Probabilités approfondies
Il s'agit de l'UE UM4MA311 du Master 1 de mathématiques, pour l'année universitaire 2025-2026.
Le cours d'amphi aura lieu :
- les mercredis, du 3 septembre au 3 décembre inclus (sauf le 29 octobre) de 10h45 à 12h45 dans l'amphi 44
- le jeudi 4 septembre de 08h30 à 10h30 dans l'amphi A2
- un jeudi sur deux du 11 septembre au 23 octobre inclus (donc : les 11/09, 25/09, 09/10 et 23/10) de 10h45 à 12h45 dans l'amphi 45A.
Il y a quatre groupes de travaux dirigés, qui seront assurés par
Le cours, qui était auparavant un cours de 12 ECTS, devient un cours de 9 ECTS. Le contenu du cours sera allégé en conséquence : l'étude de la convergence dans $L^p$ des martingales pour $p>1$, de l'uniforme intégrabilité, et de la convergence dans $L^1$ des martingales, ne sera plus traitée. Cette partie de la théorie des martingales sera traitée au second semestre dans le cours Martingales et contrôle stochastique (UM4MA280).
Dans son ancienne version, à 12 ECTS, le cours s'appuyait sur ces notes de cours et sur un fascicule d'exercices.
Il y avait aussi ces autres notes de cours, écrites par moi, en anglais, qui contiennent quelques coquilles, mais sont plus proches de la manière dont j'explique les choses en cours.
Je mettrai ici en ligne une version mise à jour des notes de cours, écrite par moi, en français, au fur et à mesure du semestre.
Il y a de nombreux ouvrages qui traitent du contenu des trois principaux thèmes du cours, que sont l'espérance conditionnelle, les martingales à temps discret, et les chaînes de Markov à temps discret et à espace d'états dénombrable. Vous pouvez en particulier consulter ceux qui suivent.
- Martingales et chaînes de Markov : théorie élémentaire et exercices corrigés, de Paolo Baldi, Laurent Mazliak et Pierre Priouret.
- Probability with martingales, de David Williams.
- Markov chains, de James Norris.
- Probability and random processes, de Geoffrey Grimmett et David Stirzaker.
- Probability : theory and examples, de Richard Durrett.
Sur la théorie de la mesure et de l'intégration, vous pouvez également consulter
- Théorie de l'intégration : cours et exercices, de Marc Briane et Gilles Pagès.
À titre indicatif, voici une liste des notions de théorie de la mesure et de probabilités que nous utiliserons dans ce cours sans les étudier à nouveau en détail. En cas d'inquiétude, cette liste peut vous aider à organiser les lectures ou révisions que vous pourrez faire en début de semestre.
Théorie abstraite de la mesure
- Tribu sur un ensemble, mesure sur un espace mesurable
- Fonction mesurable
- Intégrale d’une fonction mesurable réelle positive
- Théorème de convergence monotone, lemme de Fatou
- Inégalité de Hölder
- Fonction réelle intégrable
- Theorème de convergence dominée
- Théorème de Fubini
Théorie des probabilités
- Espace de probabilité
- Variable aléatoire
- Loi d’une variable aléatoire
- Espérance d’une variable aléatoire intégrable
- Inégalité de Markov
- Calculs de loi, d’espérance
- Indépendance d’événements, de variables aléatoires
- Suites de variables aléatoires, convergence presque sûre, en probabilité, dans $L^p$
- Loi forte des grands nombres
Le cours sera évalué par des interrogations, un partiel, et un examen.
Sujets d'examens passés
Des sujets d'interrogations passées
Déroulement du cours
L'avancement du cours sera détaillé ici au fur et à mesure du semestre.
Page mise à jour le 28 août 2025