On s’intéresse à une statistique de permutations aléatoires appelée indice majeur. Lorsque la permutation est choisie uniformément parmi toutes celles de taille n, la loi de l’indice majeur est une convolée de lois uniformes discrètes, et le calcul des grandes déviations est aisé. On verra que ce principe de grandes déviations est encore vrai si l’on se restreint à de petites parties du groupe symétrique liées à la bijection de Robinson-Schensted. Le calcul des fonctions de taux met alors en jeu de nombreux ingrédients combinatoires ou probabilistes : fonctions de Schur, observables de diagrammes, changement de mesures, etc.

L'étude de mesures invariantes se réduit, pour les chaînes de Markov, à de l'algèbre linéaire. On les obtient par le calcul des vecteurs propres, à gauche et à droite, de la matrice de transition. En plus grande dimension, cela n'est malheureusement plus si simple. A notre connaissance, aucun cadre algébrique ne permet effectivement de définir correctement la notion de bords invariants pour les champs Markoviens. Dans le cas (discret) des champs Markoviens sur le réseau carré Z^2, de récents travaux de la part de D.Simon apportent une solution reposant sur la théorie des opérades. Ce cadre algébrique fait intervenir de nouveaux objets de bord encore peu compris. Dans cet exposé nous essaierons de donner et de comprendre ces objets dans le cas particulier des champs Gaussiens Markoviens. Afin de planter le décor, nous parlerons d'abord du cas unidimensionnel des chaînes de Markov Gaussiennes. Celles-ci présentent déjà bon nombre d'identités remarquables intéressantes en soi mais aussi, et surtout, utiles pour la plus grande dimension. Nous aborderons ensuite le cas des champs Gaussiens Markoviens sur le réseau carré.

We introduce a class of models for opinion dynamics in a popula- tion with two interacting families of individuals characterized by con- formist or nonconformist behaviour. We prove propagation of chaos and we observe that models with conformist vs. nonconformist fam- ilies exhibit periodic behaviour on a macroscopic scale. To describe fluctuations between periodic limit orbits, we identify a slow variable and a fast variables in the microscopic system. We rescale space and time and, through an averaging principle, we find that the slow pro- cess converges to a solution of a one-dimensional stochastic differential equation.