Il s'agit de l'UE MU4MA011 du Master 1 de mathématiques.

Les cours ont lieu le jeudi de 10h45 à 12h45 dans l'amphi 15 et le vendredi de 8h30 à 10h30 dans l'amphi 45 A.


Le cours s'appuie sur des notes de cours et sur un fascicule d'exercices.

Dans cette version du fascicule d'exercices, vous trouverez en plus des énoncés des indications de solutions pour les exercices.


Le cours a été évalué par deux interrogations, un partiel, et un examen.

  • Les interrogations ont été organisées par les enseignants de TD et ont eu lieu pendant un TD. Chaque interrogation a été notée sur 10.
  • Le partiel a eu lieu le vendredi 28 octobre et a été noté sur 30.
  • L'examen a eu lieu le 5 janvier et a été noté sur 50.

Pour les étudiants inscrits en présence à ce cours, la note est calculée comme suit : on posera ${\sf CC}={\sf I}_1+{\sf I}_2+{\sf P}$, et ${\sf N}=\max({\sf CC}+{\sf E},2{\sf E})$.

Pour les étudiants inscrits à distance à ce cours, la note est ${\sf N}=2{\sf E}$.

Les étudiants inscrits à distance ayant participé au partiel auront leur copie corrigée, mais leur note ne comptera pas.


Partiel

Le partiel a eu lieu le vendredi 28 octobre.

Le programme était : espérance conditionnelle, et martingales jusqu'au théorème d'arrêt inclus. Ceci correspond à ce qui a été étudié en cours jusqu'au 14 octobre inclus.

Vous pouvez consulter le sujet et un corrigé.


Examen

L'examen a eu lieu le 5 janvier.

Vous pouvez consulter le sujet et un corrigé commenté.

L'examen de deuxième session aura lieu entre le 30 mai et le 2 juin.


Sujets d'examens passés
Sujets d'interrogations passées

Groupe de Sébastien Martineau

Groupe de Raphaël Roux

David Garcia-Zelada n'enseignait pas ce cours l'an dernier, raison pour laquelle il n'y a pas d'annales pour son groupe.


Déroulement du cours

08/09 – Présentation générale du cours.

Éléments de théorie de la mesure et de probabilités.
Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne, tribu produit. Tribu engendrée par une partition finie, une partition infinie dénombrable, une partition infinie.

09/09 – Mesures, convergence monotone pour les mesures.
π-systèmes, λ-systèmes, lemme de la classe monotone.
La classe de parties sur laquelle deux mesures de probabilité coïncident est un λ-système.
Deux variables aléatoires qui ont la même fonction de répartition ont la même loi. Unicité de la mesure produit.
Applications mesurables, à valeurs dans un espace produit. Applications continue.
Sur R2, la tribu borélienne et la tribu produit des tribus boréliennes sur R sont égales.

15/09 – Intégration des fonctions mesurables positives, convergence monotone, lemme de Fatou. Inégalité de Hölder.
Fonctions intégrables.
Théorème de changement de variable abstrait.
Variables aléatoires, loi, espérance. Formule de transfert.
Indépendance de sous-tribus, de variables aléatoires, d'événements.

16/09 – Les composantes d'un vecteur aléatoire sont indépendantes si et seulement si la loi du vecteur est le produit des lois des composantes.
L'indépendance d'une famille de tribus peut se vérifier sur des π-systèmes générateurs.
Regroupement par paquets de tribus indépendantes.
Loi du 0-1 de Kolmogorov.
Lemme de Borel-Cantelli, convergence presque sûre, loi forte des grands nombres pour des variables aléatoires admettant un moment d'ordre 4.

Vous trouverez ici des notes sur l'indépendance.

22/09 – Chapitre 1. Espérance conditionnelle.
Définition. Cas de la sous-tribu triviale ; d'une sous-tribu indépendante de la variable aléatoire ; de la sous-tribu pleine ; d'une sous-tribu par rapport à laquelle la variable aléatoire est mesurable.
Cas d'une sous-tribu engendrée par un événement ; par une partition finie.

23/09 – Cas d'une sous-tribu engendrée par une partition infinie dénombrable.
Unicité presque sûre de l'espérance conditionnelle.
Cas d'une tribu engendrée par une variable aléatoire : $\mathbb E[X|\sigma(Z)]$ est de la forme $h(Z)$. La fonction $h$ est unique p.s. relativement à la loi de $Z$.

29/09 – La fonction $h$ ne dépend que de la loi du couple $(X,Z)$. Cas où cette loi admet une densité par rapport à une mesure de référence.
Existence de l'espérance conditionnelle : cas $L^2$, où c'est une projection orthogonale, puis cas $L^1$.

30/09 – Espérance conditionnelle des variables aléatoires positives, existence et unicité.
Propriétés de l'espérance conditionnelle : linéarité, positivité, inégalité triangulaire, convergence monotone, lemme de Fatou, convergence domminée,
inégalité de Hölder, inégalité de Jensen, cas où la variable est mesurable par rapport à la tribu, cas où elle est indépendante de la tribu, espérance de l'espérance conditionnelle,
espérances conditionnelles sachant deux sous-tribus, la deuxième incluse dans la première, factorisation d'une variable aléatoire mesurable,
ajout à la tribu sachant laquelle on conditionne d'une tribu indépendante de tout le reste.

06/10 – Chapitre 2. Martingales.
Espaces mesurables filtrés, filtration naturelle d'un processus, processus adapté à une filtration.
Martingales, sous-martingales, sur-martingales par rapport à une filtration.
Multiples d'une sous-martingale, somme et max de deux sous-martingales. Une fonction convexe (resp. convexe croissante) d'une martingale (resp. d'une sous-martingale) est une sous-martingale.
Exemples : martingales fermées, marches aléatoires.

07/10 – Martingales par rapport à la filtration dyadique sur $[0,1[$.
Temps d'arrêt. Somme, maximum, minimum de deux temps d'arrêt. Temps d'arrêt déterminstes, premier temps d'atteinte.
Tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt. Si $S\leqslant T$, alors $\mathscr F_S\subseteq \mathscr F_T$. En général, $\mathscr F_{S\wedge T}= \mathscr F_S\cap \mathscr F_T$.
Évaluation d'un processus adapté en un temps d'arrêt : $X_T {\mathbf 1}_{\{T<\infty\}}$ est $\mathscr F_T$-mesurable.

13/10 – Bref retour sur l'espérance conditionnelle, avec les deux résultats suivants.
Calcul de $\mathbb E[g(X,Y)|\mathscr G]$ lorsque $X$ est mesurable par rapport $\mathscr G$, et $Y$ est indépendante de $\mathscr G$.
Calcul de l'espérance conditionnelle d'une composante d'un vecteur gaussien sachant une autre composante de ce vecteur.
Processus arrêté à un temps d'arrêt. Le processus arrêté d'un processus adapté est adapté. Le processus arrêté d'une sous-martingale est une sous-martingale.

14/10 – Théorème d'arrêt, pour deux temps d'arrêt bornés.
Application à la ruine du joueur. Étant donné deux entiers $a$ et $b$ avec $0<a<b$, pour la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$ issue de a, le temps d'atteinte $T$ de $\{0,b\}$ est fini presque sûrement, et $\mathbb P(X_T=b)=a/b$.
Pour la marche issue de $1$, le premier temps d'atteinte de $0$ est fini presque sûrement, mais d'espérance infinie.

20/10 – Processus prévisibles, intégration stochastique (discrète) d'un processus prévisible par rapport à un processus adapté.
L'intégrale d'un processus prévisible borné (resp. prévisible borné positif) contre une martingale (resp. une sous-martingale) produit une martingale (resp. une sous-martingale).
Énoncé des théorèmes de convergence presque sûre. Pour une sous-martingale, équivalence entre le fait d'être bornée dans $L^1$ et le fait que les espérances des parties négatives soient bornées.

21/10 – Nombre de traversées d'un intervalle par une suite. Une suite de réels admet une limite (éventuellement infinie) si et seulement si elle traverse un nombre fini de fois tout intervalle (resp. tout intervalle à extrémités rationnelles).
Lemme des montées de Doob. Démonstration du théorème de convergence presque sûre.
Exemple des processus de Galton-Watson. Extinction presque sûre dans le cas sous-critique et dans le cas critique.

27/10 – Inégalité maximale de Doob, convergence dans $L^p$ d'une martingale bornée dans $L^p$.

28/10 – Partiel

03/11 et 04/11 – Vacances

10/11 – Décomposition de Doob d'un processus adapté. Martingales de carré intégrable, processus croissant. Uniforme intégrabilité (UI) d'une famille de variables aléatoires intégrables. Une famille UI est bornée dans $L^1$. Une famille finie est UI. Une famille dominée dans $L^1$ est UI. Une famille bornée dans $L^p$ pour un $p>1$ est UI.

11/11 – Férié

17/11 – Une suite convergente dans $L^1$ est UI. Caractéristation équivalente de l'uniforme intégrabilité. La famille des espérances conditionnelles d'une variable aléatoire sachant toutes les sous-tribus de la tribu ambiante est UI. Théorème de convergence dominée probabiliste : une suite converge dans $L^1$ si et seulement si elle converge en probabilité et est UI. Pour une martingale, il est équivalent de converger dans $L^1$, d'être UI, ou d'être fermé.

18/11 – Si une martingale est fermée par une variable intégrable $Z$, alors elle converge p.s. et dans $L^1$ vers $\mathbb E[Z|\mathscr F_\infty]$. Martingales rétrogrades, application à la démonstration de la loi forte des grands nombres.

Chapitre 3. Chaînes de Markov.

Espace d'état dénombrable, noyau de transition. Définition d'une chaîne de Markov. Caractérisation par la loi des premières variables de la suite.

24/11 – Produits et puissances de noyaux de transition.
Existence d'une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur l'intervalle $[0,1]$.
Existence d'une chaîne de Markov de noyau de transition donné sur un espace d'états donné.

25/11 – Exemples de chaînes de Markov : suites i.i.d., marches aléatoires sur $\mathbb Z^d$, marches aléatoires sur un graphe.
Espace des suites d'éléments de l'espace d'état.
Existence et unicité d'une mesure de probabilité sur l'espace canonique sous laquelle le processus canonique est une chaîne de Markov de noyau donné.

01/12 – Propriétés de Markov faible et forte.
Cas où la position au temps d'arrêt est déterministe.

02/12 – Loi du nombre de visites en un état partant de cet état. États récurrents et états transients.
Fonction de Green.
Pour la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$, démonstration du fait que tous les états sont récurrents en calculant la probabilité de retour.

08/12 – Relations de communication entre les états. Si un état récurrent mène à un autre état, cet autre état est récurrent, et mène au premier.
Chaînes iréductibles.
Récurrence de la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z^2$.

09/12 – La marche aléatoire simple sur $\mathbb Z^2$ est récurrente. La marche aléatoire simple sur $\mathbb Z^3$ est transiente.
Mesures invariantes : définition.
Pour une marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$, la mesure de comptage est invariante.
Mesures réversibles. Exemples de la marche aléatoire biaisée sur $\mathbb Z$ et de la marche aléatoire sur un graphe.


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