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Friday at 11:00, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209


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Friday June 9, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre-Loïc Méliot (Université Paris-Saclay) Grandes déviations de l’indice majeur d’une permutation

On s’intéresse à une statistique de permutations aléatoires appelée indice majeur. Lorsque la permutation est choisie uniformément parmi toutes celles de taille n, la loi de l’indice majeur est une convolée de lois uniformes discrètes, et le calcul des grandes déviations est aisé. On verra que ce principe de grandes déviations est encore vrai si l’on se restreint à de petites parties du groupe symétrique liées à la bijection de Robinson-Schensted. Le calcul des fonctions de taux met alors en jeu de nombreux ingrédients combinatoires ou probabilistes : fonctions de Schur, observables de diagrammes, changement de mesures, etc.

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Friday June 16, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Emilien Bodiot (LPSM) Champs Gaussiens Markoviens discrets: bords invariants.

L'étude de mesures invariantes se réduit, pour les chaînes de Markov, à de l'algèbre linéaire. On les obtient par le calcul des vecteurs propres, à gauche et à droite, de la matrice de transition. En plus grande dimension, cela n'est malheureusement plus si simple. A notre connaissance, aucun cadre algébrique ne permet effectivement de définir correctement la notion de bords invariants pour les champs Markoviens. Dans le cas (discret) des champs Markoviens sur le réseau carré Z^2, de récents travaux de la part de D.Simon apportent une solution reposant sur la théorie des opérades. Ce cadre algébrique fait intervenir de nouveaux objets de bord encore peu compris. Dans cet exposé nous essaierons de donner et de comprendre ces objets dans le cas particulier des champs Gaussiens Markoviens. Afin de planter le décor, nous parlerons d'abord du cas unidimensionnel des chaînes de Markov Gaussiennes. Celles-ci présentent déjà bon nombre d'identités remarquables intéressantes en soi mais aussi, et surtout, utiles pour la plus grande dimension. Nous aborderons ensuite le cas des champs Gaussiens Markoviens sur le réseau carré.


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Year 2023

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Friday June 2, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Fournier (LPSM) Recuit simulé dans Rd (avec C. Tardif)

Le recuit simulé est une méthode numérique dont le but est de trouver le minimum global d’une fonction U (ici de Rd dans R), et qui consiste à résoudre l’équation différentielle stochastique dX_t = dB_t - \beta_t \nabla U(X_t) dt. C’est donc une descente de gradient, avec du bruit (pour sortir des minima locaux). Pour que l’influence du bruit disparaisse en temps grand, il faut que \beta_t tende vers l’infini. Mais si on fait tendre \beta_t trop vite vers l’infini, on risque de rester coincé dans un minimum local de U. Je parlerai des travaux de Holley-Kusuoka-Stroock, 88-89, qui ont résolu cette question dans le cas où R^d est remplacé par une variété compacte, et de conditions de croissance de U à l’infini pour que leur résultat reste vrai dans R^d.

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Friday May 26, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Théophile Buffière (Université Paris-Nord) Fluctuations of random lattice zonotopes and polygons

If we take a uniformly random lattice polygon in the square [0,n]^2, Bárány, Vershik and Sinai proved that the renormalized polygon converges towards a limit shape. We study the fluctuations of a random lattice polygon around that limit shape. After establishing a central limit theorem of finite-dimensional marginals of the boundary point of a lattice zonotope in any dimension, we proved a Donsker-type theorem for the boundary fluctuations, which involves a 2-dimensional Brownian bridge and a drift term that we identify as a random cubic curve.

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Friday April 21, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Julien Reygner (École des ponts ParisTech) Statistique de réaction et relation de Hill pour la dynamique de Langevin

En dynamique moléculaire, les statistiques de réaction, telles que le temps moyen de réaction, sont des observables macroscopiques qui fournissent des informations importantes sur le comportement dynamique du système considéré. Elles permettent par exemple de décrire les changements de conformation de protéines. Le calcul direct de telles quantités est souvent impossible car il nécessite de simuler la dynamique microscopique sous-jacente sur des temps déraisonnablement longs.

La première partie de cet exposé présentera une identité qui permet d'exprimer les statistiques de réaction en fonction de quantités qui peuvent être facilement échantillonnées en ayant recours à des algorithmes d'événement rares existants. Cette identité est parfois attribuée à Hill dans la littérature physique. Du point de vue mathématique, elle peut être vue comme un résultat de théorie du potentiel.

Dans la seconde partie, le cas particulier de systèmes modélisés par la dynamique de Langevin sera examiné. On montrera en particulier en quoi ce modèle permet le calcul explicite de la mesure sous laquelle initialiser la simulation d'événements rares, ce qui fournit ainsi une méthode numérique complète, relativement simple, et que l'on espère efficace pour le calcul de statistiques de réaction.

Travail en collaboration avec Tony Lelièvre et Mouad Ramil.

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Friday April 14, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sébastien Darses (Marseille) Quelques identités et problèmes d’approximation liés à la fonction zeta de Riemann

Une des reformulations apparemment innocente de la terrifiante hypothèse de Riemann (HR) est le critère de Nyman-Beurling : l’indicatrice de [0,1] peut être approchée linéairement dans L^2 par des dilatations de la fonction partie fractionnaire. Considérer ces dilatations comme aléatoires génèrent de nouvelles structures et de nouveaux critères pour HR. Nous aborderons des aspects concrets de ces problèmes d’approximation : produit scalaire, distance L^2, problème des moments. On présentera brièvement la fonction zeta et son histoire mythique. L’exposé sera très accessible, notamment pour les doctorants.

Travaux en commun avec François Alouges et Erwan Hillion.

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Friday March 31, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Clément Foucart (Paris Nord) Explosions locales dans les processus de branchement logistiques

On suit la taille d'une population aléatoire où les individus se reproduisent comme dans un processus de branchement en temps et espace continus (CSBP) et où la croissance de la population est contrebalancée par un terme de compétition déterministe (processus de branchement logistique). Nous verrons que malgré la compétition, le processus peut exploser pour des lois de reproduction assez fortes et qu'il est la plupart du temps possible de définir une extension récurrente continue du processus après l'explosion. Le processus étendu fera ainsi des excursions en dehors de l'infini. Je donnerai une représentation de son semi-groupe et de son temps local ainsi que quelques propriétés de sa mesure d'excursion. Les outils utilisés dans la construction de l'extension récurrente et dans l'étude du temps local sont des relations de dualité pour les semi-groupes, appelées dualité de Laplace et dualité de Siegmund, qui sont intéressantes en elles-mêmes, et permettent d'utiliser la théorie des diffusions unidimensionnelles.

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Friday March 24, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Guillaume Dubach (ENS) Matrices aléatoires et chaises musicales

Je présenterai un modèle de matrices aléatoires dont les valeurs propres décrivent une dynamique analogue au jeu des chaises musicales: après être passées de la droite réelle au demi-plan supérieur, l'une d'entre elles se sépare du reste du spectre, tandis que les autres s'alignent à nouveau sur la droite réelle. Nous verrons notamment après combien de temps il est possible de distinguer avec forte probabilité la valeur propre “perdante”. Ce modèle est d'abord apparu en physique (théorie de la dispersion) où cette séparation d'une valeur propre correspond à un phénomène de résonance.

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Friday March 17, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Manon Defosseux (MAP5) Un théorème de Pitman pour le brownien dans l’intervalle : des preuves par affinité

Nous présenterons un théorème de Pitman pour le brownien dans l’intervalle, et expliquerons pourquoi il fournit un exemple de dialogue fructueux entre théorie des représentations, ici celle des algèbres de Kac—Moody affines, et théorie des probabilités

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Friday March 10, 2023, 11AM, Jussieu, Salle 15-16 309
Olivier Hénard (Orsay) Animaux dirigés et empilements de marches

On dessine le graphe d'une marche aléatoire sur les entiers (qui n’est pas la marche simple) du bas vers le haut puis on fait agir la gravite, les sommets s’empilant les uns sur les autres s’ils sont a distance horizontale 1; cela permet de définir des animaux dirigés selon la théorie des tas de pièces de Viennot, et le choix d’une loi idoine sur les incréments de la marche permet de recouvrir la mesure uniforme sur les animaux dirigés finis; aussi sous un conditionnement naturel de la marche, on obtient la mesure uniforme sur les animaux dirigés finis dont toutes les coordonnées sont positives. On étudie la limite locale de ces animaux vus de la racine ainsi que leur structure Markovienne par couches. On donne quelques premières propriétés des objets limites : calculs de marginales et quelques martingales. La majorité de l’exposé traitera le cas du réseau carré, et on mentionnera l’extension au cas du réseau triangulaire si le temps le permet. (Travail joint avec Édouard Maurel-Ségala et Arvind Singh).

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Friday February 17, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Claire Boyer (LPSM) Is interpolation benign for random forests?

Statistical wisdom suggests that very complex models, interpolating training data, will be poor at predicting unseen examples. Yet, this aphorism has been recently challenged by the identification of benign overfitting regimes, specially studied in the case of parametric models: generalization capabilities may be preserved despite model high complexity. While it is widely known that fully-grown decision trees interpolate and, in turn, have bad predictive performances, the same behavior is yet to be analyzed for Random Forests (RF). In this paper, we study the trade-off between interpolation and consistency for several types of RF algorithms. Theoretically, we prove that interpolation regimes and consistency cannot be achieved simultaneously for several non-adaptive RF. Since adaptivity seems to be the cornerstone to bring together interpolation and consistency, we study interpolating Median RF which are proved to be consistent in the interpolating regime. This is the first result conciliating interpolation and consistency for RF, highlighting that the averaging effect introduced by feature randomization is a key mechanism, sufficient to ensure the consistency in the interpolation regime and beyond. Numerical experiments show that Breiman's RF are consistent while exactly interpolating, when no bootstrap step is involved. We theoretically control the size of the interpolation area, which converges fast enough to zero, giving a necessary condition for exact interpolation and consistency to occur in conjunction.

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Friday February 10, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thomas Simon (Lille) Propriétés de convexité pour la loi de Mittag-Leffler

La variable aléatoire de Mittag-Leffler est définie par sa fonction génératrice des moments qui est la fonction classique de Mittag-Leffler Ea(x) de paramètre a dans (0,1). On présentera quelques propriétés de convexité pour cette variable aléatoire qui apparaît dans différents domaines. On établira un lien entre la log-concavité de la densité et la convexité réciproque de Ea(x). On mettra en évidence un “peacock” relié à la dimension d = 2(1-a) du processus de Bessel sous-jacent. Enfin, on énoncera des propriétés de sous-additivité et de log-concavité de Ea(x) pour tout a > 0 en liaison avec une inégalité néo-classique sur les coefficients binomiaux généralisés.

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Friday February 3, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Robin Kanfir (LPSM) Convergences d'arbres à boucles codés par des excursions

Un arbre à boucles est un espace composé d'un ensemble de cycles collés entre eux selon la structure d'un arbre et de manière tangente. Depuis leur introduction par Curien et Kortchemski en 2014, ces objets ont trouvé de nombreuses applications, notamment dans l'étude des cartes aléatoires. Dans cet exposé, on verra comment construire des arbres à boucles à partir de fonctions à valeurs réelles et on proposera un cadre général pour étudier leurs convergences. Pour cela, on définira des espaces hybrides comprenant des boucles et des branches que l'on appellera arbres à vernation. Enfin, on présentera une application sous la forme d'un principe d'invariance pour des arbres à boucles discrets.

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Friday January 27, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nikita Safonkin (Moscou) Semifinite harmonic functions on the zigzag graph

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Friday January 20, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Hélène Halconruy (ESILV) Analyse stochastique pour des processus binomiaux marqués et approximations poissoniennes

On peut observer un phénomène d’agglutination en étudiant le nombre de séries de t “pile” obtenues lors d’une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie ou le nombre d’apparitions d’un mot rare dans une séquence d’ADN. La méthode de Chen-Stein s’avère un outil particulièrement efficace pour borner l’erreur d’approximation lorsque la loi du nombre d’agglomérats peut être approchée par une loi de Poisson (éventuellement composé). Dans un travail sur lequel est basé cet exposé, on propose de revisiter cette méthode en ramenant les deux problèmes évoqués à celui d’approximations poissoniennes pour des fonctionnelles de processus binomiaux marqués (MBP), i.e., les analogues discrets de processus de Poisson composés. On développe alors des outils d’analyse stochastique pour les MBP ainsi qu’un calcul de Malliavin basé sur une famille d’opérateurs (gradient, divergence etc.). Sous ce nouveau formalisme, on obtient un critère général - pour la distance en variation totale - d’approximation poissonienne pour des fonctionnelles de MBP qui s’exprime en termes d’opérateurs de Malliavin. Dans cet exposé, on donnera des éléments du calcul de Malliavin développé pour les MBP, avant d’énoncer le résultat général d’approximation et de l’illustrer par l’application aux deux situations évoquées plus haut.


Year 2022

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Friday December 9, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Fanny Augeri (LPSM) Grandes déviations de la plus grande valeur propre de matrices de Wigner sparse.

Lorsque le degré moyen est au moins logarithmique en le nombre de sommets, les valeurs propres extrêmes de matrices de Wigner sparse collent au support de la loi du semi-cercle. Nous montrons que dans ce régime de sparsité, les grandes déviations de la plus grande valeur propre sont dominées par l'émergence d'une clique de taille sous-entropique munie de hauts poids ou bien d'un sommet de haut degré. De façon intéressante, la fonction de taux est discontinue en la valeur typique, ce qui reflète le fait que les déviations sont générées par des perturbations de rang fini. Ceci est un travail en collaboration avec Anirban Basak.

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Friday December 2, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Raphaël Lachièze Rey (MAP5) Percolation d'excursions de champs aléatoires

On considère un champ aléatoire réél multivarié, et plus particulièrement les propriétés géométriques et topologiques de ses excursions, ensembles obtenus après seuillage à un niveau donné. On s'intéresse plus particulièrement à leur percolation, i.e. l'existence de composantes connexes non-bornées. Le premier exemple étudié concerne les champs gaussiens lisses, obtenus par convolution d'un bruit blanc gaussien avec un noyau lisse intégrable, avec en particulier l'établissement d'une transition de phase “sharp” au voisinage de 0. Avec Stephen Muirhead, de l'Université de Melbourne, on s'est plus particulièrement intéressés aux champs “shot-noise”, obtenus par convolution d'un noyau intégrable lisse avec un processus poissonien homogène, qui peut aussi être vu comme un bruit blanc de nature discrète. On montre des résultats analogues au cas gaussien quand la loi du champ est symétrique, et dans le cas général, on établit un résultat de couplage avec un champ gaussien dans l'asymptotique de la haute intensité pour donner une estimation du seuil de percolation.

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Friday November 25, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benjamin Bonnefont (LPSM) Distribution de l’overlap à deux températures pour le mouvement Brownien branchant

Motivé par l’étude de la dépendance en température de la mesure de Gibbs, l’objectif de ce travail est d’analyser l’overlap à deux températures dans deux modèles gaussiens spécifiques: le premier est le mouvement brownien branchant et le second est un analogue où les énergies sont indépendantes (Random Energy Model). En utilisant la convergence des processus extrémaux de ces modèles, on établit la convergence de l’overlap vers des limites explicites que l’on peut alors comparer : si à une température les deux modèles sont identiques, une différence apparaît quand on considère l’overlap à deux températures.

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Friday November 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Clément Cosco (Dauphine) To be announced.

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Friday October 28, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Ismaël Bailleul Structures de régularités pour des EDPS singulières quasi-linéaires

Les EDPS singulières forment une classe d'équations qui partagent toutes le même défaut d'être classiquement mal définies en raison de la présence dans ces équations de termes aléatoires de faible régularité dont le produit avec d'autres termes n'est pas défini a priori. La théorie des structures de régularité de Hairer offre un cadre dans lequel faire donner sens et résoudre uniquement en petit paramètre des telles équations. Ce cadre est optimisé pour l'étude des équations semi-linéaires, c'est-à-dire des équations dont les coefficients devant les termes de dérivées de plus haut degré ne dépendent pas de l'inconnue. Il n'est pas facile d'adapter ce cadre à l'étude des équations quasi-linéaires, pour lesquelles ces coefficients dépendent de l'inconnue. Je décrirai dans cet exposé quelques uns des ingrédients d'une approche qui donne une image complète de la situation dans un cadre relativement large comprenant comme exemple l'équation (KPZ) généralisée conduite par un bruit blanc espace/temps.

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Friday October 21, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yijun Wan On the crossing estimates for simple conformal loops ensembles and the convergence of probabilities of topological events for the double-dimer model

Conformal loop ensembles (CLE) are candidates for the scaling limits of loop configurations in some statistical physics models at the critical temperature. For simple CLEs, we prove the super-exponential decay of probabilities of having n crossings of a quadrilateral uniformly on its conformal modulus as n goes to infinity. This implies the convergence of probabilities of macroscopic topological events for the double-dimer loop ensembles to those for the nested CLE(4) via the topological correlators studied by Basok and Chelkak.

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Friday October 14, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Titus Lupu (LPSM) Probabilités d'événements topologiques pour le champ libre gaussien sur graphe métrique

Le champ libre gaussien (CLG) sur graphe métrique est obtenu en interpolant le CLG discret sur réseau par des ponts browniens à l'intérieur des arêtes. L'avantage du CLG sur graphe métrique par rapport au CLG discret est que le premier, à la différence du second, satisfait certaines formules exactes, comme pour certaines probabilités de croisement. Ici nous allons présenter de nouvelles formules exactes pour certains événements topologiques portant sur les composantes de signe du CLG métrique. Ceci inclut par exemple la probabilité, sur un domaine planaire doublement connexe (domaine avec un trou), qu'une telle composante de signe entoure le trou intérieur du domaine. Ce type de probabilités et obtenus comme un ratio de deux déterminants de laplacien à la puissance 1/2, l'un étant le laplacien usuel, et l'autre un laplacien tordu par un champ de jauge à valeurs dans {-1,1}, ou ce qui est la même chose un laplacien sur un fibré en droites non trivial du domaine.

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Friday June 3, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
David Garcia Zelada (LPSM) Rayon spectral et polynôme caractéristique

Cet exposé portera sur des matrices aléatoires à coefficients i.i.d. et de carré intégrable. Il est connu que la mesure spectrale empirique converge vers la mesure uniforme sur le disque unité et la question de l'existence “d'outliers” s'impose. Je vais vous raconter la relation de ce problème avec l'étude du polynôme caractéristique en dehors du disque et comment obtenir le comportement asymptotique de ce dernier. Cette réponse négative à l'existence “d'outliers” a été trouvée dans un travail avec Charles Bordenave et Djalil Chafaï.

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Friday May 13, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Éric Vernier (LPSM) Statistiques spectrales de matrices aléatoires en présence de symétries discrètes

L'étude statistique du spectre de grandes matrices associées à des systèmes physiques (par exemple le Hamiltonien d'un système quantique complexe) et sa comparaison aux prédictions de la théorie des matrices aléatoires est un outil puissant qui permet notamment d'élucider la nature chaotique ou intégrable de ces systèmes. Je m'intéresserai ici à la présence de symétries discrètes, qui subdivisent ces matrices en plusieurs blocs indépendants. Puisque pour un système physique donné il peut être difficile en pratique de résoudre ces symétries, ou tout simplement impossible dans le cas où celles-ci n'étaient pas connues au départ, je présenterai des prédictions pour la statistique spectrale du système dans son ensemble. Des applications physiques seront discutées si le temps le permet. Travail en collaboration avec Olivier Giraud, Fabien Alet et Nicolas Macé, Physical Review X 12 (1), 011006

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Friday April 22, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bruno Ziliotto (Dauphine) Percolation Games

Inspired by first-passage percolation models, we consider zero-sum games on Z^d and study their limit behavior when the game duration tends to infinity. No game-theory background is needed.

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Friday April 1, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Alice Contat (Paris Saclay) Parking sur des arbres aléatoires

Le modèle de parking sur des arbres aléatoires a suscité beaucoup de développements récents en probabilités. Il donne lieu à un phénomène de transition de phase tres similaire à celui de la percolation. Nous présenterons ce modèle et en particulier les liens qu’il a avec les graphes aléatoires de type Erdös-Renyi.

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Friday March 25, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jeanne Boursier (Dauphine) Sur les fluctuations du gaz de Riesz circulaire

Je vais présenter des résultats sur les fluctuations d’un système de particules en interaction sur le cercle, se repoussant selon le potentiel de Riesz. Ce modèle est une extension du système appelé log-gas ou beta-ensemble, bien connu en théorie des matrices aléatoires. On établit des estimées optimales de rigidité pour les espacements des particules ainsi qu’un théorème central limite pour le nombre de points et plus généralement pour les statistiques linéaires associées à des fonctions-test possiblement singulières. On introduira l'équation de Helffer-Sjöstrand qui joue un rôle clé dans les preuves.

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Friday March 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (ETH Zurich) Limite d'échelle de cartes aléatoires à grandes faces

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux modèles de cartes aléatoires à grandes faces. Plus précisément, nous parlerons de cartes stables d'indice fixe $\alpha\in(1,2)$. Ces modèles ont un comportement très différent de celui des triangulations ou quadrangulations uniformes, ce qui leur a valu d’attirer rapidement une grande attention, notamment du fait de leurs liaisons avec les modèles de physique statistique sur des cartes uniformes.

Le but de cet exposé est de comprendre le comportement géométrique à grande échelle de ces modèles. En 2011, Jean-François Le Gall et Grégory Miermont ont établi la tension de ces derniers. Nous complétons cette étude en montrant l'unicité de cette limite (très différente de la sphère brownienne et dépendant de $\alpha$). Nous donnerons dans cet exposé une construction de ces modèles à l'aide de processus stochastiques classiques ayant des interprétations métriques ainsi que les grandes lignes de la preuve de l'unicité de la limite. En fonction du temps, nous expliquerons comment cette construction permet d'étudier la topologie et les géodésiques de ces espaces.

Cet exposé présente un travail en cours de finalisation avec Nicolas Curien et Grégory Miermont.

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Friday March 11, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Éric Luçon (MAP5) Comportement périodiques en temps long de modèles de champ-moyen excitables.

Travail en commun avec Christophe Poquet (Lyon 1). De nombreux phénomènes physiques mettent en jeu des systèmes dits excitables, (i.e. des systèmes qui, en l'absence de perturbation extérieure convergent naturellement vers un état stable alors qu'une perturbation suffisamment grande force le système à quitter cet état stable puis à y revenir). Un prototype de ce genre de dynamique est par exemple le modèle de FitzHugh-Nagumo modélisant l'évolution du potentiel de membrane d'un neurone. On s'intéresse ici à l'évolution de N systèmes excitables, soumis à une interaction en champ-moyen linéaire et à un bruit additif. Dans la limite en population infinie, l'évolution du système est correctement décrite par une équation de Fokker-Planck non-linéaire. Nous montrons tout d'abord l'existence de solutions périodiques pour cette EDP: l'addition simultanée de bruit et d'interaction force le système à se synchroniser autour de solutions périodiques. Nous montrons ensuite que pour N grand mais fini, sur une échelle de temps d'ordre N, la mesure empirique du système suit cette solution périodique, modulo des termes correctifs dûs au bruit.

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Friday February 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Matteo D'Achille (LAMA) ERAP : du pont brownien à la fonction \vartheta_4 de Jacobi

Considérons deux n-échantillons B (points bleus) et R (points rouges) de variables aléatoires i.i.d. à valeurs sur un espace métrique de dimension d, distribuées selon une mesure de probabilité \nu (désordre). Pour chaque permutation \pi de B dans R, il y a un hamiltonien aléatoire H(\pi) qui dépend de la distance D de l'espace métrique entre B et une permutation de R pour un exposant p réel.

Que pouvons-nous dire sur la loi (ou moments, etc.) de l'hamiltonien minimal H_opt (sur les permutations), en fonction du choix de l'espace métrique, du désordre et de l'exposant p, quand n tend vers l'infini ?

Ce problème est appelé “assignation aléatoire euclidienne” ou ERAP en anglais. Même si c'est un véritable modèle de verre de spin en dimension finie, et qu'il est équivalent au problème de Monge-Kantorovich entre les mesures empiriques des points bleus et rouges, l'ERAP s'est avéré être extrêmement difficile à étudier en général.

Dans cet exposé, je résumerai quelques résultats connus en dimension d=1, où des progrès ont été possibles grâce aux propriétés de la solution pour une large classe de désordres (notamment quand p >= 1) reliée au pont Brownien quand n tend vers l'infini.

En particulier, je deduirai la loi asymptotique de H_opt pour le cercle unitaire, en lien avec un travail de Biane, Pitman et Yor sur (entre autre choses) la transformée de Laplace de séries de variables Gamma indépendantes.

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Friday February 11, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Assaf Shapira (MAP5) Modèles à contraintes cinétique en milieux aléatoires

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Friday February 4, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yoan Tardy (LPSM) Collisions du système de particules de Keller-Segel surcritique.

Nous étudions un système de particules naturellement associé à l'équation de Keller-Segel 2-D. Il est constitué de N particules browniennes dans le plan, interagissant par une attraction en 1/r, où r représente la distance entre deux particules. Lorsque l'intensité de cette attraction, qui est un paramètre de l'équation, est supérieure à 2, ce système de particules explose en temps fini. Nous étudions en détail ce qu'il se passe à proximité de l'explosion. Il existe deux scénarios légèrement différents, en fonction des valeurs de N et de l'intensité de l'attraction : au moment de l'explosion, un amas constitué de k particules précisément émerge, pour un certain k>6 déterministe dépendant de N et de l'intensité de l'attraction. Juste avant l'explosion, il y a une infinité de collisions à k-1 particules. Il y a également une infinité de collisions à k-2 particules avant chaque collision à k-1 particules. Puis, il y a une infinité de collisions doubles avant chaque collision à k-2 particules. Enfin, les collisions de sous-ensembles de 3,…,k-3 particules ne se produisent jamais. L'autre scénario est similaire, sauf qu'il n'y a pas de collisions à k-2 particules.

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Friday January 21, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bastien Mallein (LAGA) Points extrêmes dans le mouvement brownien branchant multidimensionnel


Year 2021

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Friday December 17, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Lorenzo Bertini (La Sapienza (Rome)) Current fluctuations in stochastic lattice gases: Donsker-Varadhan meets Freidlin-Wentzell

We discuss the large deviations asymptotic of the time-averaged empirical current in stochastic lattice gases in the limit in which both the number of particles and the time window diverge. For some models it has been shown that dynamical phase transitions occur: the optimal density profile to realize such deviations is given by travelling waves rather than by homogeneous profiles. We shall prove a variational representation, proposed by Varadhan, for the corresponding rate function that is obtained by projecting the large deviations at the level of the empirical process.

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Friday December 10, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Titus Lupu (LPSM) Chaos multiplicatifs des soupes de boucles browniennes

Je présenterai un travail réalisé en collaboration avec Elie Aïdékon, Nathanael Berestycki et Antoine Jégo. Nous construisons des mesures aléatoires à partir de processus de Poisson de boucles browniennes en dimension 2. Ses mesures sont supportées sur des points exceptionnels qui sont des intersections d'une infinité de boucles différentes, et sont de multiplicité infinie pour chacune d'entre elles. De plus ces mesures sont conformément covariantes en loi. Pour un paramètre d'intensité particulier du Poisson, la mesure que l'on obtient est étroitement liée au chaos multiplicatif gaussien. Ceci provient d'une représentation du champ libre gaussien par boucles browniennes due à Yves Le Jan. Pour d'autres paramètres d'intensité du Poisson, on peut voit les mesures que l'on construit comme des chaos multiplicatifs non-gaussiens, qui ont beaucoup de propriétés en commun avec le chaos multiplicatif gaussien.

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Friday December 3, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Mendes Oulamara (IHES) Invariance par rotation de la percolation FK

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Friday November 19, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Vincent Bansaye (Polytechnique) Une construction spinale pour des modèles de populations en interaction

Nous nous intéresserons à des populations où les taux de transitions individuels (morts, naissances, mouvements…) sont dépendants des densités de populations, motivés en particulier par l'augmentation de la mortalité par compétition. L'objectif est de décrire la lignée ancestrale d'un échantillon à un temps donné, grâce à une construction markovienne progressive. Dans un premier temps, nous nous concentrerons sur le cas non structuré (pas d'espace) et nous donnerons un exemple d'application d'une telle construction pour décrire une transition de phase dans un modèle simple de croissance fragmentation avec compétition. Nous pourrons aborder ensuite une autre application ou l'extension de la construction à des populations structurées.

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Friday October 22, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eva Löcherbach (Panthéon-Sorbonne) Vitesse de convergence forte pour la propagation du chaos dans des systèmes de neurones en interactions dans un régime diffusif

Nous considérons un système de neurones en interactions avec des poids synaptiques aléatoires centrés, dans un régime diffusif. Je discuterai d'abord le comportement du système en grande population, qui est caractérisé par la propriété de propagation du chaos conditionnelle. Ensuite j'expliquerai comment des techniques de couplage dues à Komlos-Major-Tusnady, associée à une discrétisation en temps type schéma d'Euler, permettent d'obtenir une vitesse de convergence explicite pour l'erreur forte.

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Friday October 15, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Camille Coron (Paris Saclay) Contribution génétique des ancêtres dans une population biparentale

Nous étudions la composition génétique d’une population dans laquelle chaque individu a deux parents, qui contribuent de manière égale au génome de leurs enfants. Nous utilisons un modèle de Moran bi-parental, caractérisé par un nombre fixe, noté N, d’individus. On fixe un individu et on s’intéresse à la proportion du génome de tous les individus vivant n pas de temps plus tard, qui provient de cet individu. Quand n tend vers l’infini, ces proportions, prises pour chaque ancêtre, convergent presque sûrement vers la même variable aléatoire. Quand N tend à son tour vers l’infini, cette variable aléatoire multipliée par N (appelée le poids asymptotique d’un ancêtre dans la population) converge en loi vers le mélange d’une mesure de Dirac en 0 et une loi exponentielle de paramètre ½, et les poids des ancêtres sont indépendants. On en déduit que la suite des poids croissants de tous les ancêtres converge, sous une renormalisation appropriée, vers la fonction -2 ln(2(1-u)), pour u>1/2.