Dans cet exposé, nous introduirons un processus markovien à valeurs mesures modélisant un ensemble fini de réactions biochimiques ayant lieu dans un espace compact continu. Dans sa forme générale, les molécules réagissent lorsqu'elles sont proches les unes des autres ; certaines réactions ou espèces chimiques peuvent être localisées dans l'espace ; certaines espèces chimiques sont abondantes (avec un nombre O(N) de molécules) tandis que d'autres peuvent être rares (avec O(1) molécules). Nous montrerons pour commencer que, lorsque N tend vers l'infini, une version correctement normalisée de la mesure de comptage décrivant l'état du système converge vers un processus markovien déterministe par morceaux à valeurs mesures. Dans un deuxième temps, nous décrirons un théorème central limite associé à cette convergence.

Travail en collaboration avec Lea Popovic (Université de Concordia).

L’étude de certains modèles de mécanique statistique sur des arbres peut parfois se réduire à l’étude d’une “simple” récursion sur des arbres ; c’est par exemple le cas du modèle de percolation FK. Il s’avère que lorsque la récursion est concave, on peut comparer cette récursion à celle vérifiée par des conductances (potentiellement non-linéaires) sur l’arbre. Dans un travail en collaboration avec Irene Auyso Ventura (Créteil), nous avons estimé précisément le comportement asymptotique des conductances non-linéaires d’arbres de Galton-Watson, obtenant ainsi des informations précises sur le modèle de percolation FK sur des arbres aléatoires.

Le modèle de polymères dirigés en milieu aléatoire décrit le comportement d’une longue chaîne de particules, dont la trajectoire est perturbée par la présence d’impuretés disposées aléatoirement. En dimension 2, il est possible de considérer une limite d’échelle du modèle où une transition de phase apparaît. Dans le régime de haute température, on peut alors observer que la fonction de partition se comporte comme un champ gaussien log-corrélé. Dans cet exposé, je tenterai d’expliquer cette analogie, et je présenterai des travaux passés et en cours, en collaboration avec Ofer Zeitouni, Shuta Nakajima, Anna Donadini et Francesca Cottini sur ce sujet.

Dans cet exposé, nous présentons un résultat d'approximation par Poisson composé pour un processus ponctuel, appelé processus des excédents. Ce dernier consiste en l'ensemble des points d'un processus sous-jacent en lesquels un événement de type extrême apparait. La convergence associée à l'approximation est quantifiée en termes de distance de Wasserstein et permet d'étudier divers problèmes d'extrêmes en géométrie aléatoire. Deux applications sont données, la première concernant la distance au plus proche voisin pour un processus non Poissonnien et le second portant sur les petits angles dans une triangulation de Delaunay. Travail joint avec M. Otto.

In this talk we will discuss the properties of a spin system known as the XY model. One of the important results of this model is the existence of a rather specific two-dimensional phase transition known as the Berezinsky-Kosterlitz-Thouless (BKT) transition. From a mathematical point of view, it was proved by Fröhlich and Spencer in 1981 and has recently been the subject of renewed activity following the works of Lammers, van Engelenburg and Lis, and Aizenman, Harel, Peled and Shapiro. We will present the model and some of its properties. We will then address the following question: Does the BKT transition persist when the XY model is subjected to random disorder? And in particular, is it observed for the model placed on an infinite cluster in supercritical Bernoulli percolation? Joint work with Christophe Garban

Le sujet de cet exposé est la récurrence de Kadomtsev-Petviashvili Schwartzienne discrète (dSKP), une récurrence bi-dimensionnelle qui apparaît dans de nombreux contextes. Dans un premier temps, nous prouvons une expression explicite pour la solution en fonction des données initiales; plus précisément, nous montrons que la solution est le quotient de deux fonctions de partition associées à un modèle de dimères orientés; nous prouvons également une solution alternative, utilisant des arbres et forêts complémentaires, qui est utile pour démontrer des résultats de singularités. Ensuite, nous montrons comment cette récurrence apparaît dans de nombreux systèmes géométriques tels que : les fonctions holomorphes discrètes, le recoupage de polygones, ou le pentagram map. Comme conséquence de nos résultats précédents, nous prouvons des expressions explicites pour leurs solutions, et étudions la réapparition de singularités, connue sous le nom de “propriété Devron”. Cet exposé est basé sur deux articles joints avec Niklas Affolter et Paul Melotti.

L'alignement de graphes consiste à retrouver un appariement sous-jacent entre les sommets de deux graphes corrélés. Ce problème peut être vu comme une version bruitée et plantée de l'isomorphisme de graphes. Pour des graphes d'Erdös-Rényi sparse, on donnera tout d'abord des résultats sur les limites fondamentales du problème avec une borne inférieure pour la reconstruction partielle. Ensuite, dans le but de trouver un algorithme en temps polynomial pour reconstruire le signal, un algorithme de message-passing basé sur un test de corrélation dans des paires d'arbres est proposé. Ce problème de détection est étudié à part entière, et nous identifions une transition de phase (asymptotique en le degré moyen) pour la faisabilité de ce test d'hypothèses. Ces résultats informationnels donnent à leur tour des résultats computationnels pour le problème initial d'alignement de graphes.

Neural networks are nowadays trained successfully to solve a large variety of learning tasks. As a core algorithm, the role of the stochastic gradient descent seems to be of paramount importance. Yet, its behaviour is largely not understood, which is in part due to the non convexity and degeneracy of the underlying objective. In this talk, I will present some continuous models that could allow to build a (first) intuition on the problem. A particular emphasis will be put on the role of stochasticity to “lead” the dynamics towards “good” solutions.

The Glauber-Exclusion process, an interacting particle system introduced by De Masi, Ferrari, and Lebowitz, is a superposition of a Glauber dynamics and the symmetric simple exclusion process (SSEP) on a lattice. It was shown to admit a reaction-diffusion equation as the hydrodynamic limit. In this talk, we introduce the information percolation framework invented by Lubetzky and Sly and explain how it can be used to study the mixing times of our process. After defining a notion of temperature regimes via the equation in the hydrodynamic limit, we prove that the mixing times undergo a phase transition known as cutoff for the attractive model in the high-temperature regime. Our result shows a connection between the hydrodynamic limit and the mixing behavior of the large but finite system.

On montre que le pont brownien est une géodésique dans un espace-temps courbe où l'espace est celui des densités de probabilités muni d'une géométrie d'Otto-Wasserstein (transport optimal quadratique) et la courbure créée par l'entropie n'apparait que dans la structure produit de l'espace-temps. On est guidé par une analogie avec le travail d'Elie Cartan qui incorpora en 1923 la théorie newtonienne de la gravitation dans le cadre de la théorie de la relativité générale. Les outils principaux sont les notions de transport quadratique et de transport entropique. Il s'agit d'une collaboration avec Marc Arnaudon.

Ali Ellouze Population dynamics in fresh product markets : Modeling and stability results. We introduce and study a discrete system model for the buyers population dynamics in a market with N competing sellers. Buyers are partly loyal to previously visited sellers and party sensitive to sellers intrinsic attractiveness. The sellers in turn adapt their attractiveness depending of the relative volumes of clientele, introducing a negative feedback in the dynamics. We identify a sufficient condition on the system characteristics, corresponding to the seller reactivity rate, for the local asymptotic stability. Moreover, we provide a counter example of instability when this condition is violated. We finally prove that global stability must occur under a concavity type condition, as long as seller attractiveness is not indifferent. Altogether, our analysis provides mathematical insights into the consequences of introducing feedback into buyer-seller interactions and its diversified impacts on the long term levels of clientele in the markets. https://arxiv.org/abs/2311.03987

Ons Rameh Temps de mélange du processus Zero Range asymétrique sur le segment. Cyril Labbé et Hubert Lacoin ont démontré en 2019 que le processus d'exclusion sur segment présente un cut-off dans le cas asymétrique. En effet, le temps de mélange correspond exactement au temps d'atteinte d'équilibre macroscopique. Comme le processus Zéro range (ZRP) peut être vu comme une relaxation de la règle d'exclusion, il est naturel de se demander si le même type de résultat reste valide. Dans cet exposé, j'expliquerai quels renseignements fournit la limite hydrodynamique sur le temps de mélange du AZRP.

Arthur Stephanovitch Optimal rates of estimation of densities on unknown manifolds. Wasserstein Generative Adversarial Networks have shown outstanding results in various fields but are still poorly understood theoretically. The goal of the presentation is to try to give an explanation to their success by showing that they attain optimal rates of estimation in the case where the target measure has a density with respect to a submanifold.

In this talk I will present our recent work on the Restricted Boltzmann Machine (RBM). RBMs were introduced decades ago by Hinton as a variant of the Boltzmann Machine (BM), but with hidden variables and a characteristic bipartite architecture. RBMs, introduced at the time as a “product of experts”, were successfully trained as a generative model using the so-called contrastive-divergence method and, despite their shallow and simple architecture, were able to generate convincing new samples for complex real-world datasets. They later became popular as building blocks for pre-trained deep neural networks before the advent of more sophisticated methods.

The increasing interest of physicists and statistical physicists in RBMs in recent years is driven to several factors. First, RBMs can be seen as a generalization of BM that can be used to study interesting emerging phenomena, such as the phase diagram of the learned machine, how the learned free energy landscape is related to the properties of the dataset, or how the features of the dataset are encoded during the learning dynamics. Secondly, its practicality and simplicity make it an accessible model for physicists, providing a more understandable alternative to large, opaque neural networks.

I will present our understanding of the phase diagram and the learning dynamics of this model at both analytical and numerical levels. I will then show how we can construct equivalences between RBMs and generalized BMs where the weights of the RBM can be mapped into effective K-body interactions so that we are able to infer interacting components for a given dataset.

We prove Russo-Seymour-Welsh type crossing estimates for the FK-Ising model on general s-embeddings whose origami map has an asymptotic Lipschitz constant strictly smaller than 1, provided a mild non-degeneracy assumption is satisfied. This result extends the original work of Chelkak and provides a general framework to prove that connection probabilities between boundaries of boxes remain bounded away from 0 and 1. This allows to propose some notion of critical model for generic weighted planar graphs, that can be rephrased from the perspective of the associated Kac-Ward operator. Our result reproves along the way corresponding results in almost all already known setups and also treats new ones of interest. Time permitting , we discuss the expected conformal structure that arrises from the Ising model on generalised critical graphs and its links with the Lorentz Geometry.

Based on arXiv 2309.08740, the PhD thesis of the author and an ongoing collaboration with Sung-Chul Park.

Trois exposés de 30 min chacun par les doctorants du labo. Une deuxième séance aura lieu en janvier :

Orphée Colin :

La chaîne d'Ising avec champ aléatoire,

Le modèle d'Ising est un modèle classique de physique statistique, décrivant le comportement de moments ferromagnétiques (spins) sur un réseau, interagissant via une interaction site-à-site. Lorsque le réseau est unidimensionnel et dans le cas d'interactions au plus proche voisin homogènes, le modèle est exactement soluble (et simple). Néanmoins, une version désordonnée du modèle d'Ising unidimensionnel, dans laquelle la chaîne interagit avec un environnement i.i.d., est d'analyse plus ardue. Une description des configurations typiques de la chaîne, lorsque l'intensité Gamma de l'interaction interne est grande, apparaît dans la littérature en physique. Nous présenterons le modèle de chaîne d'Ising désordonnée, et montrerons que, en accord avec la description des physiciens, les configurations typiques sont proches de la configuration déterminée par le processus des Gamma-extremas du potentiel associé à l'environnement, lorsque Gamma est grand.

Léo Daures

A weak large deviation principle for the empirical measure of a discrete, possibly reducible Markov chain

In this talk, I will introduce the questions I have been trying to answer in the first year of my PhD. The object of interest is the empirical measure of a Markov chain X, that is the random probability measure L_n = \frac1n\sum_1^n \delta_{X_i}. Our goal is to show a large deviation principle (LDP) for L_n, which roughly speaking means understanding the exponential rate of decay of the probability of rare events involving L_n. The behaviour and the large deviations of the empirical measure is well known in “good” cases, e.g. in irreducible setups. Those properties do not extend easily to reducible setups, as it is not sufficient to study independently the irreducible classes to derive a LDP on the whole chain. In this talk, I will present my current work on a method based on subadditivity, to derive a weak LDP when X is reducible. The usual subadditive method has to be consequentially reworked to fit the context of reducible Markov chains, and notably provides a non-convex rate function.

Principe des grandes déviations faible pour la mesure empirique d’une chaîne de Markov discrète et possiblement réductible. Dans cet exposé, je compte développer les questions auxquelles j’ai essayé de répondre pendant la première année de ma thèse. On s’intéresse à la mesure empirique d’une chaîne de Markov X, c’est-à-dire la mesure de probabilité aléatoire L_n = \frac1n\sum_1^n \delta_{X_i}. Notre objectif est de démontrer un principe de grandes déviations (LDP) pour L_n, ce qui signifie comprendre le taux de décroissance exponentiel de la probabilité d’évènement rares impliquant L_n. Le comportement et les grandes déviations de L_n sont bien connus dans les “bons” cas, i.e. quand la chaîne de Markov est irréductible. Mais ces propriétés ne se prolongent pas facilement aux cas réductibles, car il ne suffit pas d’étudier indépendamment chaque classe d’irréductibilité pour obtenir un LDP sur la chaîne toute entière. Dans cet exposé, je présenterai mon travail sur une méthode fondée sur la sous-additivité pour obtenir un LDP faible quand X est réductible. La méthode sous-additive habituelle doit être considérablement remaniée pour s’adapter au cas des chaînes de Markov réductibles, et elle mène notamment à une fonction de taux non-convexe.

Pablo López-Rivera

Préservation des inégalités fonctionnelles sous des perturbations log-Lipschitz

Étant donné une mesure de probabilité satisfaisant certaines inégalités fonctionnelles (Poincaré, log-Sobolev, etc.), il est naturel de se demander si celles-ci restent valables pour une perturbation de la mesure. En particulier, s'il existe une application globalement Lipschitz qui pousse en avant la mesure source vers sa perturbation, alors il est facile de transporter certaines inégalités fonctionnelles. Par exemple, le théorème de contraction de Caffarelli dit que le transport optimal entre la mesure gaussienne et une perturbation log-concave est 1-Lipschitz.

Dans cet exposé, je montrerai comment une telle application existe si l'on considère des perturbations log-lipschitz d'une mesure sur une variété riemannienne, via l'interpolation donnée par la diffusion de Langevin associée à la mesure source (dite l’application de transport du flot de la chaleur, due à Kim et Milman), en supposant également des bornes sur la courbure de la variété au premier et au second ordre au sens de Bakry-Émery-Ricci.

Title: Linearized Brascamp–Lieb inequalities, with applications.

Abstract: The Brascamp–Lieb inequalities unify several classical results in analysis and geometry, including H\“older's inequality, Young's sharp convolution inequality, and the Loomis–Whitney inequality. In this talk, we'll show how we can leverage Valdimarsson's characterization of extremizers together with duality to obtain a simple family of inequalities that unify a variety of useful inequalities in probability, such as the Efron–Stein inequality, the Dembo–Kagan–Shepp maximal correlation inequality, and the Madiman–Barron variance drop inequality (which is itself a generalization of a classical result on U-statistics due to Hoeffding). The resulting “linearized Brascamp–Lieb inequalities” admit interpretation as a sharp spectral gap inequality for a simple physical process.

Au début des années 2000, deux physiciens ont introduit la marche aléatoire de l’éléphant, une marche aléatoire qui a une mémoire uniforme de tout son passé et dont la qualité de la mémoire dépend d’un certain paramètre p. Dans cet exposé, on commencera par présenter le modèle ainsi que les résultats asymptotiques, et on expliquera comment une approche martingale permet d’étudier le processus. Ensuite, on présentera des variantes du processus, selon si la mémoire est renforcée ou au contraire s’il y a une forme d’amnésie. On verra là encore l’intérêt de l’outil martingale pour étudier de telles généralisations.

The aim of this talk is to give an introduction to recent results concerning rigidity properties of random point fields, focussing in particular on the associated phenomenon of forbidden regions. Rigidity phenomena pertain to the emergence of singularities in strongly correlated point processes (e.g. those related to random matrices, Coulomb gases, zeros of random polynomials and random sections of line bundles), wherein local conservation laws have been shown to hold true. This includes, e.g., local conservation laws for mass or centre of mass, conditioned on the environment (ie the configuration of points outside a given domain). Such rigidity phenomena have been shown to be closely related to the emergence of novel `forbidden regions' in the spatial distribution of points conditioned on important classes of rare events. In particular, spatial holes (i.e. vacant domains) of macroscopic size (at the scale of the droplet) in strongly rigid point fields have been shown to enforce the emergence of complementary holes (of comparable scale) in other parts of the space. Based in part on the following joint works.

[1] Rigidity and Tolerance in point processes: Gaussian zeroes and Ginibre eigenvalues, with Y. Peres, Duke Mathematical Journal, 166 (10), 1789-1858

[2] Gaussian complex zeros on the hole event: the emergence of a forbidden region, with A. Nishry, Communications in Pure Appl. Math. (CPAM), 72, no. 1 : 3-62

[3] Approximate Gibbsian structure in strongly correlated point fields and generalized Gaussian zero ensembles, with U. Gangopadhyay, K.A. Tan Communications in Pure Appl. Math. (CPAM), to appear

[4] Forbidden regions for random zeros on Riemann surfaces, with T.C. Dinh, H. Wu (near completion)

Lorenzo Bertini et Giambattista Giacomin ont prouvé en 1997 que le mouvement Brownien est une mesure stationnaire pour l'équation de Kardar-Parisi-Zhang sur la droite réelle, conformément aux prédictions des physiciens. Pour l'équation KPZ sur un segment ou une demi-droite, en revanche, les mesures stationnaires sont plus compliquées et dépendent des conditions au bord qu'on impose. Ces mesures stationnaires ont été décrites récemment, à partir de l'analyse détaillée de modèles intégrables qui peuvent êtres vus comme des discétisations de l'équation KPZ: par exemple l'ASEP ou le modèle de polymère dirigé log-gamma. Je passerai en revue ces travaux, en essayant d'expliquer pourquoi ces mesures stationnaires, bien qu'un peu compliquées, sont en fait très naturelles. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Pierre Le Doussal, Ivan Corwin et Zongrui Yang.

On s’intéresse à l’équation champ moyen suivante sur R^d:

 d X_t = F(X_t, mu_t) dt + d B_t, 

où mu_t est la loi de X_t, le drift F(x, mu) est régulier et confinant, et (B_t) est un mouvement brownien. Cette équation McKean-Vlasov peut avoir plusieurs mesures de probabilité invariantes. On s’intéresse à la stabilité (locale) de l'un de ces équilibres. En utilisant les dérivées par rapport aux mesures de probabilités, on obtient un critère de stabilité qui peut-être vu comme l’analogue du critère « Jacobien » utilisé pour étudier la stabilité des équations différentielles ordinaires. Sous cette condition spectrale, on montre que l’équilibre est attractif pour la métrique de Wasserstein W1. Je parlerai également du comportement métastable du système de particules associé.

The motivation of this presentation comes from the analysis of metastable stochastic process in statistical physics. One way to bridge the scale between full atomistic models and more coarse-grained descriptions is to use Markov State models parameterized by the Eyring Kramers formulas. These formulas give the hopping rates between local minima of the potential energy function. They require to identify the local minima and saddle points of the potential energy function. This approach is for example used in materials science (kinetic Monte Carlo models).

In this talk, I will first present a recent result obtained in collaboration with D. Le Peutrec (Université d'Orléans) and B. Nectoux (Université Clermont Auvergne) about the mathematical foundations of this approach, by deriving these Eyring-Kramers exit rates starting from the overdamped Langevin dynamics [1]. I will then introduce a recent algorithm we proposed together with P. Parpas (Imperial College London) in order to locate saddle points [2]. I will explain why these two works both rely on concentration properties of the eigenvectors of Witten Laplacians, in the small temperature regime.

References: [1] TL, D. Le Peutrec and B. Nectoux, Eyring-Kramers exit rates for the overdamped Langevin dynamics: the case with saddle points on the boundary, https://arxiv.org/abs/2207.09284. [2] TL, P. Parpas /Using Witten Laplacians to locate index-1 saddle points/, https://arxiv.org/abs/2212.10135.

We introduce a class of models for opinion dynamics in a popula- tion with two interacting families of individuals characterized by con- formist or nonconformist behaviour. We prove propagation of chaos and we observe that models with conformist vs. nonconformist fam- ilies exhibit periodic behaviour on a macroscopic scale. To describe fluctuations between periodic limit orbits, we identify a slow variable and a fast variables in the microscopic system. We rescale space and time and, through an averaging principle, we find that the slow pro- cess converges to a solution of a one-dimensional stochastic differential equation.

Hamilton-Jacobi PDEs with random stationary Hamiltonian functions are popular toy models for studying the dynamics of interfaces in various phenomena in physics and biology. There is a one-to-one correspondence between piecewise smooth solutions and marked tessellations. A kinetic theory can be developed to describe the dynamics of such tessellations. As an application, we find kinetically describable Gibbsian solutions for such PDEs.

Prenons un graphe raisonnable G et effaçons les arêtes aléatoirement de façon indépendante, chaque arête étant conservée avec probabilité p. Comment se comportent les composantes connexes du graphe aléatoire ainsi formé ? Il se trouve qu'il y a une valeur critique pc(G) telle que, pour p < pc(G), le nombre de composantes infinies soit nul presque sûrement et, pour p>pc(G), il soit non-nul presque sûrement. Oui mais alors comment pc(G) dépend-il de G ? Que dire des composantes finies quand p > pc(G) : ressemblent-elles beaucoup ou pas tant que ça aux composantes du régime sous-critique ?

On verra qu'il est possible de répondre à ces questions pour les graphes G dits à croissance polynomiale, c'est-à-dire dont le cardinal de la boule de rayon n est en O(n^d) pour un certain d. Ces résultats généralisent des théorèmes connus dans le cas du réseau cubique de dimension d — et dans ces cas antérieurement connus, nos résultats proposent des démonstrations nouvelles.

Il s'agit de travaux effectués en collaboration avec Daniel Contreras et Vincent Tassion.

Un théorème de Lichnerowicz (1958) indique que pour les variétés riemanniennes en dimension n dont la courbure de Ricci est minorée par n-1, la plus petite valeur propre positive du Laplacien vérifie est minorée par n. Ce résultat a de nombreuses applications, y compris en probabilités (concentration de la mesure, comportement en temps long du mouvement Brownien). Cette borne est optimale, car il y a égalité pour la sphère. Elle a depuis été généralisée au cadre des espaces métriques mesurés à courbure positive. Dans cet exposé, je présenterai un résultat de stabilité, sur les variétés dont le trou spectral est presque minimal, et je parlerai du rôle des lois beta dans ce problème. Cet exposé ne nécessitera aucun prérequis de géométrie. Travail en collaboration avec I. Gentil et J. Serres

In the simplest spin-glass model, due to Sherrington and Kirkpatrick, the energy function involves interaction terms between all pairs of spins. A bipartite version of this model can be obtained by splitting the spins into two groups, which we can visualize as forming two layers, and by keeping only interaction terms that go from one to the other layer. For this and other models that incorporate a finite number of types of spins, the asymptotic behavior of the free energy remains mysterious (at least from the mathematical point of view). I will present the difficulties arising there, and some partial progress.

— Sur l'énergie libre des verres de spins à plusieurs types —

Dans le modèle de verre de spins le plus simple, dû à Sherrington et Kirkpatrick, la fonction d'énergie présente des termes d'interaction entre toutes les paires de spins. Une version bipartie de ce modèle peut être obtenue en divisant les spins en deux groupes, que l'on peut visualiser comme formant deux couches, et en ne gardant que les termes d'interaction qui vont d'une couche à l'autre. Pour ce modèle et d'autres qui incorporent un nombre fini de types de spins, le comportement asymptotique de l'énergie libre reste mystérieux (au moins du point de vue mathématique). Je présenterai les difficultés qui s'y posent, et quelques progrès partiels.

Résumé: Dans un contexte écologique, les systèmes d’équations différentielles de type Lotka-Volterra sont fréquemment utilisés pour modéliser la dynamique d’évolution d’espèces en interaction. On va s’intéresser à l’étude des équilibres de ces systèmes en grande dimension, dans le cas où les coefficients d’interaction sont modélisés par une grande matrice aléatoire (GMA). Ce cadre offre en effet des questions intéressantes en théorie des grandes matrices aléatoires non hermitiennes, principalement abordées par des méthodes physiciennes de type cavity method.

Plus précisément, on étudiera les conditions sur les matrices aléatoires considérées permettant d’assurer la survie de toutes les espèces à l’équilibre (faisabilité). Dans le cas contraire, on apportera des éléments de description des espèces survivantes. D’un point de vue mathématique, la faisabilité requiert de trouver une solution positive (composante par composante) à une équation linéaire de grande dimension. Pour aborder la disparition d’espèces, on utilisera des méthodes de type Approximate Message Passing.

The asymmetric simple exclusion process (ASEP) is a model for translation in protein synthesis and traffic flow; it can be defined as a Markov chain describing particles hopping on a one-dimensional lattice. I will give an overview of some of the connections of the stationary distribution of the ASEP to combinatorics and special functions. I will also mention some open problems and observations about positivity in Markov chains

This presentation is divided into two parts. The first part is devoted to the study of a class of Approximate Message Passing (AMP) algorithms which are widely used in the fields of statistical physics, machine learning, or communication theory. The AMP algorithms studied in this part are those where the measurement matrix has independent elements, up to the symmetry constraint when this matrix is symmetric, with a variance profile that can be sparse. The AMP problem is solved by adapting the approach of Bayati, Lelarge, and Montanari (2015) to this matrix model. The Lotka-Volterra (LV) model is the standard model for studying the dynamical behavior of large dimensional ecological food chains. The second part is focused on the study of the statistical distribution of the globally stable equilibrium vector of a LV system in the situation where the random symmetric interaction matrix among the living species is sparse, and in the regime of large dimensions. This equilibirium vector is the solution of a Linear Complementarity Problem, which distribution is shown to be characterized through the AMP approach developed in the first part.

In this talk, we will study the formation of waves of large amplitude in deep sea from a statistical viewpoint. First we will derive a large deviation principle for the probability of a large wave occurring (as the amplitude of the wave tends to infinity). Then we will study a related problem: if a large wave does occur, what is the most likely initial datum that produced it? We answer this question in the weakly nonlinear regime by giving a probabilistic characterization of the set of extreme waves, both in the case of the NLS equation and in the case of the Water-Wave system.

Dans cet exposé je présenterai des résultats récents obtenus avec Julien Poisat sur un modèle de marche aléatoire unidimensionnelle tuée par des obstacles mous disposés selon un processus de renouvellement. Nous nous intéressons au cas où la queue de la loi déterminant l’espacement entre les points du renouvellement décroit polynomialement conduisant ainsi à des corrélations de longue portée dans l’environnement. Ce problème peut, de façon équivalente, être vu comme un modèle de polymère dirigé en dimension 1+1 interagissant avec des interfaces répulsives. Nous montrerons d’abord que le logarithme de la probabilité de survie de la marche (vue comme variable aléatoire fonction de la position des obstacles) converge, après une renormalisation adaptée, vers une loi limite caractérisée par un principe variationnel. Nous nous intéresserons ensuite à la loi de la marche conditionnée à survivre jusqu’à un grand temps. Nous établirons un phénomène de localisation : la marche rejoint en un temps court une large bande sans obstacle où elle reste ensuite confinée le temps restant. Nous décrirons ce phénomène de localisation qui prend une forme plus ou moins forte selon que la distribution du renouvellement est intégrable ou non.

Résumé: On étudie des solutions de l’équation de Helmholtz sur une variété plate, aussi appelés « modes propres », qui sont de nature aléatoire et isotropes. On s’intéresse plus particulièrement aux lignes nodales de ces solutions, aussi appelés « diagrammes de Chladni ». Le modèle gaussien est prépondérant en raison de sa tractabilité et de son universalité, et a donné lieu à de nombreux travaux et conjectures sur la longueur et les propriétés de connectivités de ces lignes. Sur le tore, la nature de ces solutions à haute énergie n est intrinsèquement liée aux propriétés arithmétiques de n, raison pour laquelle elles sont appelées « arithmetic random waves », et plusieurs phénomènes observés ont été récemment confirmés par des études mathématiques rigoureuses. On s’intéresse plus particulièrement au phénomène de « full correlation », qui se manifeste par une corrélation asymptotiquement égale à 1 entre les longueurs totales sur le tore complet et dans une petite boule, dont l’échelle minimale est encore l’objet de conjectures. On montre en particulier que ce phénomène est fortement lié à une quasi-périodicité des ondes gaussiennes arithmétiques, et entraîne un phénomène plus fort de « quasi replication » à une échelle légèrement supérieure.

En collaboration avec Loïc Thomassey.

Abstract: In this talk, we discuss the large deviations of overlaps from spherical spin glasses. It is known that the large deviations are given by a Parisi type variational problem. For the spherical Sherrington-Kirkpatrick model, we will show that it can also be expressed in terms of a TAP variational principle. In this setting, we are able to apply results from random matrix theory such as the asymptotics of the n-dimensional spherical integrals studied by Husson and Guionnet to derive an explicit simple form of the variational principle. The derived variational formula confirms that this model is replica symmetric for all positive temperatures, a fact which is natural but not obvious from the Parisi formula for the model. This is joint work with David Belius and Leon Frober.

Dans cet exposé je présenterai quelques résultats de physique statistique sur un système de particules en dimension un interagissant selon le noyau de Riesz. Ce système généralise le log-gaz, ou beta-ensemble, qui apparaît notamment en matrices aléatoires comme loi jointe des valeurs propres d'ensembles invariants. Nous verrons comment la portée de l'interaction influe sur les fluctuations et les corrélations et comment il est possible de démontrer l'universalité du comportement microscopique du système. Les différents résultats obtenus reposent sur l'analyse du Laplacien de Witten avec des techniques venant des mesures log-concaves, des méthodes de transport, des arguments liés aux inégalités FKG ainsi que sur des techniques élémentaires d'EDP.

Les processus de Markov indexés par des arbres de Lévy sont des objets fondamentaux en théorie des probabilités. Ils sont reliés à la théorie des super-processus et apparaissent dans plusieurs théorèmes limites. Plus récemment, le cas du mouvement brownien indexé par l'arbre brownien a été utilisé comme bloc élémentaire pour construire les différents modèles de surfaces browniennes. Nous présenterons dans cet exposé comment construire une théorie des excursions – avec temps local – pour ces processus et, si le temps le permet, nous introduirons plusieurs applications.

L'exposé sera complètement auto-contenu et ne nécessitera aucune connaissance préalable. Les résultats que nous présenterons sont issus d'un travail en collaboration avec Alejandro Rosales-Ortiz.

We investigate a model of simple-random walk paths in a random environment that has two competing features: an attractive one towards the highest values of a random potential, and a self-repellent one in the spirit of the well-known weakly self-avoiding random walk. We tune the strength of the second effect such that they both contribute on the same scale as the time variable tends to infinity. In this talk I will discuss our results on the identification of (1) the logarithmic asymptotics of the partition function, and (2) of the path behaviour that gives the overwhelming contribution to the partition function. This is joint work with Wolfgang König, Nicolas Pétrélis and Renato Soares dos Santos.

In this talk we introduce a new class of kinetic models, which overcome the standard assumption in kinetic transport theory that collision processes happen instantaneously. On the level of the underlining stochastic processes this results in replacing the jump-process, which are defining the collisions, with continuous stochastic processes.

We investigate a kinetic model with non-instantaneous binary alignment collisions between particles. The collisions are described by a transport process in the joint state space of a pair of particles, where the states of the particles approach their midpoint. For two spatially homogeneous models with deterministic or stochastic collision times existence and uniqueness of solutions, the long time behavior, and the instantaneous limit are considered, where the latter leads to standard kinetic models of Boltzmann type.

Reference: L. Kanzler, C. Schmeiser, V. Tora, Two kinetic models for non-instantaneous binary alignment collisions, arXiv:2203.15711

Un Système de Fonctions Itérées (IFS) est une chaine de Markov définie récursivement par des transformations aléatoires i.i.d. sur un espace donné. Ces types de processus apparaissent naturellement dans différents domaines des mathématiques. D'une part ce sont des modèles naturels en probabilité (plus ou moins appliqués), d'autre part leur comportement en mesure est strictement lié aux propriétés géométriques des (semi)-groupes générés par les transformations. Nous nous intéresserons aux mesures invariantes pour un IFS défini par itération d'homéomorphismes de la droite et je présenterai les résultats d'un travail en collaboration avec D. Buraczewski et T. Szarek, dans lequel nous établissons des conditions (relativement optimales) garantissant que le système admet une unique mesure invariante (éventuellement de masse infinie).

Notre but est d'étudier la composition génétique d'une population dans laquelle chaque individu a deux parents, qui contribuent à parts égales au génome de leur enfant. On modélise cette population par un modèle de Moran biparental, caractérisé par une taille de population N. Ensuite on échantillonne un gène dans la population au temps présent et on regarde la loi de sa position (l'ancêtre dans lequel il se trouve) n pas de temps plus tôt. On étudie la convergence de cette loi lorsque n puis N tendent vers l'infini. On obtient que le poids asymptotique d'un ancêtre, lorsque la taille de population tend vers l'infini, est soit égal à 0 (avec probabilité 1/2), soit suit une loi exponentielle de paramètre 1/2. Des extensions sont proposés dans des cas avec sélection, possibilité d'auto-fécondation, et transmission inégale du génome.

Consider a system of N particles interacting with one another. We are interested in the limit, as N goes to infinity, of this particle system, trying to derive from a microscopic point of view (i.e the particle dynamics) a mesoscopic point of view (i.e a statistical description of the system). The notion of propagation of chaos refers to the phenomenon according to which, as N grows in the particle system, two given particles become « more and more » statistically independent. The goal of this talk is to show this phenomenon for various types of particle systems (depending on time) : either in a kinetic framework, or with singular interactions (2D vortex model or 1D log and Riesz gases), or with incomplete interactions (i.e in a graph). In the process, we will describe some current methods used in this field, and focus in particular on proving the convergence in N uniformly in time. This is based on joint work with A. Guillin and P. Monmarché, also mentioning some results with L. Colombani and C. Poquet.

Recently, much progress has been made in the mathematical study of self-consistent transfer operators describing the thermodynamic limit of globally coupled expanding maps. Existence of equilibrium measures (fixed points for the self-consistent transfer operator) has been established together with their stability under perturbations and linear response. One of the main questions remaining open is to which extent the thermodynamic limit describes the evolution of the finite dimensional system. More precisely, I will consider N uniformly expanding coupled maps when N is finite but large. I will introduce self-consistent transfer operators that approximate the evolution of measures under the dynamics, and quantify this approximation explicitly with respect to N. Using this result, I will prove that uniformly expanding coupled maps satisfy propagation of chaos when N tends to infinity, and characterize the absolutely continuous invariant measures for the finite dimensional system. The main working assumption is that the expansion is not too small and the strength of the interactions is not too large, although both can be of order one. In contrast with previous approaches, we do not require the coupled maps and the interactions to be identical. The technical advances that allow us to describe the system are: the introduction of a framework to study the evolution of conditional measures along some non-invariant foliations where the dependence of all estimates on the dimension is explicit; and the characterization of an invariant class of measures close to products that satisfy exponential concentration inequalities.

The Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model (FA-2f) on Zd is a paradig- matic interacting particle system with kinetic constraints (KCM) featuring co- operative and glassy dynamics. For FA-2f vacancies facilitate motion: a particle can be created/killed on a site only if at least 2 of its nearest neighbors are empty. We will present sharp results for the first time, τ , at which the origin is emptied for the stationary process when the density of empty sites (q) is small: in any dimension d ≥ 2 it holds τ ∼ exp( dλ(d, 2) + o(1)q1/(d−1)) w.h.p., with λ(d, 2) the threshold constant for the 2-neighbour bootstrap perco- lation on Zd. This is the first sharp result for a critical KCM and settles various controversies accumulated in physics literature over the last four decades. We will explain the dominant relaxation mechanism leading to this result, give a flavour of the proof techniques, and discuss further results that can be obtained via our technique for more general KCM, including full universality results in two dimensions. [Joint work with I.Hartarsky and F.Martinelli]

On considère un automate aléatoire à n états, c'est à dire le choix de deux fonctions aléatoires uniformes a,b de [n] dans [n]. Un mot w est dit synchronisant (“reset word”) s'il existe un état v_0 dans [n] tel qu'en lisant lettre-à-lettre le mot w depuis n'importe quel état, on arrive à l'état v_0. On démontre une conjecture de Kisielewicz, Kowalski, Szykula (2013) selon laquelle, avec proba tendant vers 1, il existe un mot synchronisant de longueur au plus \sqrt{n}^{1+o(1)}. La meilleure borne connue était quasilinéaire (Nicaud, 2016). Cela repose sur un théorème de structure un peu étonnant qui dit qu'avec grande proba, il existe un mot w très court (de longueur seulement 1.01log(n)) tel que les w-transitions induisent un arbre. J'expliquerai l'heuristique de la preuve et j'en profiterai pour énoncer quelques questions ouvertes sur ces “w-arbres” que nous introduisons, dont notre preuve trop technique est loin de révéler tous les secrets. Travail commun avec Guillem Perarnau (Barcelone), https://arxiv.org/abs/2207.14108.

On considère la chaîne d'échange sur les graphes bipartite d-reguliers avec d fixé. Nous montrons des inégalités de Poincaré, Log-Sobolev, et Modified Log-Sobolev optimales. Ces inégalités impliquent que le temps de mélange de la chaîne est de l'ordre de n. log(n) améliorant les résultats de Kannan, Tetali, Vempala et Dyer et al. qui avaient montré des majorations de l'ordre de n^13 log n et n^7 log n respectivement. Ceci est un travail en collaboration avec Konstantin Tikhomirov.

Renewal-reward processes describe some event that is continuously renewed over time, involving a reward at each occurrence. In this seminar, I will establish a sharp large deviation principle for renewal-reward processes supposing that rewards take values in a separable Banach space. My large deviation principle extends Cramér’s theorem to renewal theory. Some applications will be reviewed with special focus on renewal models of statistical physics, such as the Poland-Scheraga model of DNA denaturation, which are Gibbs changes of measure of a renewal process.

References:

M. Zamparo, Large deviations in discrete-time renewal theory,

Stoch. Process. Their Appl. 139 (2021) 80-109

M. Zamparo, Large deviations in renewal models of statistical mechanics, J. Phys. A: Math. Theor. 52 (2019) 495004

M. Zamparo, Critical fluctuations in renewal models of statistical mechanics, J. Math. Phys. 62 (2021) 113301

M. Zamparo, Large deviation principles for renewal-reward processes, submitted to Ann. Appl. Probab. (arXiv:2111.01679)

In the context of multivariate analysis, a data depth is meant to provide an ordering on the sample that encapsulates its outlyingness with respect to the underlying distribution. A natural method to build such a depth could be to form a neighbourhood graph on the sample, and then use a notion of graph centrality. We study the behaviour of the resulting processes in the large-sample limit for two popular centrality measures, namely the H-index and the coreness. These processes are shown to converge, under standard conditions on the connectivity radii, to new notions of depths.

(Joint work with Eddie Aamari and Ery Arias-Castro)

Over the past decade, there has been a lot of progress in the understanding of discrete models at criticality, such as the loop-erased random walk, the Ising model, and the dimer model, notably their scaling limits, in large parts due to the development of discrete complex analysis techniques and the introduction of the Schramm-Loewner evolution. Recently such convergence has also been obtained in the off-critical case by moving away from the critical temperature carefully. In this talk, I will talk about some massive perturbations of those models and related convergence results in the near-critical regime. This talk is based on joint works with Dmitry Chelkak and Sung-Chul Park.

Le processus de Dyson Ornstein Uhlenbeck est un système de particules browniennes en interaction avec une force de rappel linéaire et une interaction répulsive de paire proportionnelle à l'inverse de la distance. Ce processus a été découvert par Freeman Dyson lors de son étude dynamique de modèles de matrices aléatoires. L'exposé sera principalement consacré à un phénomène de convergence abrupte à l'équilibre, entre comportement en temps long et comportement en grand nombre de particules, en liaison avec des phénomènes d'universalité et de grande dimension. Référence : http://arxiv.org/abs/2107.14452 collaboration avec Jeanne Boursier et Cyril Labbé.

Équation de la Chaleur Stochastique avec bruit (multiplicatif) de Lévy

Dans cet exposé, je présenterai le modèle de polymère dirigé en dimension 1+d, qui décrit un polymère placé dans un milieu hétérogène. Je donnerai un aperçu du modèle qui peut être vu comme une version discrète de l’Équation de la Chaleur Stochastique (ECS) avec bruit multiplicatif. J’expliquerai comment ce modèle discret peut être utilisé comme porte d’entrée pour comprendre l’ECS — ce qui a été fait dans le cas où le bruit admet un moment d’ordre 2 fini, ce qui correspond à un bruit gaussien. Je présenterai ensuite des résultats récents obtenus avec Carsten Chong (Columbia) et Hubert Lacoin (IMPA) à propos de l’ECS avec bruit de Lévy (à saut purs).

Des modèles de vertex intégrables ont récemment été utilisés pour étudier diverses familles de polynômes symétriques et non symétriques. Dans cet exposé, nous définirons des modèles colorés, à partir desquels nous construirons des k-pavages de l'hexagone par des losanges ou du diamant azteque par des dominos. Un k-pavage est une superposition de k pavages de la meme region tel que chaque couple de pavages “interagit”. J'expliquerai dans cet expose ce que nous savons sur ces pavages et leur comportement asymptotique et j'expliquerai aussi toutes les questions ouvertes qu'on peut se poser quand on tire aleatoirement un k-pavage. Ceci est basé sur des travaux en collaboration avec Andrew Gitlin, David Keating et Jeremy Meza.

Dans les 10 dernières années il y a eu une activité très intense autour des EDP stochastiques qui nécessitent une procédure de renormalisation, comme la quantisation stochastique qui apparait en théorie quantique des champs (QFT). Dans cet exposé je vais sortir de ma zone de confort pour essayer de (comprendre et) raconter ce que signifie la renormalisation en QFT, en la comparant à la procédure analogue en analyse stochastique.

Une chaîne de Markov sur un espace d’états fini peut mettre très longtemps avant de converger vers sa mesure stationnaire. Une question qui se pose souvent est alors celle de l’accélération des chaînes de Markov: peut-on construire une perturbation simple de la chaîne qui garantisse un mélange rapide? Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la perturbation suivante: on se donne une bijection sur l’espace d’états, et l’on considère la chaîne qui alterne entre des sauts gouvernés par la chaîne initiale, et des sauts déterministes gouvernés par la bijection. Chatterjee et Diaconis (2020) ont montré que si la bijection satisfait une condition d’expansion par rapport à la chaîne initiale, alors le temps de mélange de la chaîne permutée est logarithmique en la taille de l’espace d’états, et que cette condition est satisfaite par presque toutes les bijections. Nous verrons que pour presque toute bijection, le temps de mélange peut même être caractérisé très précisément: la chaîne permutée présente un cutoff en un temps qui ne dépend que du taux d’entropie de la chaîne initiale.

Nous fournirons une inégalité de déviation pour le maximum d'une U-statistique d'ordre $r$ de données indépendantes $(X_i)_{i\geq 1}$. Ceci permet de majorer la queue de cette variable aléatoire par deux termes : un terme exponentiel et un autre mettant en jeu la queue de la variable aléatoire $h(X_1,…,X_r)$, $h\colon\mathbb R^r\to\mathbb R$ étant le noyau de la U-statistique en question. Nous présenterons ensuite deux applications : une à l'estimation de la vitesse de convergence dans la loi des grands nombres et l'autre à des théorèmes limites fonctionnels dans des espaces hölderiens.

Le travail que je vais présenter dans cet exposé est motivé par l'étude d'un modèle de génétique des populations : le modèle de Wright-Fisher avec recombinaison. Dans un premier temps, j'introduirai un processus de branchement approximant la descendance d'un individu dans ce modèle. Il s'agit d'un objet intéressant où chaque individu possède un intervalle qui se fragmente au fil des générations, représentant un bout de chromosome soumis à la recombinaison. J'en donnerai quelques propriétés asymptotiques : limite jointe de la généalogie vue comme un espace métrique, de la distribution de la taille des intervalles et de la répartition des intervalles sur le chromosome.

Notre preuve de ces résultats se base sur une approche générale qui peut être vue comme une “méthode des moments” pour la convergence de la généalogie et des types dans un processus de branchement. Dans un second temps, j'exposerai les grandes lignes de cette approche, qui semble pouvoir s'appliquer à de nombreuses situations. Elle repose sur l'utilisation de la topologie de Gromov-faible en combinaison avec des techniques récentes de décompositions spinales.