Soient $f, g^1, \dots, g^d : {\mathbb R}^d \longrightarrow {\mathbb R}$ des fonctions continues. Lorsque les fonctions $g^1, \dots, g^d$ sont de classe $\mathcal{C}^1$, identifier la $d$-forme $f {\, \mathrm{d}} g^1 \wedge \cdots \wedge {\, \mathrm{d}} g^d$ à la fonction continue $f\operatorname{det}({\, \mathrm{d}} g)$ permet de définir l'intégrale $$ \int_{\Omega} f {\, \mathrm{d}} g^1 \wedge\dots\wedge {\, \mathrm{d}} g^d = \int_{\Omega} f(x) \operatorname{det}({\, \mathrm{d}} g(x)) {\, \mathrm{d}} x, \quad \Omega \text{ borélien borné de } {\mathbb R}^d.$$ Si les fonctions $g^1, \dots, g^d$ ne sont pas dérivables, il n'est pas aisé de donner un sens à l'objet $f {\, \mathrm{d}} g^1 \wedge \dots \wedge {\, \mathrm{d}} g^d,$ ni même de définir directement certaines intégrales $\int f{\, \mathrm{d}} g^1 \wedge \dots \wedge {\, \mathrm{d}} g^d.$ Lorsque les fonctions considérées sont höldériennes et possèdent un indice de régularité suffisamment grand mais strictement inférieur à $1$, nous proposerons une réponse possible à ce problème.

À l'époque des grandes données, de nombreux ensembles de données présentent des structures de dépendance spatiale ou spatio-temporelle complexes. Notre objectif est de développer des méthodes statistiques capables d’exploiter efficacement ces dépendances. En un premier temps, nous nous concentrons sur les processus de Hawkes spatio-temporels. De nombreuses données spatio-temporelles, notamment en sociologie ou épidémiologie, présentent des dynamiques auto-excitantes que les processus de Hawkes permettent de modéliser de manière précise et efficace. Pour faire face aux défis posés par les grands volumes de données, nous proposons une méthode d’inférence paramétrique rapide et flexible pour estimer les paramètres de la fonction d’intensité. Notre approche statistique repose sur trois ingrédients clés : (1) l'utilisation de fonctions noyaux à support fini, (2) la discrétisation du domaine spatio-temporel, et (3) des pré-calculs efficaces, éventuellement approximatifs. Nous présentons des expériences numériques sur des données spatio-temporelles, synthétiques et réelles (issues de la sismologie et de la criminologie). Dans un second temps, nous analysons le Krigeage simple sous l’angle de l’apprentissage statistique, en cherchant à prédire un champ aléatoire de covariance inconnue à partir d’un échantillon fini, tout en minimisant le risque quadratique. Du fait de la dépendance spatiale, l’analyse de la capacité de généralisation est un défi complexe. Nous établissons des bornes non asymptotiques sur l’excès de risque d’une règle plug-in, illustrées par des expériences numériques sur des données simulées.

Abstract: We study semi-infinite particle systems on the one-dimensional integer lattice, where each particle performs a continuous-time nearest-neighbour random walk, with jump rates intrinsic to each particle, subject to an exclusion interaction which suppresses jumps that would lead to more than one particle occupying any site. We review some results we have in collaboration with Mikhail Menshikov and Andrew Wade; these are mainly about the behaviour of the leftmost particle (namely, its transience/recurrence properties), and the rate of escape to infinity (in the transient case). Also we study this process in a random environment, i.e., when these parameters are chosen at random with some common distribution for all the particles, independently; then, we obtain results about the stable cloud decomposition of the system.

Résumé: Cette thèse est consacrée à l’étude des processus ponctuels en cluster de Poisson marqués, en se concentrant sur leurs propriétés asymptotiques. Nous développons des résultats limites pour certaines fonctionnelles de ces processus, sous l’hypothèse que le mécanisme de branchement générateur (la distribution jointe des marques et du nombre de descendants) est spécifié par une distribution à variation régulière. Sous ces conditions de queues lourdes, nous établissons des asymptotiques précises de queues de distribution pour des fonctionnelles de ces processus, ainsi que des principes de grandes déviations trajectorielles pour les sommes partielles dans l’espace de Skorokhod muni de la topologie M1, particulièrement adéquate pour capturer le comportement en clusters des discontinuités des processus limites. Nous illustrons enfin la validité des hypothèses posées sur ces modèles à travers une étude d’un jeu de données sismiques en Suisse

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Abstract: This thesis is devoted to the study of marked Poisson cluster point processes, with a focus on their asymptotic properties. We develop limit theorems for certain functionals of these processes under the assumption that the branching mechanism (the joint distribution of marks and number of offspring) follows a regularly varying distribution. Under these heavy-tailed conditions, we establish precise tail asymptotics for functionals of these processes, as well as sample path large deviation principles for partial sums in the Skorokhod space equipped with the M1 topology, which is particularly well-suited to capturing the clustered behaviour of jumps in the limiting processes. Finally, we illustrate the relevance of the model assumptions through an analysis of a Swiss earthquake dataset