La théorie de Yang–Mills quantique décrit les interactions élémentaires à l’aide d'intégrales sur des espaces de dimension infinie. La construction rigoureuse de la mesure permettant de donner sens à ces intégrales demeure un défi mathématique majeur. Si aucune construction n’est connue à ce jour dans le cas d’un espace-temps de dimension 3 ou 4, le cas de la dimension 2 a été étudié avec succès par plusieurs auteurs. Dans cet exposé, je présenterai les objets mathématiques associés à la mesure de Yang–Mills, j’expliquerai les spécificités du cadre bidimensionnel, et je discuterai d'un résultat récent obtenu en collaboration avec Nguyen Viet Dang (IRMA, Strasbourg).

A central task in the statistical analysis of spatial point patterns is to infer the relationship between the point distribution and a collection of covariates of interest. This talk will present recent theoretical and methodological advances for covariate-based nonparametric Bayesian intensity estimation, in the two relevant asymptotic regimes for the problem: large domains and replicated observations. For large domains, it is shown how the presence of covariates allows to borrow information from far away locations in the observation window, leading to minimax-optimal posterior contraction rates in both global and point-wise loss functions, under different classes of priors. For the replicated observations regime, we consider the case of “anisotropic” intensity functions, which is common in applications where the covariates have different physical nature. We devise a “multi-bandwidth” Gaussian process method, and prove that it achieves optimal and adaptive posterior contraction rates. We further show how posterior inference can be implemented in practice via a suitable Metropolis-within-Gibbs sampling algorithm. Lastly, we will illustrate the performance of the method via numerical simulations, and present an application to a Canadian wildfire dataset. Joint works with Alisa Kirichenko, Judith Rousseau and Patric Dolmeta.

This talk introduces the M-layer construction, a recent graph-theoretic and diagrammatic method designed to study critical phenomena on finite-dimensional lattices [1,2]. By performing a perturbative expansion in topological loops around a random regular graph, this framework provides a unified tool to analytically compute correlation functions and critical exponents. This presentation motivates the need for this approach, discussing the limitations of standard field theories in disordered systems, and thoroughly introduces the foundational concepts of the method. A brief recap of the main results is then given [3,4], including its application to the zero-temperature spin glass in a magnetic field, where it provides new analytical insights below the upper critical dimension [5]. The conclusion includes the connections of this approach to concepts in graph theory, such as graph M-coverings, offering a powerful alternative to standard Renormalization Group techniques.

1. Altieri, A., Angelini, M. C., Lucibello, C., Parisi, G., Ricci-Tersenghi, F., & Rizzo, T. (2017). Loop expansion around the Bethe approximation through the M-layer construction. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2017(11), 113303. 2. Palazzi, S. “The M-Layer construction: a diagrammatic framework for critical behavior in lattice models.”, PhD thesis, Sapienza University of Rome (2025). 3. Angelini, M. C., Palazzi, S., Parisi, G., & Rizzo, T., “Bethe M-layer construction on the Ising model.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2024.6 (2024): 063301. 4. Angelini, M. C., Palazzi, S., Rizzo, T., & Tarzia, M., “Bethe M-layer construction for the percolation problem.” SciPost Physics 18.1 (2025): 030. 5. Angelini, M. C., Palazzi, S., Parisi, G., & Rizzo, T., “Critical exponents of the spin-glass transition in a field at zero temperature.” Proceedings of the National Academy of Sciences 122.37 (2025): e2511882122.

Dans un travail en collaboration avec Juhan Aru, nous considérons deux modèles naturels de fonctions de hauteur aléatoires sur des arbres avec conditions de bord zéro sur un sous-ensemble de feuilles ; à savoir, le champ libre gaussien discret, et un modèle analogue de fonctions de hauteur aléatoires à valeurs entières. Pour ces deux modèles, nous considérons la loi de la hauteur à la racine lorsque l'arbre sous-jacent consiste en les $n$ premières générations d'un arbre de Bienaymé surcritique, et chaque feuille est gardée dans le bord indépendamment avec probabilité $p_n$. Une transition de phase localisation/délocalisation apparaît alors autour de $p_n=n/m^n$, où $m>1$ est l'espérance de la loi de reproduction, et nous établissons une limite d'échelle gaussienne pour la hauteur à la racine dans le modèle à valeurs entières dans le régime délocalisé. Notre preuve repose sur un résultat de concentration quenched pour les marches branchantes surcritiques.

Résumé: Cette thèse étudie le comportement transient de certains processus de diffusion planaires avec interactions au bord, telles que des réflexions ou des interfaces poreuses. Elle porte en particulier sur le calcul des fonctions de Green, l'analyse de leurs asymptotiques et la détermination de la frontière de Martin. La théorie de la frontière de Martin permet notamment de décrire la manière dont ce type de processus s'échappe à l'infini en tenant compte de l'ensemble des trajectoires et fournit l'ensemble des fonctions excessives et harmoniques associées. Les techniques principales utilisées dans la thèse sont les équations fonctionnelles à noyau(x), la méthode du point col, divers outils d'analyse complexe sur des courbes elliptiques, ainsi que la méthode de compensation employée pour traiter les cas des processus dégénérés. Les asymptotiques des fonctions de Green pour les processus étudiés sont alors explicites, tout comme la frontière de Martin qui encode l'ensemble des fonctions harmoniques.

Mots clefs: Frontière de Martin, Equations fonctionnelles à noyau, Mouvement Brownien réfléchi obliquement, Méthode du point col, Approche par compensation, Diffusion avec barrière perméable, Transformées de Laplace.

We study a mean-field system of interacting particles represented by stochastic differential equations (SDE's) with jumps, introduced in [1] as a model describing the time evolution of neuronal potentials in the human brain. Depending on the renormalization of the interaction : either averaging scaling (1/N) or diffusive scaling (1/\sqrt N)-it was shown in [1] and [2] that, as the number of particles tends to infinity, the system exhibit the propagation of chaos and conditional propagation of chaos, respectively. Assuming that the jump intensity depends on an unknown parameter, we establish the Local Asymptotic Normality (LAN) property in the averaging case and the Local Asymptotic Mixed Normality (LAMN) in the diffusive case. Some implications regarding the performance of the maximum likelihood estimator are also derived. The limiting Fisher information depends on the limit of the empirical measure of the system. It is deterministic in the averaging regime, random in diffusive regime. This phenomenon explains the dichotomy between LAN and LAMN. Based on joint works with Xavier Erny, Aline Duarte, Eva Löcherbach, Dasha Loukianova.

[1] Fournier, N. and Löcherbach, E. (2016). On a toy model of interacting neurons. Ann.Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 52(4), 1844–1876. [2] Erny, X., Löcherbach, E. and Loukianova, D. (2021). Conditional propagation of chaos for mean field systems of interacting neurons. Electron. J. Probab. 26, 1–25.

Le modèle de miroirs de Lorentz fournit un cadre épuré pour étudier un transport macroscopique engendré uniquement par le désordre figé de l’environnement. Nous introduisons une version hiérarchique pour laquelle la distribution des traversées gauche–droite satisfait une récurrence exacte. En dimension d\geq 3, nous démontrons rigoureusement un transport normal : la conductance moyenne se comporte comme (\text{section transverse})/(\text{longueur}) à toutes les échelles de longueur. Une hypothèse de fermeture gaussienne, étayée par les simulations numériques, prédit que le rapport variance/moyenne de la conductance converge vers la valeur universelle 2/3 pour tout d\geq 2 —ce que nous appelons la « loi des 2/3 ». Nous fournissons des preuves numériques de cette loi des 2/3 dans le modèle original, non hiérarchique, des miroirs de Lorentz en dimension d=3, et conjecturons qu’il s’agit d’une signature universelle du transport normal induit par un appariement aléatoire des courants. Il s’agit d’une collaboration avec Hal Tasaki (Gakushuin University).