Probabilités approfondies

Il s'agit de l'UE UM4MA311 du Master 1 de mathématiques, pour l'année universitaire 2025-2026.

Le cours s'appuie sur des notes de cours et sur un fascicule d'exercices, qui seront mis à jour l'an prochain, suite à un allègement du contenu du cours.

Vous pouvez aussi consulter ces autres notes de cours, écrites par moi, en anglais, qui contiennent quelques coquilles, mais sont plus proches de la manière dont j'explique les choses en cours.

Il y a de nombreux ouvrages qui traitent du contenu des trois principaux thèmes du cours, que sont l'espérance conditionnelle, les martingales à temps discret, et les chaînes de Markov à temps discret et à espace d'états dénombrable. Vous pouvez en particulier consulter ceux qui suivent.

Sur la théorie de la mesure et de l'intégration, vous pouvez également consulter

À titre indicatif, voici une liste des notions de théorie de la mesure et de probabilités que nous utiliserons dans ce cours sans les étudier à nouveau en détail. En cas d'inquiétude, cette liste peut vous aider à organiser les lectures ou révisions que vous pourrez faire en début de semestre.

Théorie abstraite de la mesure

  • Tribu sur un ensemble, mesure sur un espace mesurable
  • Fonction mesurable
  • Intégrale d’une fonction mesurable réelle positive
  • Théorème de convergence monotone, lemme de Fatou
  • Inégalité de Hölder
  • Fonction réelle intégrable
  • Theorème de convergence dominée
  • Théorème de Fubini

Théorie des probabilités

  • Espace de probabilité
  • Variable aléatoire
  • Loi d’une variable aléatoire
  • Espérance d’une variable aléatoire intégrable
  • Calculs de loi, d’espérance
  • Indépendance d’événements, de variables aléatoires
  • Suites de variables aléatoires, convergence presque sûre, en probabilité, dans $L^p$
  • Loi forte des grands nombres

Le cours sera évalué par deux interrogations, un partiel, et un examen.

  • Les interrogations sont organisées par les enseignants de TD et ont eu lieu pendant un TD. Chaque interrogation est notée sur 10.
  • Le partiel a eu lieu le jeudi 7 novembre (en lieu et place du cours) et sera noté sur 30.
  • L'examen aura lieu entre le 6 et le 10 janvier 2025. Il sera noté sur 50.

Pour les étudiants inscrits en présence à ce cours, la note est calculée comme suit. On note ${\sf I}_1$ et ${\sf I}_2$ les notes d'interrogation, ${\sf P}$ la note de partiel et ${\sf E}$ la note d'examen. On pose ${\sf CC}=\max({\sf I}_1+{\sf I}_2+{\sf P},\tfrac{1}{2}({\sf I}_1+{\sf I}_2)+\tfrac{4}{3}{\sf P})$. La note finale est ${\sf N}=\max({\sf CC}+{\sf E},2{\sf E})$.

Pour les étudiants inscrits à distance à ce cours, la note est ${\sf N}=2{\sf E}$.

Les étudiants inscrits à distance peuvent participer au partiel, à titre d'entraînement. S'ils le font, leur copie sera notée, mais cette note ne sera pas prise en compte.

Sujets d'examens passés
Des sujets d'interrogations passées
Déroulement du cours

L'avancement du cours sera détaillé ici au fur et à mesure du semestre.

05/09 – Présentation générale du cours.

Chapitre introductif.

Tribus. Tribu engendrée par une classe de parties. Tribu borélienne. Tribu produit. Tribu engendrée par des applications.

06/09 – Tribu image d'une application. Applications continues. Applications à valeurs dans un espace produit.
Tribu engendrée par une partition. (Vous trouverez ici un texte à ce sujet.)
Classe monotone : $\lambda$-systèmes, $\pi$-systèmes, théorème de la classe monotone.

12/09 – Applications du théorème de la classe monotone : caractérisation de la loi d'une variable aléatoire réelle par sa fonction de répartition, unicité de la mesure produit.
Indépendance d'une famille de tribus, de variables aléatoires, d'événements.
Caractérisation de l'indépendance de variables aléatoires par la factorisation des espérances et par leur loi jointe.
Au sujet de l'indépendance, vous pouvez consulter ce texte

13/09 – L'indépendance de tribus peut se vérifier sur des $\pi$-systèmes générateurs. Application : caractérisation de l'indépendance de variables aléatoires réelles par leurs fonctions de répartition.
Regroupement de tribus indépendantes par paquets.
Indépendance de familles infinies de tribus.
Loi du $0$-$1$ de Kolmogorov.
Loi forte des grands nombres pour des variables aléatoires admettant un moment d'ordre $4$.

19/09 – Chapitre 1. Espérance conditionnelle.

Définition de l'espérance conditionnelle.
Cas de la tribu pleine, d'une tribu par rapport à laquelle $X$ est mesurable.
Cas de la tribu triviale, d'une tribu indépendante de $X$.
Cas d'une tribu engendrée par un événement, par une partition finie.

20/09 – Si la sous-tribu est engendrée par une partition finie ou dénombrable, il existe une unique espérance conditionnelle, donnée par une formule explicite.
Non-unicité de l'espérance conditionnelle, unicité presque sûre.

26/09 – La tribu engendrée par une partition finie de l'espace peut être vue comme étant engendrée par une variable aléatoire $Z$. L'espérance conditionnelle de $X$ sachant cette tribu est une fonction de $Z$.
Existence de l'espérance conditionnelle pour une variable aléatoire de carré intégrable, construite comme une projection orthogonale.
Existence de l'espérance conditionnelle pour toute variable aléatoire intégrable.
Cas où la sous-tribu est engendrée par une variable aléatoire.
Toute variable aléatoire réelle $\sigma(Z)$-mesurable est de la forme $h(Z)$ pour une fonction mesurable $h$ (non encore démontré).

27/09 – Toute variable aléatoire réelle $\sigma(Z)$-mesurable est de la forme $h(Z)$ pour une fonction mesurable $h$.
La fonction $h$ telle que $\mathbb E[X|\sigma(Z)]=h(Z)$ est unique $P_Z$-presque sûrement et ne dépend que de la loi du couple $(X,Z)$.
Méthode de la fonction muette.
Calcul de l'espérance conditionnelle $\mathbb E[X|\sigma(Z)]$ lorsque la loi du couple $(X,Z)$ admet une densité.
Liste des propriétés d'usage courant de l'espérance conditionnelle.

03/10 – Calcul de $\mathbb E[g(X,Y)|\mathscr G]$ lorsque $X$ est $\mathscr G$-mesurable et $Y$ indépendante de $\mathscr G$.
Calcul de $\mathbb E[X|\mathscr G,\mathscr H]$ lorsque $\mathscr H$ est indépendante de $\sigma(\mathscr G,X)$.
Calcul de $\mathbb E[X|Y_1,\ldots,Y_n]$ lorsque $(X,Y_1,\ldots,Y_n)$ est un vecteur gaussien.

04/10 – Chapitre 2. Martingales.

Filtrations, processus stochastiques, filtration naturelle d'un processus, processus adaptés à une filtration.
Martingales, sous-martingales, sur-martingales.
Combinaisons linéaires de (sous-)martingales. Maximum de deux sous-martingales. Image convexe d'une martingale, image convexe croissante d'une sous-martingale.
Temps d'arrêt. Exemples : temps constant, premier temps d'atteinte.

10/10 – Martingales par rapport à la filtration dyadique.
Somme, maximum, minimum de deux temps d'arrêt.
Processus arrêté. Le processus arrêté d'un processus adapté est adapté.
Le processus arrêté d'une sous-martingale est une sous-martingale.
Les notes manuscrites de ce cours sont diponibles ici. Un enregistrement vidéo du cours est disponible en suivant ce lien.

11/10 – Tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt.
Si $S\leq T$, alors $\mathscr F_S \subseteq \mathscr F_T$. En général, $\mathscr F_{S\wedge T}=\mathscr F_S\cap \mathscr F_T$.
Si $X$ est un processus adapté, alors $X_T {\bf 1}_{\{T<\infty\}}$ est $\mathscr F_T$-mesurable.
Théorème d'arrêt : si $X=(X_n)_{n\geq 0}$ est une sous-martingale, si $S$ et $T$ sont deux temps d'arrêt bornés, et si $S\leq T$, alors $\mathbb E[X_T|\mathscr F_S]\geq X_S$.
Les notes manuscrites de ce cours sont diponibles ici.
Un enregistrement vidéo du cours est disponible en suivant ce lien.

17/10 – Étude de cas : la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$, le problème de la ruine du joueur.
On considère la marche aléatoire simple sur $\mathbb Z$ issue de $a>0$. On se donne $b>a$. On pose $T=\inf\{n\geq 0 : X_n=0 \text{ ou } X_n=b\}$.
Alors $T$ est fini presque sûrement, mais pas borné (sauf si $b=2$). On a $\mathbb E[X_T]=a$, donc $\mathbb P(X_T=b)=\frac{a}{b}$.
La processus $(X_n^2-n)_{n\geq 0}$ est une martingale. Cette observation permet de montrer que $\mathbb E[T]=a(b-a)$.

18/10 – On considère le cas où $a=1$ et on pose $S=\inf\{n\geq 0 : X_n=0\}$. Alors $S$ est fini presque sûrement, mais on a $0=\mathbb E[X_S]\neq 1=\mathbb E[X_0]$.

Fin du programme du partiel

Pour une sous-martingale, équivalence entre le fait d'être bornée dans $L^1$ et le fait d'avoir des parties positives bornées dans $L^1$.
Énoncé du théorème de convergence presque sûre des sous-martingales bornées dans $L^1$.
Nombre de montées d'une suite. Caractérisation de la convergence.

24/10 – Processus prévisibles. Intégration stochastique discrète d'un processus prévisible positif et borné par rapport à une sous-martingale.
Lemme des montées de Doob.
Démonstration du théorème de convergence presque sûre des sous-martingales bornées dans $L^1$.

25/10 – Application du théorème de convergence presque sûre à l'étude de certains temps d'arrêt.
Processus de branchements.
Étude des processus de branchement sous-critiques et critiques : extinction presque sûre de la population.

07/11 – Partiel.

08/11 – Inégalité maximale de Doob.
Convergence dans $L^p$ des martingales bornées dans $L^p$.

14/11 – Martingales de carré intégrable.
Décomposition de Doob d'un processus adapté. Processus croissant d'une martingale de carré intégrable.
Uniforme intégrabilité.
Toute famille finie, toute famille dominée dans $L^1$, toute famille bornée dans $L^p$ pour $p>1$, est uniformément intégrable.
Une famille uniformément intégrable est bornée dans $L^1$.

15/11 – Uniforme intégrabilité (suite). Une suite convergente dans $L^1$ est uniformément intégrable.
Théorème de convergence dominée pour les espaces de probabilité : la convergence dans $L^1$ équivaut à la convergence en probabilité et l'uniforme intégrabilité.
La famille des espérances conditionnelles d'une variable aléatoire intégrable par rapport à toutes les sous-tribus de la tribu ambiante est uniformément intégrable.
Pour une martingale, il est équivalent de converger presque sûrement et dans $L^1$, de converger dans $L^1$, d'être uniformément intégrable, ou d'être fermée.
Si $Z$ est une variable aléatoire intégrable, alors $\mathbb E[Z|\mathscr F_n]$ converge presque sûrement et dans $L^1$, lorsque $n$ tend vers l'infini, vers $\mathbb E[Z|\mathscr F_\infty

21/11 – Martingales rétrogrades, application loi forte des grands nombres.

Chapitre 3. Chaînes de Markov.

Espace d'état, noyau de transition.
Définition d'une chaîne de Markov sur un espace d'états $E$, de loi initiale $\mu$, de noyau de transition $P$.
Caractérisation par l'égalité $\mathbb P(X_0=x_0,\ldots,X_n=x_n)=\mu(x_0)P(x_0,x_1)\ldots P(x_{n-1},x_n)$.

22/11 – Exemples de chaînes de Markov : suites i.i.d., marches aléatoires sur $\mathbb Z^d$, marches aléatoires sur des graphes.
Contre-exemples.
Existence d'une chaîne de Markov sur un espace d'états arbitraire avec un noyau de transition arbitraire et un point de départ arbitraire.

28/11 – Espace canonique, processus canonique, tribu cylindrique, filtration canonique.
Applications mesurables à valeurs dans l'espace canonique.
Existence et unicité d'une mesure sur l'espace canonique sous laquelle le processus canonique est une chaîne de Markov de noyau de transition et de point de départ donnés.
Environnement markovien.

29/11 – Séance spéciale : histoire des martingales et des chaînes de Markov.

05/12 – Propriété de Markov faible. Propriété de Markov forte.

06/12 – États récurrents, états transients.
Fonction de Green.
Communication entre états. Tout état auquel mène un état récurrent est un état récurrent.
Chaînes irréductibles.

12/12 – Mesures invariantes. La mesure de comptage est invariante pour toute marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$.
Mesures réversibles. Cas de la marche aléatoire biaisée sur $\mathbb Z$. Marches aléatoires aux plus proches voisins sur un graphe.
Existence d'une mesure invariante sur toute classe de communication récurrente (admis).
Pour une chaîne irréductible récurrence, unicité à une constante près des mesures invariantes (admis).
Chaînes irréductibles récurrentes nulles, récurrentes positives. Temps de retour moyen.
Si une chaîne irréductible admet une probabilité invariante, alors elle est récurrente. \\  Théorème ergodique.

13/12 – Période d'un état récurrent. Dans une chaîne irréductible récurrente, tous les états ont la même période. Chaînes apériodiques.
Convergence vers l'équilibre.
La marche aléatoire simple symétrique sur $\mathbb Z$ ou sur $\mathbb Z^2$ est récurrente.
La marche aléatoire simple symétrique sur $\mathbb Z^3$ est transiente.
Exemples de chaînes irréductibles récurrentes positives finies, récurrentes positives infinies, récurrentes nulles.
Exemples de chaînes irréductibles transientes admettant aucune, une, ou plusieurs mesures invariantes.

Page mise à jour le 21 janvier 2025

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