Séminaire

Séminaire de Probabilités


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Le Mardi à 14:00, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209


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Année 2025

Séminaire de Probabilités
Mardi 17 juin 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Grégory Miermont (ENS Lyon) Limites d'échelle de cartes planaires à grandes faces

De nombreux modèles “locaux” de cartes planaires aléatoires, définis en appariant uniformément au hasard les côtés d'une collection de polygones de degrés fixés de sorte à obtenir une sphère topologique, convergent dans la limite d'échelle vers un modèle canonique de surface aléatoire appelée la sphère brownienne. Néanmoins, il est possible de s'échapper de la vaste classe d'universalité de cette dernière, soit en considérant des modèles de cartes planaires avec des interactions à longue portée, typiquement en les munissant d'un modèle de physique statistique au point critique, soit en considérant encore des modèles locaux, mais où la variance de la loi du degré des faces est infinie. Dans cet exposé, basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Curien et Armand Riera, nous explorerons cette seconde approche, en montrant qu'une carte aléatoire de Boltzmann dont la loi du dégré des faces est dans le domaine d'attraction d'une loi stable converge, dans la limite d'échelle, vers un espace métrique aléatoire fractal, appelé tapis stable ou gasket stable en fonction de la valeur de l'exposant de la loi stable. En effet, une transition de phase pour la topologie de cet objet survient à la valeur 3/2 de cet exposant. Ceci complète des résultats antérieurs de Le Gall et l'auteur de ces lignes, où la limite d'échelle était seulement démontrée exister le long de sous-suites.

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Mardi 3 juin 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eveliina Peltola (Helsinki) Boundary correlations in planar LERW and UST revisited

We consider one of the simplest and most studied model of a random tree: the uniform spanning tree (UST). It is intimately related to simple random walk: Wilson's algorithm shows that a sample from UST can be generated by running iteratively simple random walks with their loops removed (termed loop-erased random walks, LERW). In planar domains, this is a critical model in the sense that it is expected that its scaling limit is described by a conformal field theory (CFT). Indeed, we provide a CFT description of boundary effects in this model, which has central charge $c=-2$ (and in particular, the full model should be a logarithmic CFT). Using the relation with LERWs, we can find explicit determinantal, combinatorial formulas for probabilities of UST boundary connection events. From this, we can prove their convergence to certain CFT quantities (which we call conformal blocks) in the scaling limit. To verify the expected CFT properties, we combine probabilistic techniques with representation theory.

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Mardi 27 mai 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Guillaume Conchon-Kerjan (King's College London) The random walk on the exclusion process: a Law of Large numbers in dimensions >= 5

Random walks on particle systems, such as the simple exclusion process (SEP), have undergone notable developments in the last decade. In such models, say on the $d$-dimensional lattice, the law of the (discrete-time) movement of the walker depends on whether its current location is occupied or not by a particle of the environment. In this set-up, on one hand, standard techniques from static environments no longer apply. On the other hand, the SEP is conservative and mixes slowly, triggering strong space-time correlations. With the loss of monotonicity in dimensions above one, only perturbative results have been derived thus far. We prove that in a wide regime of parameters, a law of large numbers holds for the walk. To do so, we track the measure of the environment conditioned on the past trajectory of the walker. It can be bounded in some strong sense between two inhomogeneous products of Bernoulli measures that differ from the homogeneous one in an ‘integrable’ way if the dimension is large enough.

Joint work with Daniel Kious and Rémy Poudevigne.

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Mardi 20 mai 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Chiranjib Mukherjee (Université de Münster) Percolation and the geometry and groups and graphs

In this talk we will discuss connections between the geometry of a group acting on a space (e.g., a Cayley graph) and percolation processes on the Cayley graph. Many geometric and probabilistic properties are now understood around the theme of amenability. Our focus here will be to understand Haagerup property and Kazhdan's property (T) using probabilistic methods. More concretely, we will study, and characterize these properties through the lens of connectivity property of invariant percolations. (Joint work with Konstantin Recke)

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Mardi 13 mai 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Vittoria Silvestri (Université Rome La Sapienza) Branching Internal DLA

Internal DLA is a random aggregation process in which the growth of discrete clusters is governed by the harmonic measure seen from an internal point. That is, a simple random walk is released from inside the cluster, and its exit location is added to it. The asymptotic shape of IDLA on Zd starting from a single seed has long been known to be a Euclidean ball, with very small fluctuations. In this talk I will discuss a natural variant of IDLA, namely Branching IDLA, in which the particles that drive the process perform critical branching random walks rather than simple random walks. We will show that BIDLA has a strikingly different phenomenology, namely we prove a phase transition from macroscopic fluctuations in low dimension to the existence of a shape theorem in higher dimension. Based on a joint work with Amine Asselah (Paris-Est Créteil) and Lorenzo Taggi (Rome La Sapienza).

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Mardi 6 mai 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jean-François Delmas (Ecole des Ponts ParisTech) Limite locale d'arbres aléatoires de branchement conditionnés

Dans la première partie de l'exposé, on fera une synthèse des résultats concernant les limites locales des arbres de Bienaymé-Galton-Watson conditionnés à être de grande taille. On présentera en particulier deux type de limite: l'arbre de Kesten (avec ou sans condensation) et un arbre avec de multiple branche infinie. Puis on regardera l'extension de ce dernier cas pour l'arbre continu Brownien.

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Mardi 8 avril 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Minmin Wang (Université de Sussex) Random bipartite graphs with i.i.d. weights

We propose a model of random bipartite graphs with i.i.d. weights assigned to both parts of the vertex sets. Edges are formed independently with probabilities that depend on these weights. Part of the appeal of this graph model comes from its closely associated intersection graph, which exhibits nontrivial clustering properties and inhomogeneous vertex degrees. We study the scaling limit for the largest connected components when the underlying graphs are at criticality, and we show that the limit graphs depend on the tail behaviours of the weight distributions of both parts.

Joint work with Alastair Haig

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Mardi 1 avril 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armen Shirikyan (CY Cergy Paris Université) Réduction markovienne et mélange exponentiel pour des systèmes dynamiques aléatoires avec un bruit stationnaire

Nous considérons un système dynamique aléatoire (SDA) à temps discret dans un espace de Hilbert séparable. La force aléatoire pilotant le système est modélisée par un processus stationnaire à valeurs dans un espace métrique compact. On s’intéresse au comportement asymptotique des trajectoires du système en question. Nous décrivons d'abord une procédure systématique permettant de réduire le problème à un SDA markovien dans un espace de phase élargie. Nous étudions ensuite des propriétés asymptotiques du système réduit et montrons comment elles peuvent être utilisées pour tirer des conclusions sur le problème de départ. Diverses applications seront également présentées.

Les résultats de cet exposé ont été obtenus en collaboration avec S. Kuksin.

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Mardi 25 mars 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Antti Knowles (Université de Genève) Théories euclidiennes des champs et gaz de Bose en interaction

Les théories euclidiennes des champs ont été largement étudiées dans la littérature mathématique depuis les années soixante, motivées par la physique des hautes énergies et la mécanique statistique. Formellement, une telle théorie est donnée par une mesure de Gibbs associée à une fonctionnelle d'action euclidienne sur un espace de distributions. Dans cet exposé, j'explique comment certaines de ces théories apparaissent comme des limites de haute densité de gaz de Bose en interaction à température positive. Cela permet une dérivation rigoureuse de ces théories à partir d'un modèle microscopique réaliste de mécanique statistique. Je me concentre sur les théories des champs avec une interaction quartique, locale ou non-locale, en dimensions 2 et 3. En raison de la singularité du champ libre gaussien en dimensions supérieures à un, l'interaction est mal définie et doit être renormalisée par des contre-termes de masse et d'énergie infinis. La preuve est basée sur une représentation en termes d'intégrale fonctionnelle du gaz de Bose en interaction. Basé sur des travaux en collaboration avec Cristina Caraci, Jürg Fröhlich, Alessio Ranallo, Benjamin Schlein, Vedran Sohinger, et Pedro Torres Giesteira.

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Mardi 11 mars 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Alexis Prévost (Université de Genève) Dimension de Hausdorff pour les composantes connexes critiques du champ libre gaussien sur le système de câbles

Je passerai en revue des résultats récents concernant la transition de phase pour un modèle de percolation fortement corrélé appelé champ libre gaussien sur le système de câbles. En particulier, je me concentrerai sur la dimension de Hausdorff des composantes connexes critiques, ainsi que sur les exposants critiques qui décrivent le volume de ces composantes sur des graphes de dimension intermédiaire. En collaboration avec Alexander Drewitz et Pierre-François Rodriguez.

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Mardi 4 février 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Anna Erschler (LPSM, Sorbonne Université) L'isopérimétrie, la vitesse de la fuite et la probabilité des retours de marches aléatoires sur les groupes

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Mardi 28 janvier 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Lorenzo Zambotti (LPSM, Sorbonne Université) EDS et EDPS réfléchies ou skew et couture stochastique

Dans cet exposé je voudrais passer en revue des résultats anciens sur des équations différentielles stochastiques avec des coefficients dépendants des temps locaux de la solution, et raconter des résultats plus récents basés sur des techniques nouvelles de couture stochastique.

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Mardi 21 janvier 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Scott Armstrong (LJLL, Sorbonne Université) Anomalous diffusion and renormalization

I will discuss the large-scale/ long-time behavior of a Brownian particle advected by a random, incompressible (divergence-free) vector field. If this vector field has correlations which decay with a critical exponent (which happens to be -2), then the behavior of the particle is superdiffusive instead of diffusive. In particular, after time $t$, the particle will be on average a distance of $t^{\frac12} (\log t)^{\frac14}$ from its starting point. This phenomenon was explained in the physics literature in the late 1980s as a build-up of diffusivity across many length scales, using renormalization group arguments. I will discuss recent mathematical innovations based on analytic ideas that allow us to make these renormalization group arguments rigorous. (This is joint work with A. Bou-Rabee and T. Kuusi.)

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Mardi 7 janvier 2025, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Julien Berestycki (Université d'Oxford) Mouvement Brownien branchant en espace 2d inhomogène

De nombreux progrès ont été accomplis ces dix dernières années dans l'étude du déplacement maximal d'un système de particules branchantes. Cet exposé concerne une variante du mouvement Brownien branchant dans laquelle le taux de branchement des particules dépend de leur direction. Dans un travail commun avec David Geldbach et Michel Pain, nous montrons que ce type d'inhomogénéité spatiale peut conduire à l'apparition de termes de retards polynomiaux supplémentaires pour la valeur du déplacement maximal.


Année 2024

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Mardi 17 décembre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Fournier (LPSM, Sorbonne Université) Systèmes de particules pour l’équation de Keller-Segel

L’équation de Keller-Segel décrit le mouvement de cellules par chimiotaxie. Les cellules diffusent dans le plan, et émettent un produit chimique. Ce produit, qui diffuse infiniment vite, attire les cellules. Ceci conduit à une interaction singulière entre les cellules (via le produit). Cette interaction est critique au sens où, selon les valeurs des constantes, il peut y avoir existence globale d’une solution,ou formation d’un amas de cellules en temps fini.

On décrira une nouvelle preuve de non-explosion dans le cas sous-critique, qui permet approcher cette équation par un système de particules stochastiques. Ce système est composé de N browniens dans le plan, qui s'attirent suivant une force en 1/r. On décrira précisément, dans le cas surcritique, les collisions qui engendrent l'explosion.

S'il reste du temps, on parlera aussi du cas où le produit diffuse à une vitesse finie.

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Mardi 10 décembre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Loren Coquille (Université Grenoble Alpes) Glassyness of the Ising free state on regular trees

At low temperature, the free state of the Ising model is not extremal. On a lattice, it is a convex sum of the « plus » and the « minus » phases, while on a regular tree, its extremal decomposition is a continuous measure, supported on (uncountably many) inhomogeneous extremal states. I will present a proof of this result, which provides explicit concentration bounds on ”branch overlaps”, playing the role of an order parameter for typical extremals. This gives the free state a flavour of a spin glass.

(This is a joint work with Christof Külske (Bochum) and Arnaud Le Ny (Paris-Est Créteil))

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Mardi 3 décembre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jurgen Angst (Université de Rennes) Sur les points critiques des polynômes aléatoires

Soit $(Z_k)$ une suite de variables aléatoires complexes indépendantes et identiquement distribuées de distribution commune $\mu$ et soit $P_n(X):=\prod_{k=1}^n (X-Z_k)$ le polynôme aléatoire associé dans $\mathbb C[X]$. En 2015, Z. Kabluchko a établi le résultat remarquable et inconditionnel qui affirme que la mesure empirique $\nu_n$ associée aux points critiques de $P_n$ converge faiblement en probabilité vers la mesure de base $\mu$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment renforcer cette convergence en probabilité en une convergence presque sûre. Nous évoquerons aussi le cas des zéros des dérivées d'ordres supérieurs. Travaux en commun avec D. Malicet et G. Poly.

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Mardi 26 novembre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Xiaolin Zeng (Université de Strasbourg) Transition spectrale d'Anderson pour un opérateur aléatoire associé à un processus de sauts renforcé par site en dimension 1 avec un potentiel décroissant

Le processus de sauts renforcé par site (le VRJP) est une marche aléatoire dans un environnement aléatoire, lequel peut être décrit par un opérateur de Schrödinger aléatoire. Nous présentons la transition entre la localisation et la délocalisation spectrale de cet opérateur en relation avec le comportement du processus dans un cadre unidimensionnel avec des paramètres décroissants. En particulier, ces transitions se produiront à la même valeur critique. Travaille en collaboration avec Fumihiko Nakano et Laure Marêché.

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Mardi 19 novembre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Marie Albenque (IRIF, Université Paris Cité) Sign clusters in the Infinite-Ising weighted triangulations

In this talk, I will survey some recent results about Ising-decorated triangulations.

In this model, triangulations are sampled together with a spin configuration on their vertices (i.e. a 2-coloring of its vertices), with a probability biased by the number of monochromatic edges, via a parameter nu. The fact that there exists a critical value for this model has been initially established in the physics literature by Kazakov and was rederived by combinatorial methods by Bousquet-Mélou and Schaeffer, and Bouttier, Di Francesco and Guitter. In this talk, I will give geometric evidence that this model undergoes a phase transition by studying its monochromatic clusters. In particular, we establish that, when nu is critical or subcritical, the cluster of the root is finite almost surely, and is infinite with positive probability for nu supercritical.

This is based on joint works with Laurent Ménard and with Laurent Ménard and Gilles Schaeffer.

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Mardi 5 novembre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Cécile Mailler (Université de Bath) Un théorème « des deux tables » pour une version désordonnée du restaurant chinois

Dans ce travail en collaboration avec Jakob Björnberg, Peter Mörters, and Daniel Ueltschi, nous étudions une version du restaurant chinois dans laquelle les tables ont de poids aléatoires i.i.d. Les clients arrivent un à un dans ce restaurant, et chaque client décide d’ouvrir une nouvelle table avec probabilité proportionelle à un paramètre $\theta$, ou de s’assoir à une table déjà occupée avec probabilité proportionelle au poids de cette table multiplié par le nombre de clients déjà assis à cette table. Nous montrons que, en probabilité quand le nombre de clients dans le restaurant tend vers l’infini, une proportion équivalente à 1 des clients dans le restaurant sont assis à une même table. Ce résultat n’est pas vrai presque sûrement, mais si l’on considère la proportion des clients assis à l’une des deux plus grandes tables, alors cette proportion converge presque sûrement vers 1.

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Mardi 15 octobre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sébastien Martineau (LPSM, Sorbonne Université) Sharpness en percolation et conjecture de localité de Schramm

On définit la percolation de Bernoulli en conservant ou effaçant chaque arête d'un graphe de façon indépendante, avec une même probabilité de conservation p pour toutes les arêtes. Il y a alors une valeur critique, dépendant du graphe, où le comportement bascule : en-dessous de cette valeur, il n'y a presque sûrement aucune composante connexe infinie ; au-dessus, il en existe presque sûrement au moins une.

Quand on est strictement sous le point critique, la probabilité que la composante de l'origine contienne au moins n sommets converge vers 0 quand n tend vers l'infini. Sous des hypothèses très raisonnables (graphe transitif), il se trouve qu'elle converge exponentiellement vite vers 0. Cet énoncé renforcé permet de démontrer que si un paramètre est sous-critique pour un graphe transitif, il le sera pour tout graphe transitif qui a la même boule de rayon R pour peu que R soit pris assez grand (d'une façon qui dépend du paramètre et du graphe transitif de départ).

Peut-on trouver un énoncé renforcé dans le cas surcritique ? Et si oui, peut-on en déduire la version surcritique du corollaire précédent ? En d'autres termes, en regardant une boule de grand rayon dans un graphe transitif, peut-on déterminer la valeur du point critique à epsilon près ? L'exposé sera dédié à ces questions.

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Mardi 8 octobre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Daniel Kious (Université de Bath) Sharp threshold for the ballisticity of the random walk on the exclusion process

In this talk, I will overview works on random walks in dynamical random environments. I will recall a result obtained in collaboration with Hilario and Teixeira and then I will focus on a work with Conchon–Kerjan and Rodriguez. Our main interest is to investigate the long-term behavior of a random walker evolving on top of the simple symmetric exclusion process (SSEP) at equilibrium, with density in [0,1]. At each jump, the random walker is subject to a drift that depends on whether it is sitting on top of a particle or a hole. We prove that the speed of the walk, seen as a function of the density, exists for all density but at most one, and that it is strictly monotonic. We will explain how this can be seen as a sharpness result and provide an outline of the proof, whose general strategy is inspired by techniques developed for studying the sharpness of strongly-correlated percolation models.

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Mardi 1 octobre 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Fanny Augeri (LPSM, Université Paris Cité) Grandes déviations du spectre de graphes d’Erdös-Rényi sparse surcritiques

Quel est le comportement de grandes déviations du spectre d’un graphe d’Erdos-Rényi dense ? En raison de la non-integrabilité de ce modèle, cette question représente un défi majeur à la théorie classique des grandes déviations. Dans cet exposé, nous examinerons une relaxation de ce problème en considérant des graphes d’Erdös-Rényi sparse surcritiques, c’est-à-dire dont le degré moyen est sous-linéaire mais diverge au moins comme le logarithme du nombre de sommets. Dans ce régime de sparsité, où la mesure empirique des valeurs propres converge, après normalisation, encore vers une loi du semi-cercle, nous montrons un principe de grande déviation avec une fonction de taux solution d’un certain problème variationnel. Cette fonction de taux révèle en particulier que les seules déviations possibles sont autour de mesures provenant d’équations quadratiques vectorielles et que les changements de mesures optimaux consistent à rendre le graphe inhomogène, tout en gardant la structure d’indépendance des arêtes.

Exposé basé sur le preprint arXiv:2401.11925.

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Mardi 25 juin 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Mikhail Basok (Université d'Helsinki) Dimers on a Riemann surface and compactified free field

In this talk I will be speaking about the dimer model sampled on a general Riemann surface. In this setup, the dimer height function becomes additively multivalued with a random monodromy. Given a sequence of graphs approximating the conformal structure of the surface in a suitable way, the underlying sequence of height functions is expected to converge to the compactified free field on the surface. Recently, this problem was addressed by Berestycki, Laslier and Ray in the case when a Riemann surface is approximated by Temperley graphs. Using various probabilistic methods, they obtained the following universal result: given that the random walk associated with these graphs converges to the Brownian motion on the surface (in an appropriate sense), the limit of height functions exists, is conformally invariant and does not depend on a particular sequence of graphs. However, the identification of the limit with the compactified free field was missing in this result. In my recent work I attempt to fill this gap by studying the same problem from the perspective of discrete complex analysis. For this purpose, I consider graphs embedded into locally flat Riemann surfaces with conical singularities and satisfying certain local geometric conditions. In this setup I obtain an analytic description of the limit which allows to identify it with a suitable version of the compactified free field; I also prove the convergence in some non-Temperleyan cases when the surface is generic. A core part of this approach is the regularity theory on t-embeddings recently developed by Chelkak, Laslier and Russkikh, as well as an analytic technique linking the problem with Quillen determinant of a family of Cauchy-Riemann operators developed by Dubédat.

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Mardi 11 juin 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Charles Bordenave (CNRS, Université Aix-Marseille) Spectre des matrices de Toeplitz bruitées

Travail en cours et en collaboration avec Mireille Capitaine et François Chapon. Les matrices de Toeplitz forment une classe très riche de matrices possiblement non-normales mais dont l'analyse spectrale en grande dimension est bien comprise. Le spectre de ces matrices sont notoirement très sensibles à des petites perturbations. Dans cet exposé, nous verrons comment comprendre le spectre d'une matrice de Toeplitz à bande perturbée par une matrice aléatoire dans l'asymptotique de la grande dimension. La méthode proposée est originale, elle repose notamment sur un nouveau TCL multivarié pour des traces de polynômes en une matrices aléatoire et des matrices déterministes.

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Mardi 28 mai 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Christophe Garban (Université Claude Bernard Lyon 1) Invisibility of the integers for the discrete Gaussian chain via a Caffarelli-Silvestre extension of the discrete fractional Laplacian

The “Discrete Gaussian Chain” is a model which extends the celebrated long-range 1D lsing model with 1/r^\alpha interactions. The latter model is known to have a rather intriguing phase-diagram. Instead of having +/- spins, the discrete Gaussian Chain is a random field with values in the integers Z. After introducing this model and its history, I will describe its large scale fluctuations (described by fractional Brownian motion) and will compare its phase diagram with the case of long-range Ising model.

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Mardi 14 mai 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Cédric Boutillier (LPSM) Limites de tableaux de Young aléatoires : une approche déterminantale

Nous présentons des résultats pour la limite d'échelle et la limite locale de grands tableaux de Young standards uniformes dont la forme (renormalisée) λ₀ est fixée. Le point de départ est l'analyse asymptotique d'un processus déterminantal étudié par Gorin et Rahman, qui permet en particulier : - de calculer la surface limite pour la limite d'échelle à partir d'une équation polynomiale dépendant de λ₀ - de décrire la limite locale de ces grands tableaux de Young par une famille de tableaux de Young infinis, construits à partir du processus du collier de perles.

Il s'agit d'une collaboration avec Jacopo Borga, Valentin Féray et Pierre-Loïc Méliot.

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Mardi 23 avril 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Hubert Lacoin (IMPA) Équivalence entre désordre fort et désordre très fort pour les polymères dirigés en milieu aléatoire

Le polymères dirigés en milieu aléatoire est un modèle de mécanique statistique, originellement introduit comme un modèle “jouet” pour décrire le comportement des interfaces du modèle d'Ising bidimensionnel avec constante de couplage aléatoire. Le modèle a été rapidement généralisé en dimension supérieure. Dans ce cas, il peut correspondre à une modélisation d'un polymère étiré dans une solution inhomogène. Ce modèle a depuis engendré une littérature abondante en physique théorique et en mathématique. Une question centrale dans l'étude du modéle est celle de la transition de localisation. Cette transition peut-être identifiée par l'étude du comportement asymptotique de la fonction de partition du modèle. Si la fonction de partition converge vers une variable aléatoire strictement positive, on dit que le désordre est faible alors que si elle converge vers 0 presque sûrement, on dit que le désordre est fort. Il a été montré que le désordre faible implique que la distribution des trajectoires du polymère converge vers celle d'un Brownien standard, alors que dans la phase de désordre fort, des résultats de localisation des trajectoires ont été montrés. Les résultats de localisation les plus significatifs ont été obtenus sous l'hypothèse plus forte que la fonction de partition converge exponentiellement vers zéro un régime désigné sour le nom de désordre “très fort”. Il a été conjecturé que, au moins dans un sens faible, désordre fort et très fort sont équivalents. Dans cet exposé nous présenterons certains éléments d'une preuve de cette conjecture. (issu d'une collaboration avec Stefan Junk)

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Mardi 2 avril 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benoit Corsini (Eurandom) Modèles aléatoires d'arbres binaires de recherche

Lors de ce séminaire je vais présenter différents modèles d'arbres binaires de recherche, un objet couramment utilisé en informatique pour étudier l'organisation optimale de données. Je vais commencer par définir plusieurs modèles d'arbres binaires de recherche, basés sur différents modèles de permutations (permutations uniformes, de Mallows et biaisées de record). Après ça, je vais expliquer quelques propriétés intéressantes de ces arbres, notamment comment ils peuvent être construits récursivement. Finalement, je vais conclure cette présentation en donnant des résultats concernant la hauteur de ces arbres et expliquer comment ces résultats peuvent être extraits des constructions précédemment introduites.

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Mardi 26 mars 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Christophe Profeta (Evry) Sur le déplacement maximal de certains processus de Lévy branchants

On considère un processus de branchement markovien dans lequel les particules évoluent indépendamment comme des processus de Lévy spectralement négatifs. L'objectif de cet exposé est d'étudier la position maximale atteinte par une particule dans deux situations où le processus s'éteint p.s. On s'intéressera tout d'abord au cas où la loi de reproduction est critique ou sous-critique, puis ensuite au cas surcritique, mais en présence d'une barrière absorbante.

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Mardi 12 mars 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Charles Bertucci (Ecole polytechnique) Un nouveau regard sur la dynamique du spectre de grandes matrices aléatoires

La dynamique du spectre de grandes matrices aléatoires prend souvent la forme d'un système d'EDS en interactions singulières. Dans la limite champ moyen, on peut alors caractériser cette dynamique à l'aide d'une EDP non linéaire. Il se trouve que cette EDP peut-être étudiée avec la théorie des solutions de viscosités. Une fois que l'on a montré un principe de comparaison, comme d'habitude dans la théorie des solutions de viscosités, on aboutit à des résultats forts de stabilité. Je vais revisiter ett étendre certains résultats classiques à travers cette observation ainsi qu'ouvrir sur le problème des grandes déviations de tels systèmes. Cet exposé sera basé sur plusieurs travaux, dont l'union des co-auteurs est M Debbah, JM Lasry, PL Lions et PE Souganidis (et moi même…).

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Mardi 27 février 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jérémie Bouttier (IMJ-PRG) On the O(n) loop model on random maps

Maps are discrete surfaces obtained by gluing polygons, and form a natural model of random geometry. Of particular interest is the study of their large-scale properties, which has been an active field of research for more than 25 years. A major open question is the geometry of maps which are “decorated” by a statistical physics model at a critical point. I will present some results about a specific instance of such model, namely the O(n) loop model on random maps. Based on past and ongoing collaborations with G. Borot, E. Guitter, B. Duplantier, G. Miermont and J. Turunen.

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Mardi 6 février 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Hao Wu (Tsinghua) Multiple SLEs and Dyson Brownian motion

Multiple SLEs come naturally as the scaling limit of multiple interfaces in 2-dimensional statistical physics models. Dyson Brownian motion usually describes the movement of trajectory of independent Brownian motions under mutual repulsion. In this talk, we will describe the connection between multiple SLEs and Dyson Brownian motion. The talk has two parts.

In the first part, we take critical FK-Ising model as an example and explain the emergence of multiple SLEs. We give the connection probabilities of multiple SLEs. Such probabilities are related to solutions to BPZ equations in conformal field theory.

In the second part, we explain the connection between multiple SLEs and Dyson Brownian motion. It turns out that, under proper time-parameterization, and conditioning on a rare event, the driving function of multiple SLEs becomes Dyson Brownian motion. Using such connection, we may translate estimates on Dyson Brownian motion to estimates on multiple SLEs.

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Mardi 23 janvier 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Curien (Université Paris-Saclay) Où les feuilles poussent-elles sur un arbre (aléatoire) ?

Luczak et Winkler ont montré qu'il était possible de créer une chaîne d'arbres binaires uniformes $(T_n : n \geq 0)$ où l'arbre $T_{n+1}$ est obtenu à partir de $T_n$ en accrochant “une feuille”. Nous montrons que l'endroit où il faut accrocher cette feuille n'est pas du tout uniforme sur $T_n$ mais supporté par un ensemble “fractal” de dimension $3(2 - \sqrt{3})$.

Travail en commun avec Alessandra Caraceni et Robin Stephenson.

Séminaire de Probabilités
Mardi 16 janvier 2024, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Cristina Toninelli (Université Paris Dauphine) Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model: sharp threshold

The Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model (FA-2f) on Z^d is a paradigmatic interacting particle system with kinetic constraints (KCM) featuring cooperative and glassy dynamics. For FA-2f vacancies facilitate motion: a particle can be created/killed on a site only if at least 2 of its nearest neighbors are empty. We will present sharp results for the first time, τ, at which the origin is emptied for the stationary process when the density of empty sites (q) is small: in any dimension d ≥ 2 it holds τ\sim \exp( (dλ(d,2)+o(1)) / q^{1/(d−1)} ) w.h.p., with λ(d, 2) the threshold constant for the 2-neighbour bootstrap percolation on Z^d. This is the first sharp result for a critical KCM and settles various controversies accumulated in physics literature over the last four decades. We will explain the dominant relaxation mechanism leading to this result, give a flavour of the proof techniques, and discuss further results that can be obtained via our technique for more general KCM, including full universality results in two dimensions. [Joint work with I.Hartarsky and F.Martinelli]


Année 2023

Séminaire de Probabilités
Mardi 19 décembre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Anna Ben-Hamou (LPSM, Sorbonne Université) Inférence statistique sur des arbres aléatoires récursifs à communautés

Dans cet exposé, on introduira un modèle d’arbre aléatoire récursif présentant une structure à deux « communautés », au sens où chaque nouveau noeud s’attache de façon préférentielle à un noeud du même type que lui, cette préférence étant mesurée par un paramètre q de [0,1]. De nombreuses questions d’ordre statistique peuvent être posées sur ce modèle: si l’on observe l’arbre aléatoire obtenu au bout d’un temps donné, en enlevant la donnée des types mais en gardant éventuellement la donnée des temps d’arrivée, peut-on estimer le paramètre q? Ou simplement distinguer deux valeurs différentes de ce paramètre? De façon plus ambitieuse, peut-on trouver une partition des noeuds qui soit corrélée de façon significative avec la « vraie » partition? Nous apporterons quelques éléments de réponse à ces questions. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vasiliki Velona (Université hébraïque de Jerusalem).

Séminaire de Probabilités
Mardi 12 décembre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Piet Lammers (LPSM, Sorbonne Université) Planarity, percolation, and height functions

Fröhlich and Spencer proved the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in 1981, through a relation with delocalisation of height functions. My talk focuses on the phase transition for height functions. We mix ideas coming from height functions and planar percolation models in order to prove a coarse-graining inequality inspired by the renormalisation group picture. This allows us to make precise statements about the phase transition (e.g. sharpness) even without knowing exactly where this transition point lies. This talk is based on the recent preprint arXiv:2211.14365 (A dichotomy theory for height functions).

Séminaire de Probabilités
Mardi 28 novembre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Barbara Dembin (CNRS) Sharpness surcritique pour la percolation de Voronoi

Soit d≥2. Considérons un processus ponctuel de Poisson η d'intensité 1 dans R^d. À chaque point x de η, associons une cellule formée par l'ensemble des points de R^d plus proches de x que de tout autre point de η. Chaque cellule est coloriée indépendamment en noir avec une probabilité p. On peut démontrer qu'il existe une valeur critique p_c de p au-dessus de laquelle il existe presque sûrement une composante connexe noire infinie. Nous démontrons que la phase sur-critique se comporte bien, dans le sens où pour tout p>p_c, il y a unicité locale des composantes connexes noires macroscopiques avec une très grande probabilité. Cela correspond au résultat clé de Grimmett & Marstrand pour la percolation de Bernoulli et constitue le point de départ pour les techniques de renormalisation utilisées dans l'étude des propriétés fines de la phase sur-critique. Travail en commun avec Franco Severo.

Séminaire de Probabilités
Mardi 21 novembre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thomas Budzinski (CNRS et ENS Lyon) Triangulations aléatoires de grand genre

Résumé : Les triangulations aléatoires sont des modèles naturels de surfaces discrètes aléatoires. Elles ont été très étudiées depuis une vingtaine d'année dans le cas planaire (i.e. homéomorphe à la sphère), et font apparaître des objets limites avec un comportement fractal. On s'intéressera au cas où les triangulations forment des surfaces de genre grand, i.e. qui tend vers l'infini de manière linéaire en le nombre de sommets. Dans ce régime, le comportement devient très différent du cas planaire, et rappelle celui des graphes aléatoires. Par exemple, on verra que les distances deviennent logarithmiques en la taille. Travaux en commun avec Baptiste Louf et Guillaume Chapuy.

Séminaire de Probabilités
Mardi 14 novembre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Juhan Aru (EPFL) Trois anecdotes sur le champ libre gaussien

Je vais parler des 3 observations simples pour le champ libre gaussien reliées à sa caractérisation, à sa décomposition en excursions de signe et sa relation avec le modèle de spin O(N). Dans chaque cas j'explique d'abord un peu le contexte et après je présente l'observation.

Séminaire de Probabilités
Mardi 17 octobre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Roberto Imbuzeiro Oliveira (IMPA) Contact process over dynamical graphs

Séminaire de Probabilités
Mardi 10 octobre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Quentin Berger (LPSM, Sorbonne Université) Limites d’échelles de systèmes désordonnés

Je présenterai quelques résultats récents concernant les limites d’échelles de systèmes désordonnés et des conséquences que l’on peu en tirer. Je me concentrerai essentiellement sur le modèle de Poland-Scheraga, aussi connu sous le nom de modèle d'accrochage, qui est utilisé pour décrire le phénomène de dénaturation de l’ADN : la question est de savoir si (et comment) le désordre perturbe la transition de dénaturation. Je décrirai notamment les résultats obtenus dans le cadre d’une version généralisée (censée être plus réaliste) du modèle, en collaboration avec Alexandre Legrand.

Séminaire de Probabilités
Mardi 3 octobre 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Guillaume Baverez (Université Humboldt de Berlin) Singular modules and null-vector equations in Liouville conformal field theory

In conformal field theory (CFT), the null-vector (or BPZ) equations are a set of PDEs satisfied by correlation functions (and conformal blocks) involving so-called “degenerate primary fields” (i.e. fields associated to degenerate representations of the Virasoro algebra). These equations are parametrised by a pair of positive integers (r,s) labelling the representation (“Kac table”), and by the topological type of the surface on which the CFT lives. The BPZ operator is a partial differential operator of order rs (the “level”) on the Teichmüller space of the surface, and it annihilates the conformal blocks if the corresponding representation is irreducible. In the probabilistic formulation of Liouville CFT, the BPZ equations have been shown to hold in some special cases (for correlation functions at level 2, on the sphere and to some extent in genus one), and they are key inputs in the proofs of certain exact formulae (e.g. the “DOZZ formula”). In this work, we generalise these results to all values of the parameters, and we make an explicit connection with the algebraic structure of the theory. Namely, we construct the degenerate modules for all (r,s) and show that they are irreducible. Then, we use a geometric characterisation of conformal blocks to translate this local information into a PDE on Teichmüller space. The talk will focus on the probabilistic aspects of this work: I will explain how to construct the modules using elementary properties of the Gaussian free field and Gaussian multiplicative chaos. An interesting feature of this construction is a probabilistic interpretation of the Kac table. Ongoing work with Baojun Wu.

Séminaire de Probabilités
Mardi 20 juin 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Peter Friz (TU and WIAS Berlin) Liouville geometry and rough paths

A Riemannian metric gives rise to the Laplace-Beltrami operator and which generators, as Markov process, a natural symmetric diffusions process known as Brownian motion. About 10 years ago, Garban-Rhodes-Vargas and (simultaneously) Berestycki introduced “Liouville Brownian motion”, based on a highly singular metric, obtained by multiplying the planar Euclidean metric by the exponential of the Gaussian free field. I will report on a project with Sebastian Andres (Manchester) and Yizheng Yuan (Cambridge) on the construction of Liouville Brownian rough paths.

Séminaire de Probabilités
Mardi 30 mai 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Zhan Shi (Chinese Academy of Sciences) Le système continuum de Derrida - Retaux

Le système continuum de Derrida - Retaux provient de certains modèles de renormalisation hiérarchiques en mécanique statistique ; c’est aussi un processus de croissance-fragmentation au sens de Bertoin. Je ferai quelques discussions élémentaires sur certaines propriétés asymptotiques du système. Travail en commun avec Bernard Derrida et Thomas Duquesne.

Séminaire de Probabilités
Mardi 16 mai 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Antoine Jégo (EPFL) Points épais du mouvement brownien branchant critique en dimension 4

L’objet principale de cet exposé est le mouvement brownien branchant, avec un mécanisme de branchement critique, dans la dimension critique d=4. Nous calculons la dimension fractale des points épais, i.e. des points où le temps local est anormalement élevé, et obtenons une représentation probabiliste pour certaines solutions négatives d’une EDP semilinéaire. Joint avec Nathanael Berestycki et Tom Hutchcroft.

Séminaire de Probabilités
Mardi 9 mai 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Omer Adelman (LPSM, Sorbonne Université) Rationalité et probabilité et, en particulier, le problème de la Belle au bois dormant

Le problème de la Belle au bois dormant est un des “paradoxes” probabilistes les plus intéressants et les moins consensuels.

Y avoir réfléchi à l'avance serait avantageux pour les personnes présentes. Si vous avez l'intention d'être là le mardi 9 mai, je vous conseille donc de vous renseigner assez tôt (à six heures du matin, par exemple) sur le problème de la Belle au bois dormant. Je vous conseille, en particulier, de vous familiariser avec les termes “demiste”, “tiériste” et “double demiste” et avec les principaux arguments de chaque camp.

Si, en plus, vous réfléchissez au problème et vous vous faites une opinion (en vous ralliant éventuellement à un des camps que la controverse oppose toujours), ce ne sera pas plus mal.

Une telle préparation de votre part devrait nous permettre de clore la séance avant minuit.

Le problème du la Belle au bois dormant a donné du fil à retordre à pas mal de monde. Si les choses se déroulent comme je le prévois, alors les fils auront été détordus à la fin de mon exposé.

Merci pour votre attention, Omer Adelman

Séminaire de Probabilités
Mardi 18 avril 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Christophe Sabot (Institut Camille Jordan, Univ. Lyon 1) Matsumoto-Yor properties related to the Vertex Reinforced Jump process

In this talk we will present some relations between classical computations on exponential functionals of the Brownian motion and some representation of the Vertex Reinforced Jump Process (VRJP). In particular we will show how the Lamperti transformation, the Markov property of the Matsumoto-Yor process have natural generalizations to the multidimensionnal setting involving the representation of the VRJP by a random Schrödinger operator. Besides, a discrete version of the Matsumoto-Yor porperties appears also, in a rather different way, in terms of some natural functionals associated with the one-dimensional VRJP.

Séminaire de Probabilités
Mardi 11 avril 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre-François Rodriguez (Imperial College London) Percolation and the phase transition for the vacant set of random walk

We will consider the set of points visited by the random walk on the discrete d-dimensional torus of side length N, for d ≥ 3, at times of order uNd, for a parameter u > 0 and in the large-N limit. Its complement (the vacant set of the walk) is believed to undergo an abrupt percolation phase transition across a non-degenerate critical value u∗ = u∗(d), in the following sense: for all u < u∗, the vacant set contains a giant connected component with high probability, which has a non-vanishing asymptotic density. In stark contrast, for all u > u∗ the vacant set scatters into tiny connected components. I will survey existing results regarding the above conjecture, both for this model and the related vacant set of random interlacements, introduced by Sznitman in Ann. Math., 171 (2010), 2039–2087, which corresponds to its Gibbsian limit. The discussion will lead up to recent progress regarding the long purported equality of various critical parameters naturally associated to this phase transition.

Séminaire de Probabilités
Mardi 4 avril 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sylvia Serfaty (LJLL (Sorbonne Université) et NYU Courant) Transition dipolaire dans le plasma à deux composantes

On étudie le gaz de Coulomb ou plasma à deux composantes, où N charges positives et N charges négatives interagissent logarithmiquement dans le plan. On obtient un développement de l'énergie libre et des principes de grande déviations qui montrent une transition d'un système de charges libres à un système de dipôles appariés. Travaux en collaboration avec Jeanne Boursier, Thomas Leblé, Ofer Zeitouni.

Séminaire de Probabilités
Mardi 28 mars 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (LPSM, Sorbonne Université) Théorie des excursions pour les processus de Markov indexés par des arbres de Lévy

Les processus de Markov indexés par des arbres de Lévy sont des éléments fondamentaux de la théorie des probabilités. Ils sont liés à la théorie des super-processus et jouent un rôle crucial dans plusieurs théorèmes limites. Plus récemment, le mouvement brownien indexé par l'arbre brownien a été utilisé comme bloc élémentaire pour construire les différents modèles de surfaces browniennes. Dans cette présentation, nous allons expliquer comment construire une théorie des excursions avec temps local pour ces processus, ainsi que discuter plusieurs applications éventuelles. Cette présentation sera complètement auto-contenue et ne nécessitera aucune connaissance préalable. Les résultats présentés ont été obtenus dans le cadre d'un travail en collaboration avec Alejandro Rosales-Ortiz.

Séminaire de Probabilités
Mardi 21 mars 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Delphin Sénizergues (Université Paris-Nanterre) La taille du plus grand sous-arbre commun entre deux arbres binaires à feuilles étiquetées

On considère des arbres binaires à n feuilles, numérotées de 1 à n. Pour t_n et t_n' deux tels arbres, on s'intéresse à la taille du plus grand sous-ensemble S de {1,2,…,n} tel que le sous-arbre engendré par les feuilles étiquetées par S dans t_n soit le même que dans t_n'. Je présenterai des résultats qui traitent de cette quantité dans différents contextes quand n tend vers l'infini. En particulier, dans le cas où les arbres t_n et t_n' sont tirés uniformément au hasard et de façon indépendante, nous montrons dans un travail en cours avec Thomas Budzinski que la taille du sous-arbre commun maximal est typiquement O(n^{1/2-\epsilon}), pour un certain \epsilon>0, ce qui améliore la meilleure borne connue en O(n^{1/2}), obtenue par un argument de premier moment.

Séminaire de Probabilités
Mardi 14 mars 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thierry Bodineau (CNRS et IHES) Fluctuations et grandes déviations pour un gaz de sphères dures

La dynamique d'un gaz peut être modélisée par un billiard composé d'une multitude de sphères dures évoluant selon les lois de la mécanique classique. Initialement, les sphères sont distribuées au hasard selon une mesure de probabilité qui est ensuite transportée par le flot déterministe de la dynamique. Depuis les travaux de Lanford, on sait que la densité du gaz converge dans la limite cinétique vers l'équation de Boltzmann (au moins pour un temps court). Dans un premier temps, nous commencerons par rappeler cette convergence et l'émergence de l'irréversibilité dans la limite cinétique. Même si l'équation de Boltzmann est une bonne description du comportement typique du gaz de sphères dures, le système de particules reste distribué aléatoirement. La deuxième partie de cet exposé sera consacrée à la description des fluctuations de la densité autour de l'équation de Boltzmann et aux grandes déviations.

Séminaire de Probabilités
Mardi 14 février 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Colin Guillarmou (LMO, Universite Paris-Saclay et CNRS) Quelques développements de la théorie des champs de Liouville en dimension 2

J’expliquerai comment des outils probabilistes combinés avec de l’analyse et la théorie des espaces de modules permet de bien comprendre la théorie conforme des champs en dimension 2 sur un modèle emblématique, la théorie de Liouville, qui est une théorie des surfaces Riemanniennes aléatoires. Il s’agit de travaux en commun avec Baverez, Kupiainen, Rhodes, Vargas.

Séminaire de Probabilités
Mardi 24 janvier 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Anne-Laure Basdevant (LPSM, Sorbonne Université) Coloriage poissonien du plan

Dans cet exposé, nous considérerons un modèle où des points tombent successivement au hasard sur une région du plan et prennent alors la couleur du point déjà présent le plus proche de lui. Nous donnerons quelques propriétés topologiques du coloriage limite et nous regarderons en particulier la dimension de Hausdorff de la frontière des clusters de chaque couleur.

Travail en cours avec G. Blanc, N. Curien et A. Singh

Séminaire de Probabilités
Mardi 17 janvier 2023, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Antoine Dahlqvist (University of Sussex) The planar master field and its projections

I shall consider in this talk random matrix models which are particular instances of the so-called Yang-Mills measure on surfaces. We shall start with a model of 2 random unitary matrices, of size N, whose joint law depend on a temperature parameter T. When the temperature goes to infinity, the pair of matrices converge in law toward two independent Haar distributed random matrices. When the temperature goes to zero, the joint law converge to two commuting random matrices, whose eigenvalues behave asymptotically in N, as independent uniform random variables on the circle. In this talk, we focus on large N asymptotics of the joint law of the two matrices, by considering their joint non-commutative distribution. We shall see that it leads to an interpolation between Voiculescu's free convolution and the classical convolution of two Haar measures on the circle. This interpolation is closely related to the notion of free unitary Brownian motion, but differs form a previous interpolation introduced by F. Benaych-George and T. Lévy. We shall conclude with a conjecture generalising this result to 2g matrices and to the Yang-Mills measure on compact surfaces of non-negative Euler characteristic.

This is part of an ongoing work and of 2 joint papers with T. Lemoine (Lille).


Année 2022

Séminaire de Probabilités
Mardi 13 décembre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Laurent Massoulié (Inria Paris et DI ENS) Alignment of random graphs: informational and computational limits

Graph alignment is a generic unsupervised machine learning objective with many applications, including de-anonymization of social network data. In this talk we shall consider alignment of correlated Erdös-Rényi random graphs. We shall describe recent results on information-theoretic limits to feasibility of alignment. We shall also describe polynomial-time algorithms for such alignment and sufficient conditions under which they succeed. These latter results are obtained by analysing a hypothesis testing problem of determining whether two Galton-Watson random trees are correlated or independent. The discrepancy between the informational and computational feasibility conditions for graph alignment suggests that the alignment problem displays a so-called “hard phase”, an intriguing phenomenon that has been observed in several other high-dimensional statistical learning tasks.

Séminaire de Probabilités
Mardi 6 décembre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Amandine Véber (MAP5, Université Paris Cité; CMAP, Ecole Polytechnique; CNRS) Propriétés de croissance du processus Lambda-Fleming-Viot à “infinité de parents”

Le processus Lambda-Fleming-Viot à “infinité de parents” est un modèle d'expansion de population en espace continu, en 2 dimensions, dans lequel les régions non colonisées sont considérées comme étant remplies d'individus de type “inexistant” (ou fantôme…). Ce modèle peut être vu comme une version en espace continu du modèle de croissance d'Eden et il est doté d'un processus dual qui permet de retracer l'origine “généalogique” d'un échantillon d'individus pris dans la population actuelle. Dans cet exposé, on s'intéressera aux propriétés de croissance de la région occupée par des individus “réels”. A l'aide d'un modèle auxiliaire très simple, on discutera également de la manière dont les fluctuations au front rendent la vitesse d'expansion plus rapide que celle prédite par des estimées de premier moment. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Apolline Louvet (Université de Bath).

Séminaire de Probabilités
Mardi 29 novembre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thierry Lévy (LPSM, Sorbonne Université) De quoi le déterminant du laplacien est-il le nombre ?

Sur un graphe connexe fini, le produit des valeurs propres non nulles du laplacien compte les arbres couvrants enracinés, d'après un théorème souvent attribué à Kirchhoff (1847), ou parfois à Sylvester (1857). Parmi de nombreuses généralisations de ce résultat classique, celles de Zaslavsky (1982), Forman (1993) et Kenyon (2011) affirment que lorsqu'on tord le laplacien en mettant sur chaque arête un signe ou une phase, complexe ou quaternionique, son déterminant compte les forêts couvrantes d'unicycles.  Avec Adrien Kassel, nous cherchons depuis plusieurs années à étendre ces généralisations au laplacien covariant associé à une connexion unitaire quelconque, c'est-à-dire au laplacien tordu par une matrice unitaire sur chaque arête. J'expliquerai ce que nous espér(i)ons trouver, que nous n'avons (toujours) pas trouvé, et ce que nous avons trouvé à la place. Je présenterai plusieurs objets aléatoires associés au laplacien covariant, en particulier le champ libre gaussien vectoriel, et plusieurs processus déterminantaux. Je décrirai une généralisation de la notion classique de processus ponctuel déterminantal que nous avons proposée pour donner une formule, intégrale, pour le déterminant du laplacien covariant.

Séminaire de Probabilités
Mardi 22 novembre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benoît Laslier (LPSM, Université de Paris) Est ce qu'un morceau de configuration de dimères détermine son domaine de définition ?

Un modèle critique est, presque par définition, censé concilier une décroissance lente des corrélations entre observables microscopiques avec des propriétés de mélange pour des observables macroscopiques. Une formalisation relativement forte de cette notion de mélange est de dire que changer les conditions au bord du modèle ne peux pas avoir un effet singulier (au sens de la théorie de la mesure) sur le modèle loin du bord. Je présenterais une preuve de ce résultat pour l'arbre couvrant uniforme et le modèle de dimères avec condition au bord de Temperley.

Séminaire de Probabilités
Mardi 15 novembre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yilin Wang (IHES) Large deviations of multichordal SLE0+, real rational functions, and zeta-regularized determinants of Laplacians

We study the large deviations as k goes to 0 of n-chordal SLE_k, a set of n simple random curves connecting 2n boundary points of a simply connected domain, modeling the interfaces in 2D critical statistical mechanics models with alternating boundary conditions. The large deviation rate function is described using the Loewner potential that we introduced, which depends on the boundary data and the curves.

We show that the potential minimizers for a given boundary data are the real locus of rational functions. This connection provides a new proof of the Shapiro conjecture on the classification of rational functions with real critical points, first proved by Eremenko and Gabrielov. Moreover, the potential can be expressed in terms of determinants of Laplacians, and the minimal potential satisfies the semiclassical limit of PDEs arising from the Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equations in conformal field theory. This is joint work with Eveliina Peltola (Bonn, Aalto).

Séminaire de Probabilités
Mardi 8 novembre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Djalil Chafaï (DMA, ENS et CEREMADE, Dauphine) Universal cutoff for Dyson Ornstein Uhlenbeck process

We study the Dyson-Ornstein-Uhlenbeck diffusion process, an evolving gas of interacting particles. Its invariant law is the beta Hermite ensemble of random matrix theory, a non-product log-concave distribution. We explore the convergence to equilibrium of this process for various distances or divergences, including total variation, relative entropy, and transportation cost. When the number of particles is sent to infinity, we show that a cutoff phenomenon occurs: the distance to equilibrium vanishes abruptly at a critical time. A remarkable feature is that this critical time is independent of the parameter beta that controls the strength of the interaction, in particular the result is identical in the non-interacting case, which is nothing but the Ornstein-Uhlenbeck process. We also provide a complete analysis of the non-interacting case that reveals some new phenomena. Our work relies among other ingredients on convexity and functional inequalities, exact solvability, exact Gaussian formulas, coupling arguments, stochastic calculus, variational formulas and contraction properties. This work leads, beyond the specific process that we study, to questions on the high-dimensional analysis of heat kernels of curved diffusions.

Séminaire de Probabilités
Mardi 18 octobre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Philippe Biane (Université Paris-Est) Processus d'exclusion simple quantique et cumulants libres

Je montrerai comment les fluctuations du processus d'exclusion simple quantique (une version quantique du fameux processus d'exclusion, qui a été introduite récemment dans la littérature physique) peuvent être décrite au moyen de cumulants libres, des quantités qui apparaissent dans un tout autre domaine: les probabilités libres et les matrices aléatoires.

Séminaire de Probabilités
Mardi 11 octobre 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre Tarrès (CNRS, LPSM) La marche *-renforcée, statistique bayésienne et physique statistique

Nous introduisons une généralisation non réversible récente de la marche linéairement renforcée par arêtes, et sa motivation en statistique bayésienne des chaînes de Markov d'ordre variable. Ce processus est partiellement échangeable au sens de Diaconis et Freedman (1982), et sa mesure de mélange peut être calculée explicitement. Il peut être associé à un processus continu appelé le *-processus renforcé par sommets, qui lui-même n'est pas échangeable en général. Nous discuterons de quelques propriétés de ce processus.

Travail en collaboration avec S. Bacallado et C. Sabot.

Séminaire de Probabilités
Mardi 11 janvier 2022, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Igor Kortchemski (CNRS, CMAP, Ecole Polytechnique) Non encore annoncé.


Année 2021

Séminaire de Probabilités
Mardi 14 décembre 2021, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eva Löcherbach (SAMM, U. Paris 1 Panthéon Sorbonne) Non encore annoncé.

Séminaire de Probabilités
Mardi 7 décembre 2021, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Adrien Kassel (CNRS UMPA, ENS Lyon) Non encore annoncé.

Séminaire de Probabilités
Mardi 30 novembre 2021, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Béatrice De Tilière (Ceremade, U. Dauphine) Non encore annoncé.

Séminaire de Probabilités
Mardi 23 novembre 2021, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Wei Qian (CNRS, Laboratoire Mathématique d'Orsay, U. Paris-Saclay) Non encore annoncé.

Séminaire de Probabilités
Mardi 16 novembre 2021, 14 heures, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre Monmarche (LJLL et LCT, Sorbonne Université) Quelques applications d'algorithmes stochastiques en dynamique moléculaire

Dans cet exposé, je présenterai différentes collaborations menées ces dernières années avec des chimistes et physiciens de Jussieu (LCT, PHENIX…) pour la simulation moléculaire. Le but est d'avoir un aperçu du type de difficultés qu'ils rencontrent et de voir ce que l'interaction avec des probabilistes et statisticiens peut apporter aux uns et aux autres.

[*] https://arxiv.org/abs/2004.13353