable par rapport à la tribu triviale si et seulement si elle est constante.

21/09 – Cas d'une tribu engendrée par un événement non trivial.
Cas d'une tribu engendrée par une partition finie de l'espace.
La tribu engendrée par une partition finie de l'espace peut être vue comme étant engendrée par une variable aléatoire $Z$. L'espérance conditionnelle de $X$ sachant cette tribu est une fonction de $Z$.

22/09 – Cas d'une tribu engendrée par une partition infinie dénombrable.
Une variable aléatoire intégrable $\mathscr G$-mesurable est entirèrement déterminée (presque sûrement) par ses intégrales sur tous les éléments de $\mathscr G$.
Unicité presque sûre de l'espérance conditionnelle.
Existence de l'espérance conditionnelle pour une variable aléatoire de carré intégrable, construite comme une projection orthogonale.

28/09 – Existence de l'espérance conditionnelle pour toute variable aléatoire intégrable.
Cas où la sous-tribu est engendrée par une variable aléatoire.
Toute variable aléatoire réelle $\sigma(Z)$-mesurable est de la forme $h(Z)$ pour une fonction mesurable $h$.
La fonction $h$ telle que $\mathbb E[X|\sigma(Z)]=h(Z)$ est unique $P_Z$-presque sûrement et ne dépend que de la loi du couple $(X,Z)$.

29/09 – Méthode de la fonction muette.
Calcul de l'espérance conditionnelle $\mathbb E[X|\sigma(Z)]$ lorsque la loi du couple $(X,Z)$ admet une densité.
Liste des propriétés d'usage courant de l'espérance conditionnelle.
Expression de $\mathbb E[g(X,Y)|\mathscr G]$ lorsque $X$ est $\mathscr G$-mesurable et $Y$ indépendante de $\mathscr G$.
Calcul de $\mathbb E[X|\mathscr G,\mathscr H]$ lorsque $\mathscr H$ est indépendante de $\sigma(\mathscr G,X)$.
Cas des vecteurs gaussiens.

05/10 – Espérance conditionnelle des variables aléatoires positives : existence, unicité, propriétés.
Si $(X_n)_{n\geq 1}$ est une suite de variables aléatoires i.i.d. intégrables, et si pour tout $n\geq 1$ on note $S_n=X_1+\ldots + X_n$, alors pour tout $n\geq 1$, $\mathbb E\Big[\frac{S_n}{n}\Big| \sigma\big(\frac{S_k}{k} : k\geq n+1\big)\Big]=\frac{S_{n+1}}{n+1}$.

Chapitre 2. Martingales.

Filtrations, processus stochastiques, filtration naturelle d'un processus, processus adaptés à une filtration.
Martingales, sous-martingales, sur-martingales.
Combinaisons linéaires de (sous-)martingales. Maximum de deux sous-martingales.

06/10 – Image convexe d'une martingale, image convexe croissante d'une sous-martingale.
Martingales par rapport à la filtration dyadique.
Temps d'arrêt. Exemples : temps constant, premier temps d'atteinte.
Processus arrêté. Le processus arrêté d'une sous-martingale est une sous-martingale.

12/10 – Tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt.
Si $S\leq T$, alors $\mathscr F_S \subseteq \mathscr F_T$. En général, $\mathscr F_{S\wedge T}=\mathscr F_S\cap \mathscr F_T$.
Si $X$ est un processus adapté, alors $X_T {\bf 1}_{\{T<\infty\}}$ est $\mathscr F_T$-mesurable.
Théorème d'arrêt : si $X=(X_n)_{n\geq 0}$ est une sous-martingale, si $S$ et $T$ sont deux temps d'arrêt bornés, et si $S\leq T$, alors $\mathbb E[X_T|\mathscr F_S]\geq X_S$.

13/10 – Étude de cas : la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$, le problème de la ruine du joueur.
On considère la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$ issue de $a>0$. On se donne $b>a$. On pose $T=\inf\{n\geq 0 : X_n=0 \text{ ou } X_n=b\}$.
Alors $T$ est fini presque sûrement, mais pas borné (sauf si $b=2$). On a $\mathbb E[X_T]=a$, donc $\mathbb P(X_T=b)=\frac{a}{b}$.
On considère le cas où $a=1$ et on pose $S=\inf\{n\geq 0 : X_n=0\}$. Alors $S$ est fini presque sûrement, mais on a $0=\mathbb E[X_S]\neq 1=\mathbb E[X_0]$.
En particulier, $S$ n'est pas intégrable, sinon la convergence presque sûre de $X_{S\wedge n}$ vers $X_S$, qui est dominée par $S+1$, conduirait à l'égalité $0=1$.

Fin du programme du partiel

19/10 – Processus prévisibles. Intégration stochastique discrète d'un processus prévisible par rapport à une (sous-)martingale.
Pour une sous-martingale, équivalence entre le fait d'être bornée dans $L^1$ et le fait d'avoir des parties positives bornées dans $L^1$.
Énoncé du théorème de convergence presque sûre des sous-martingales bornées dans $L^1$.
Nombre de montées d'une suite. Caractérisation de la convergence.

20/10 – Lemme des montées de Doob.
Démonstration du théorème de convergence presque sûre des sous-martingales bornées dans $L^1$.
Exemple de la marche aléatoire sur $\mathbb Z$ isuue de $1$ et arrêtée lorsqu'elle touche $0$.
Processus de branchements.

26/10 – Étude des processus de Galton-Watson sous-critiques et critiques : extinction presque sûre de la population.
Inégalité maximale de Doob.
Convergence dans $L^p$ des martingales bornées dans $L^p$.

09/11 – Décomposition de Doob d'un processus adapté.
Martingales de carré intégrable. Processus croissant d'une martingale de carré intégrable.
Application au calcul du temps moyen de sortie d'un intervalle pour la marche aléatoire simple.
Application à l'étude de la convergence de la série harmonique avec signes aléatoires.

10/11 – Uniforme intégrablilité.
Définition. Toute famille finie, toute famille dominée dans $L^1$, toute famille bornée dans $L^p$ pour $p>1$, est uniformément intégrable.
Toute suite convergente dans $L^1$ est uniformément intégrable.
Théorème de convergence dominée sur les espaces de probabilité : une suite de variables aléatoires intégrables converge dans $L^1$ si et seulement si elle converge en probabilité et est uniformément intégrable.

16/11 – Pour une martingale, il est équivalent de converger presque sûrement et dans $L^1$, ou de converger dans $L^1$, ou d'être uniformément intégrable, ou d'être fermée.
Si $(\mathscr F_n)_{n\geq 0}$ est une filtration et $Z$ une variable aléatoire intégrable, alors $\E[Z|\mathscr F_n]$ converge presque sûrement et dans $L^1$ vers $\E[Z|\mathscr F_\infty]$.
Martingales rétrogrades. Convergence presque sûre et dans $L^1$.
Application à la démonstration de la loi forte des grands nombres.

17/11 – Chapitre 3. Chaînes de Markov.

Espace d'états, noyau de transition. Produit, puissances de noyaux de transition.
Définition d'une chaîne de Markov. Caractérisation par la loi jointe des $n$ premières variables aléatoires pour tout $n\geq 0$.

23/11 – Exemples de chaînes de Markov : suites i.i.d., marches aléatoires sur $\mathbb Z^d$, marches aléatoires sur des graphes.
Contre-exemples.
Existence d'une chaîne de Markov sur un espace d'états arbitraire avec un noyau de transition arbitraire et un point de départ arbitraire.

24/11 – Espace canonique, processus canonique, tribu cylindrique, filtration canonique.
Applications mesurables à valeurs dans l'espace canonique.
Existence et unicité d'une mesure sur l'espace canonique sous laquelle le processus canonique est une chaîne de Markov de noyau de transition et de point de départ donnés.

29/11 – Environnement markovien.
Propriété de Markov faible, propriété de Markov forte.

30/11 – États récurrents, états transients. Nombre de visites en un état récurrent, en un état transient.
Fonction de Green. Utilisation de la fonction de Green pour montrer que la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$ est récurrente.

07/12 – Relation de communication entre les états. Si un état récurrent $x$ mène à un état $y$, alors $y$ est récurrent et mène à $x$.
Classes de communication, chaînes irréductibles. Si l'espace d'états est fini, il y a un état récurrent.

08/12 – Étude de la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z^2$ et sur $\mathbb Z^3$.

14/12 – Mesures invariantes. La mesure de comptage est invariante pour toute marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$.
Mesures réversibles. Cas de la marche aléatoire biaisée sur $\mathbb Z$. Marches aléatoires aux plus proches voisins sur un graphe.
Existence d'une mesure invariante sur toute classe de communication récurrente (admis).
Pour une chaîne irréductible récurrence, unicité à une constante près des mesures invariantes (admis).
Chaînes irréductibles récurrentes nulles, récurrentes positives. Temps de retour moyen.
Si une chaîne irréductible admet une probabilité invariante, alors elle est récurrente.

15/12 – Exemples de chaînes irréductibles récurrentes positives finies, récurrentes positives infinies, récurrentes nulles.
Exemples de chaînes irréductibles transientes admettant aucune, une, ou plusieurs mesures invariantes.
Théorème ergodique.
Période d'un état récurrent. Dans une chaîne irréductible récurrente, tous les états ont la même période. Chaînes apériodiques.
Convergence vers l'équilibre.

Page mise à jour le 6 février 2024

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