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Friday Probabilities


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Friday at 11:00, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209


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Year 2025

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Friday June 20, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thomas Jaffard (LPSM) Régularité höldérienne de formes volume distributionnelles

Soient $f, g^1, \dots, g^d : {\mathbb R}^d \longrightarrow {\mathbb R}$ des fonctions continues. Lorsque les fonctions $g^1, \dots, g^d$ sont de classe $\mathcal{C}^1$, identifier la $d$-forme $f {\, \mathrm{d}} g^1 \wedge \cdots \wedge {\, \mathrm{d}} g^d$ à la fonction continue $f\operatorname{det}({\, \mathrm{d}} g)$ permet de définir l'intégrale $$ \int_{\Omega} f {\, \mathrm{d}} g^1 \wedge\dots\wedge {\, \mathrm{d}} g^d = \int_{\Omega} f(x) \operatorname{det}({\, \mathrm{d}} g(x)) {\, \mathrm{d}} x, \quad \Omega \text{ borélien borné de } {\mathbb R}^d.$$ Si les fonctions $g^1, \dots, g^d$ ne sont pas dérivables, il n'est pas aisé de donner un sens à l'objet $f {\, \mathrm{d}} g^1 \wedge \dots \wedge {\, \mathrm{d}} g^d,$ ni même de définir directement certaines intégrales $\int f{\, \mathrm{d}} g^1 \wedge \dots \wedge {\, \mathrm{d}} g^d.$ Lorsque les fonctions considérées sont höldériennes et possèdent un indice de régularité suffisamment grand mais strictement inférieur à $1$, nous proposerons une réponse possible à ce problème.

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Friday May 23, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sara Brofferio (Univ. Créteil) Local stability for affine recursion in higher dimensions

We consider a stochastic dynamical system on Euclidean space, where a point evolves by successive application of random transformations. Starting from an initial point x, we define the process by repeatedly applying independent, identically distributed random functions, so that each step depends only on the previous position.

A central question is whether small changes in the starting point affect the long-term behaviour. In particular, we ask whether the distance between two trajectories—starting from distinct points—tends to zero as time evolves.

We focus on systems that are not globally stable but show “local stability”: the trajectories become close to each other when we look at the process through a bounded window. While this behaviour has been observed in one-dimensional systems under certain critical conditions—neither strictly contracting nor expanding—it is much less understood in higher dimensions.

In this talk, we present recent results on local stability for multidimensional random affine recursions. These are defined by applying at each step a random linear transformation followed by a random shift. This process has been widely studied for for its numerous applications and for its interest in the study of probabilities on algebraic structures. In fact its properties are strictly related to the behaviour of the product of random matrices. We focus on the critical regime, where the average rate of expansion or contraction (the Lyapunov exponent) is zero.

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Friday May 16, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Alejandro Rosales Ortiz (Univ. Zürich) Excursion theory for Markov processes indexed by Lévy trees

We begin by introducing Markov processes indexed by Lévy trees, a notion which was developed in a series of works by Duquesne, Le Gall and Le Jan, and that has seen multiple applications in recent years. We will then present the main aspects of a theory, developed in two recent works with Armand Riera, that describes the evolution of a Markov process indexed by a Lévy tree between visits to a regular, instantaneous point of the state space. Despite the radically different setting, we will see that our results share strong similarities with the celebrated Itô excursion theory for Brownian motion. An excursion theory for Brownian motion indexed by the Brownian tree was previously developed by Le Gall and Abraham [JEMS;18], and in particular we recover their results by different methods. Our work is motivated by applications in random geometry.

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Friday April 11, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Ronan Herry Limites en loi de polynômes évalués en des variables i.i.d.

Les résultats, maintenant classiques, des années 1920-1930 sur le TCL garantissent qu'une suite de formes linéaires Σ a_{i,n} X_i, avec les (X_i) i.i.d centrés et suffisamment intégrables et (a_{i,n}) de norme 1 dans l^2 pour tout n, sont de la forme Σ a_i X_i + G, avec (a_i) de norme ≤ 1 et G une gaussienne indépendante de (X_i).

Dans un travail récent avec D. Malicet et G. Poly, nous généralisons ce résultat pour des degrés quelconques. Précisément, si (P_n) est une suite de polynômes multivariés de degré ≤ D, alors toute limite en loi de (P_n(X_1, X_2, …)) est de la forme P(X_1, G_1, X_2, G_2, …) avec P un polynôme multivarié de degré ≤ D et (G_i) un vecteur gaussien standard indépendant des (X_i). Dans le cas des (X_i) gaussiens, cela résout une question de Kolmogrov des années 60.

La preuve de ce résultat passe par une analyse fine du cas gaussien avec un argument de récurrence sur le degré et l'utilisation d'une nouvelle quantité : les “influences directionnelles”, puis d'un argument d'universalité pour conclure dans le cas général. Je présenterai d'abord quelques motivations, conséquences et limites de notre résultat, puis j'aborderai la structure et les outils de la preuve en me limitant aux cas les plus simples en degré 1, 2 et 3.

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Friday April 4, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thomas Duquesne (LPSM) L’arbre de Derrida-Retaux continu: définition et représentation à l’aide de l’arbre brownien.

L’arbre de D-R continu est la limite d’échelle (conjecturale) du système de renormalisation hiérarchique de Derrida-Retaux discret. Cette convergence a été prouvée pour un modèle proche exactement soluble par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain.

L’arbre de D-R continu peut se voir comme un population de cellules évoluant selon un processus de croissance linéaire et de fragmentation uniforme, le paramètre de temps variant dans $[0, 1[$.

Nous donnons une première définition de l’arbre D-R continu.

Puis nous énonçons une loi des grands nombres faisant intervenir des ponts de Bessel de dimension 4, comme conjecturé dans le cas discret et démontré dans leur modèle par Y.Hu, B.Mallein et M.Pain. Cette loi limite été obtenue par des moyens analytiques.

Enfin nous donnons une nouvelle construction de l’arbre de D-R continu à l’aide de l’arbre brownien: elle permet de mieux comprendre certains aspects de l’arbre de D-R continu et notamment fournit une explication probabiliste à la loi limite faisant intervenir les ponts de Bessel de dimension 4.

Cet exposé s’appuie sur l’article de B. Derrida, T.D. et Z.Shi paru aux annales de IHP 2024 et sur un travail en cours avec E. Aïdékon, B. Derrida et Z. Shi.

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Friday March 28, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yueyun Hu (Univ. Sorbonne Paris Nord) Modèle de Derrida-Retaux sur un arbre de Galton-Watson

Cet exposé est basé sur un travail en commun avec Gerold Alsmeyer et Bastien Mallein. Nous considérons le modèle de Derrida-Retaux sur un arbre de Galton-Watson avec une loi de reproduction géométrique, et des lois initiales géométriques ou exponentielles. Nous caractérisons la courbe critique et montrons que les énergies libres vérifient la conjecture de Derrida-Retaux, en réduisant l’analyse à l’étude d’un système récursif.

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Friday March 14, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Paul Dario (LAMA (UPEC)) Localisation/Délocalisation pour la chaîne gaussienne à longue portée

Cet exposé sera consacré à la chaîne gaussienne discrète à longue portée avec des interactions de la forme $1/r^\alpha$. Je présenterai le modèle, son histoire et son diagramme de phase. Dans cette direction, un premier résultat notable est l'existence d'une transition de phase pour $\alpha = 2$ établie par Kjaer-Hilhorst et Fröhlich-Zegarlinski. Pour $\alpha > 2$, on ne s'attend pas à ce que le modèle possède une transition de phase et quelques résultats importants ont été obtenus récemment : Garban a identifié la limite d'échelle de la chaîne à haute température et Coquille-van Enter-Le Ny-Ruszel ont montré la délocalisation (qualitative) de la chaîne à toute température. Après avoir discuté ces résultats plus en détail, je présenterai quelques estimées quantitatives obtenues dans un travail en collaboration avec L. Coquille et A. Le Ny.

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Friday March 7, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Elisa Marini (Dauphine, CEREMADE) Strong propagation of chaos for systems of interacting particles with nearly stable jumps.

We consider a system of $N$ interacting particles, described by SDEs driven by Poisson random measures, where the coefficients depend on the empirical measure of the system. Every particle jumps with a rate depending on its position. When this happens, all the other particles of the system receive a same random kick, distributed according to a heavy tailed random variable belonging to the domain of attraction of an $\alpha$-stable law and scaled by $N^{-1/\alpha}$, $\alpha \in (0,2)\setminus \{1\}$. We call these jumps collateral jumps. Moreover, in case $0<\alpha<1$, the jumping particle itself undergoes a macroscopic, main jump. Similar systems are employed to model families of interacting neurons and, in that context, main and collateral jumps represent respectively the hyperpolarization of a neuron after a spike and the synaptic inputs received by post-synaptic neurons from pre-synaptic ones. We prove that our system has the conditional propagation of chaos property: as $N\to +\infty$, the finite particle system converges to an infinite exchangeable system which obeys a McKean-Vlasov SDE driven by an $\alpha$-stable process, and particles in the limit system are independent, conditionally on the driving $\alpha$-stable process.

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Friday February 21, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
William Da Silva (Université de Vienne) The scaling limit of the volume of loop-O(n) quadrangulations.

We study the volume of rigid loop-O(n) quadrangulations with a boundary of length 2p in the critical non-generic regime. We prove that, as the half-perimeter p goes to infinity, the volume scales in distribution to an explicit random variable. This limiting random variable is described in terms of the multiplicative cascades of Chen, Curien and Maillard, or alternatively (in the dilute case) as the law of the area of a suitable unit-boundary quantum disc, as determined by Ang and Gwynne. Our arguments go through a classification of the map into several regions, where we rule out the contribution of bad regions to be left with a tractable portion of the map. One key observable for this classification is a Markov chain which explores the nested loops around a size-biased vertex pick in the map, making explicit the spinal structure of the discrete multiplicative cascade.

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Friday February 14, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Alice Contat (Université Sorbonne Paris Nord) Coeurs critiques de graphes aléatoires

Motivés par le désir de construire de grands ensembles indépendants dans les graphes aléatoires, Karp et Sipser ont modifié la construction gloutonne habituelle pour produire un algorithme qui produit un ensemble indépendant avec un grand cardinal, les sommets restants formants un ensemble appelé le coeur de Karp-Sipser. Lorsqu’il est exécuté sur le graphe aléatoire d’Erdös-Rényi $G(n,c/n)$, cet algorithme est optimal tant que $c < \mathrm{e}$. Nous présenterons la preuve d’une conjecture physique de Bauer et Golinelli (2002) affirmant qu’à la criticité, la taille du coeur de Karp-Sipser est de l’ordre de $n^{3/5}$. En cours de route, nous mettrons en évidence les similitudes et les différences avec l’algorithme glouton habituel pour le $k$-coeur. Basé sur un travail commun avec Thomas Budzinski.

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Friday February 7, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Léonie Papon à venir

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Friday January 31, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Guillaume Barraquand (ENS Paris) Le paysage dirigé

Le paysage dirigé est un champ de distances aléatoires décrivant la limite d'échelle de la percolation de premier passage dans le plan, et plus généralement de tous les modèles de la classe de Kardar–Parisi–Zhang : modèles de croissance d’interface, percolation de dernier passage, systèmes de particules en interaction, etc. Sa construction, due à Dauvergne, Ortmann et Virag, s'appuie sur une étonnante propriété d’isométrie de la correspondance de Robinson–Schensted–Knuth, qui apparaît sous diverses formes dans la litérature, notamment un article de Biane, Bougerol et O'Connell de 2005.

Cet exposé donnera une introduction au paysage dirigé, nous verrons notamment comment cette isométrie intervient, et nous discuterons de quelques-unes des remarquables propriétés des géodésiques du paysage dirigé.

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Friday January 24, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
William Hammersley (LPSM) A Regularising Infinite Dimensional Common Noise for Mean Field Models

This talk will present joint work with François Delarue (Univ. Côte d'Azur) on a regularising diffusion in the space of square integrable probability measures over the reals. One begins by representing each probability measure via a uniquely chosen symmetric non-increasing random variable (over the circle) having that measure as its law under (unit-normalised) Lebesgue measure; this is akin to considering its quantile function representation. A diffusion on this space of functions is constructed via a discrete-in-time splitting scheme. Over an interval, one acts on the representative random variables (symmetrised quantiles) by an increment of stochastic heat driven by coloured noise, then at the end of the time interval, transforms the output function to its symmetric non-increasing rearrangement. This operation ensures the Markovianity of the resulting evolution of the induced measures. The fine time-mesh limit of the schemes can be shown to admit a well-posed characterisation that we call the rearranged stochastic heat equation. This diffusion's regularisation effect is illustrated via its associated semigroup, which maps bounded functions to Lipschitz ones with an integrable small-time singularity for the Lipschitz constants. A simple-to-write minimisation problem of a non-convex functional of probability measure is used as a prototypical and motivational example for which the stochastic gradient descent driven by the rearranged stochastic heat is studied. Exponential convergence to a unique equilibrium is observed under modest assumptions along with metastability properties exhibiting the same order as the finite dimensional setting.

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Friday January 17, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Matteo D'Achille (Orsay) Limites locales de la forêt massique sur le graphe complet

À quoi ressemble une forêt aléatoire d'un grand graphe complet, vue d'un sommet typique ?

Pour l'arbre couvrant uniforme, qui est une forêt avec une seule composante, la réponse à cette question est due à Grimmett : la limite locale est un arbre de Bienaymé-Galton-Watson critique, de loi de reproduction de Poisson, conditionné à survivre éternellement.

Dans cet exposé, je présenterai un modèle de forêt aléatoire massique sur tout graphe simple, inspiré par le champ gaussien massif.

Je montrerai que, pour le graphe complet, une transition de phase sépare la limite locale de Grimmett d'un nouvel arbre limite. Cet arbre aléatoire apparaît lorsque la masse est proportionnelle au nombre de sommets du graphe, et j'en décrirai explicitement la distribution.

Travail en collaboration avec Nathanaël Enriquez et Paul Melotti (2403.11740).

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Friday January 10, 2025, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Lucas D'Alimonte (LPSM) Théorie d’Ornstein-Zernike pour la percolation FK presque-critique en deux dimensions.

Lors de cet exposé, nous discuterons la théorie classique d’Ornstein-Zernike pour le modèle de percolation FK. Dans sa version la plus récente, il s’agit d’une théorie très robuste dont la principale conséquence est le calcul des corrections polynomiales à la décroissance exponentielle de la fonction de corrélation à deux points de la percolation FK dans le régime sous-critique. Nous présenterons un projet en cours, en collaboration avec Ioan Manolescu, qui étend cette théorie au régime presque-critique de la percolation FK en deux dimensions, fournissant ainsi une compréhension précise de la formule d’Ornstein-Zernike lorsque p s’approche du paramètre critique p_c. Le principal résultat de ce travail est une formule unifiant à la fois le caractère critique du modèle aux échelles négligeables par rapport à sa longueur de correlation, et son caractère sous-critique à des échelles supérieures à sa longueur de corrélation.


Year 2024

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Friday December 13, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (LPSM) Arbres markoviens autosimilaires

Le but de cet exposé est de présenter un travail récent, réalisé en collaboration avec Jean Bertoin et Nicolas Curien, où nous introduisons les arbres markoviens autosimilaires. Ces arbres constituent une famille remarquable d'arbres réels compacts aléatoires, décorés d'une fonction positive. Les arbres markoviens autosimilaires englobent une grande variété d'arbres aléatoires réels ayant été étudiés au cours des dernières décennies, tels que l'arbre brownien, les arbres de Lévy stables, les arbres de fragmentation et les arbres de croissance-fragmentation. Ils apparaissent également comme limites d'échelle de divers modèles combinatoires : excursion de marches aléatoires, arbres de Galton-Watson, cartes aléatoires (avec ou sans modèles de physique statistique), géométries hyperboliques aléatoires …

Cette présentation sera divisée en deux séances. Lors de la première séance, nous donnerons un aperçu général des grandes lignes de ce travail, ainsi que de ses différentes applications et motivations. Cette partie sera entièrement auto-contenue et ne nécessitera aucun prérequis. Lors de la deuxième séance, nous approfondirons certains aspects spécifiques, choisis au préalable par l'auditoire.

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Friday December 6, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (LPSM) Arbres markoviens autosimilaires

Le but de cet exposé est de présenter un travail récent, réalisé en collaboration avec Jean Bertoin et Nicolas Curien, où nous introduisons les arbres markoviens autosimilaires. Ces arbres constituent une famille remarquable d'arbres réels compacts aléatoires, décorés d'une fonction positive. Les arbres markoviens autosimilaires englobent une grande variété d'arbres aléatoires réels ayant été étudiés au cours des dernières décennies, tels que l'arbre brownien, les arbres de Lévy stables, les arbres de fragmentation et les arbres de croissance-fragmentation. Ils apparaissent également comme limites d'échelle de divers modèles combinatoires : excursion de marches aléatoires, arbres de Galton-Watson, cartes aléatoires (avec ou sans modèles de physique statistique), géométries hyperboliques aléatoires …

Cette présentation sera divisée en deux séances. Lors de la première séance, nous donnerons un aperçu général des grandes lignes de ce travail, ainsi que de ses différentes applications et motivations. Cette partie sera entièrement auto-contenue et ne nécessitera aucun prérequis. Lors de la deuxième séance, nous approfondirons certains aspects spécifiques, choisis au préalable par l'auditoire.

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Friday November 29, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Loic Bethencourt (LJAD, Nice) Modèles cinétiques de dispersion dans des domaines et processus $\alpha$-stable réfléchis

Dans cet exposé, je présenterai quelques travaux en cours avec Nicolas Fournier. Nous nous intéressons à des modèles simples décrivant le mouvement d'une particule dans un gaz. Une particule est alors représentée par un processus aléatoire décrivant sa position et sa vitesse et nous étudions le processus de position lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous nous placerons dans le cas où l'équilibre (en vitesse) est à queue lourdes, et ne possède pas de moment d'ordre 2. Lorsque le processus de position n'est pas restreint à un domaine, et vit dans tout l'espace, il est assez clair que ce dernier converge en loi vers un processus $\alpha$-stable, lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous étudions alors le cas où la particule est réfléchie dans un domaine convexe de la manière suivante : lorsqu'elle touche le bord du domaine, elle est “redémarrée” avec une vitesse dirigée vers l'intérieur du domaine, et distribuée selon une mesure de probabilité donnée. Nous montrons que la position de la particule converge en loi vers un processus $\alpha$-stable réfléchi dans le domaine. Après avoir introduit le modèle, j'expliquerai comment nous construisons le processus limite en “recollant” ses excursions, et je donnerai quelques éléments de preuve concernant la convergence en loi.

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Friday November 22, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Datong Zhou (LPSM) Mean-field models of neural networks with generic heterogeneous connections and integrate-and-fire-type dynamics

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Friday November 15, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Bouchot (LPSM) Géométrie de la marche confinée dans un grand domaine de Z^d

On considère un domaine D_N de Z^d, de taille typique N, dans lequel on piège une marche aléatoire “pour toujours”. Cette marche confinée est en fait une marche sur un potentiel donné par le premier vecteur propre de la marche simple tuée au premier temps où elle sort de D_N. On s'intéresse ici à la géométrie en temps long de cette marche confinée, plus précisément à sa trace dans un sous-domaine intérieur à D_N. Je présenterai un couplage entre cette trace et un entrelac “tilté”, que l'on peut voir comme une soupe de trajectoires indépendantes de marche sur conductances. Ce couplage utilise la méthode des soft local times, une méthode générale de simulation de chaînes de Markov.

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Friday November 8, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Ons Rameh (LPSM) Mixing time of the Asymmetric Zero Range process on the segment

In this talk, we shall discuss the mixing time of the Asymmetric Zero Range process (AZRP) with non-decreasing jump rates on the segment. We will first study the hydrodynamic limit starting from the configuration where all particles are gathered on the left-most site. The macroscopic equilibrium time gives a lower bound on the mixing time. We will show the sharpness of this estimate when the system is asymmetric enough, which establishes the cut-off phenomenon. This extends earlier results of Labbe and Lacoin in the context of the asymmetric simple exclusion process.

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Friday October 18, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Orphée Collin (LPSM) The Random Field Ising Chain

The Ising Model is a classical model in statistical physics describing the behavior of ferromagnetic moments on a lattice interacting via a local interaction. When the lattice is one-dimensional and in the case of homogeneous nearest-neighbor interaction, the model is known to be exactly solvable (and simple).

However, a disordered version of the one-dimensional Ising Model (called the Random Field Ising Chain), where the chain interacts with an i.i.d environment, is a much more challenging model. In particular, it exhibits a pseudo-phase transition as the strength Gamma of the inner-interaction goes to infinity. A description of the typical configurations when Gamma is large has been given in the physical literature in terms of a renormalisation group fixed point.

We will present the model and our result stating that, when Gamma is large, in accordance with the physicists' description, typical configurations are close to one given configuration, defined in terms of the Gamma-extrema of the environment.

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Friday October 4, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Quentin François (Dauphine-ENS) A positive formula for the product of conjugacy classes on the unitary group

We describe with a probabilistic viewpoint the convolution product of two conjugacy classes of the unitary group Un. The description is given in terms of a probability distribution on the space of central measures which admits a density. Relating the convolution to the quantum Littlewood-Richardson coefficients and using recent results describing those coefficients, we give a positive formula for this density. In the same flavor as the hive model of Knutson and Tao, this formula is given in terms of a subtraction-free sum of volumes of explicit polytopes

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Friday September 27, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Francesco Caravenna (Université de Milano-Bicocca) About noise sensitivity

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Friday June 14, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bishal Deb (LPSM) Coefficientwise Hankel total positivity of the Laguerre polynomials

The Laguerre polynomials are a family of orthogonal polynomials which have been well-studied in combinatorics. The coefficients of these polynomials enumerate a certain family of graphs which have been called Laguerre digraphs or Laguerre configurations. The polynomial sequence has a well-known Stieltjes moment representation, i.e., these polynomials can be expressed as the sequence of moments of a certain measure supported on the positive real-axis. It is known that a sequence is a Stieltjes moment sequence if and only if its Hankel matrix is totally positive. A natural question is to ask if the Hankel matrix is also coefficientwise totally positive. We will address this question in this talk.

We will begin by stating the main theorem which will not require any prerequisites. We then motivate this result; we first state the equivalence between Stieltjes moment sequences and the total positivity of Hankel matrices, then we mention how this theory has been extended coefficientwise. We introduce the production-matrix method which is a powerful tool to prove total positivity. Finally, we sketch a proof of our main theorem.

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Friday May 31, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thibaut Lemoine (Université de Lille) Les partitions aléatoires au secours du développement topologique d'intégrales unitaires

Depuis les travaux de 't Hooft dans les années 70, de nombreux physiciens ont étudié avec succès des intégrales matricielles en les réécrivant sous la forme de séries formelles appelées “développements topologiques” car leurs coefficients sont reliés à des invariants topologiques ou géométriques. Cette correspondance a connu de nombreux développements en mathématiques depuis, mais la convergence de ces séries formelles reste un problème ouvert en général. Dans cet exposé, je vais m'intéresser à un modèle de matrices aléatoires unitaires issu de la théorie de Yang-Mills, et donner un développement asymptotique convergent de sa fonction de partition. Pour ce faire, je montrerai qu'il s'agit également de la fonction de partition d'un modèle discret qui provient d'un couplage entre deux partitions (ou diagrammes de Young) aléatoires et un entier relatif aléatoire. J'expliquerai en quoi le développement asymptotique que l'on obtient est relié à l'énumération de revêtements ramifiés du tore, justifiant une dualité introduite en physique par Gross et Taylor en 1993. Si le temps le permet je donnerai des pistes pour généraliser ces résultats à des intégrales plus générales. Travail en collaboration avec Mylène Maïda (Université de Lille).

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Friday May 17, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Irene Ayuso Ventura (Univ. Paris-Est Créteil) Le modèle d'Ising sur un arbre de Galton-Watson avec un champ extérieur aléatoire.

Motivés par l'étude du modèle d'Ising sur des graphes aléatoires avec des conditions aléatoires, nous considérons le modèle d'Ising avec un champ extérieur aléatoire sur un arbre de Galton-Watson. Des critères précis pour la transition de phase de ce modèle sont établis et la stratégie de preuve, incluant l'élagage d'un arbre, est décrite. On finit par aborder les récurrences sur les arbres, qui apparaissent dans divers modèles de la mécanique statistique sur les arbres, tels que le Random Cluster Model: on présente nos principaux résultats sur ces itérations et leur application au RCM.

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Friday May 3, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Maxime Ligonnière (Institut Denis Poisson (Univ. de Tours)) Produits d'opérateurs positifs aléatoires et modèles de populations multitypes en environnement aléatoire

Considérons une suite de matrices carrées, aléatoires, indépendantes, de même loi (M_n), à coefficients positifs. Depuis un article d'Hennion publié en 1997, on dispose sous des hypothèses très raisonnables d'asymptotiques précises, presque sûres, sur les coefficients des produits M_0…M_{n-1} lorsque n tend vers l'infini. Ces asymptotiques ont entre autres permis des développements dans l'étude de processus de branchement multitypes en environnement aléatoire.

Dans cet exposé, je commencerai par présenter ces résultats existants sur les produits de matrices finies, avant d'en présenter des applications à des modèles de populations. Ces applications posent naturellement la question de l'extension infinie dimensionnelle de ces résultats, et je présenterai donc ensuite un travail original aboutissant sur des asymptotiques similaires pour des produits d'opérateurs sur des espaces de dimension infinie.

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Friday April 5, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sofia Tarricone (Institut de Physique Théorique (CEA)) Intégrabilité des noyaux d'Airy et sinus à température finie

Les systèmes de fermions libres soumis à une certaine classe de potentiels et considérés à température zéro sont connus pour être en relation avec le modèle de matrices GUE et leurs comportements limites sont donc décrits par les noyaux d'Airy et sinus et processus ponctuels déterminantaux corréspondents. Dans les modèles de fermions, lorsqu'ils sont considérés à température non-nulle, des déformations dites “à température finie” des noyaux d'Airy et sinus vont apparaître. Dans cet exposé nous allons comparer les propriétés analytiques de certaines “gap probabilities” dans les processus associés, notamment des formules à la “Tracy-Widom”, généralisant celles connues pour les distributions classiques, et des liens avec certaines solutions d'équations aux dérivées partielles intégrables.

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Friday March 29, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Dialla Hawat (LPSM) Point processes for numerical integration

The Monte Carlo method estimates an integral using pointwise evaluations of the integrand at some points called nodes, which can be chosen as the points of a point process. While crude Monte Carlo relies on a homogeneous Poisson point process (PPP), some more regularly spread point processes yield Monte Carlo methods with faster-decaying variance. In this presentation, I will discuss some of the main findings from my thesis, focusing on two families of regular point processes that are potential candidate nodes to speed up the convergence of crude Monte Carlo. The first family pertains to repelled point processes which we construct using a so-called repulsion operator. The repulsion operator reduces clustering in a configuration of points by slightly pushing the points away from each other. Our main theoretical result is that applying the repulsion operator to a PPP yields an unbiased Monte Carlo method with lower variance than under the original PPP. Moreover, our numerical investigations shed light on the operator’s variance reduction ability, even when applied to more regular point processes than the PPP. This suggests that applying the repulsion operator to the nodes of any Monte Carlo method may decrease its variance and thus enhance the method’s statistical accuracy. The second family of point processes under consideration is the family of hyperuniform point processes (HUPPs). A HUPP is characterized by the variance of the number of points in a large window scaling slower than the volume of that window. In particular, a HUPP yields a Monte Carlo estimator of volumes with a faster decaying variance than under the PPP. Unfortunately, proving that a point process is hyperuniform is usually difficult. Aiming to provide statistical tools for identifying HUPPs we examine a spectral measure called the structure factor whose decay around zero provides a diagnostic of hyperuniformity. We provide a survey and derivation of natural estimators of the structure factor and contribute an asymptotically valid statistical test of hyperuniformity. We further provide a Python toolbox containing all the estimators and tools that we discuss.

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Friday March 15, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Laeticia Colombani (CMAP (Ecole Polytechnique)) Propagation of chaos in a network of FitzHugh-Nagumo

FitzHugh-Nagumo equations have been suggested in 1961 to model neurons. Stochastic versions of these equations have since been developed. A specificity of these SDE is a cubic term in the drift. With Pierre Le Bris, we have studied the behavior of a network on N neurons, interacting with each other, when N tends to infinity. We prove an uniform in time propagation of chaos in a mean-field framework, with a coupling method suggested by Eberle (2016). During this talk, I will present this model and the idea of the method.

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Friday March 8, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Arthur Blanc-Renaudie (Orsay) Limite d'échelles des grands clusters de la percolation critique sur Z^d, d>6

On considère la percolation critique par arête sur Z^d pour d>6. Dans cet exposé, je montrerai que le cluster de 0 conditionné à être grand converge après renormalisation, vers un CRT/SMB. La preuve se base sur des limites locales, du comptage, et des collages de clusters.

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Friday February 16, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sophie Lemaire (Orsay) Evolution de la taille de la composante géante d'un graphe d'Erdös-Rényi

On s'intéressera dans l'exposé au processus défini par l'évolution de la taille de la plus grande composante connexe d'un graphe d'Erdös-Rényi ER(n, t/n) lorsque le degré moyen d'un sommet t, augmente. En régime sur-critique (t strictement supérieur à 1), ce processus vérifie un théorème de limite central fonctionnel lorsque le nombre de sommets du graphe n tend vers l'infini. On présentera une méthode heuristique permettant d'identifier le processus gaussien limite comme solution d'une équation différentielle stochastique, puis une façon de démontrer ce théorème de limite central fonctionnel (travail réalisé en collaboration avec Nathanaël Enriquez et Gabriel Faraud).

Friday Probabilities
Friday February 9, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eleanor Archer (Nanterre) Limite d'échelle des arbres couvrants aléatoires

Un arbre couvrant d'un graphe connexe fini G est un sous-graphe connexe de G qui contient chaque sommet et ne contient aucun cycle. Un résultat bien connu d'Aldous énonce que la limite d'échelle de l'arbre couvrant uniforme du graphe complet est l'arbre brownien. En fait cet énoncé est plus général : l'arbre brownien est la limite d'échelle des arbres couvrants uniformes pour un grand ensemble de graphes en grande dimension. Dans cet exposé, nous allons essayer d'expliquer ce phénomène universel. Si le temps nous permet, nous allons également discuter des limites d’échelle des arbres couvrants aléatoires non-uniformes. Travaux en collaboration avec Asaf Nachmias et Matan Shalev.

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Friday January 26, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Rémy Poudevigne (LPSM) Le VRJP (Vertex Reinforced Jump Process) : un tour d'horizon

Le VRJP est un modèle simple de marche renforcée qui a été introduit en 2004 par Davis et Volkov. Un lien remarquable avec un modèle de spin supersymétrique découvert en 2015 a grandement facilité son étude. Le but de cet exposé est de présenter brièvement ce lien et certaines des conséquences qui en découle. Notamment, il est possible de montrer qu'en dimension 3 et plus le VRJP a une unique transition de phase entre un régime récurrent et un régime transient. Il est également possible de caractériser précisément cette transition de phase sur les arbres.

Friday Probabilities
Friday January 19, 2024, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Niccolò Torri (Nanterre) Limite hydrodynamique du modèle de Schelling

Le sujet principal de cet exposé est le modèle de Schelling, un modèle d’agents qui décrit une dynamique de ségrégation quand nous avons la cohabitation de deux groupes sociaux. Le comportement de ce modèle a été étudié en utilisant plusieurs approches, notamment en utilisant des outils de la physique théorique et de la simulation numérique. Ces approches amènent à conjecturer un diagramme de phase où soit les différents groupes sociaux sont ségrégués dans des clusters macroscopiques, soit ils sont mélangés. Dans cet exposé nous allons présenter les résultats que nous avons obtenu concernant l’existence d’une limite hydrodynamique en considérant le modèle de Schelling perturbé par une dynamique de Glauber et une de Kawasaki.

Travail en collaboration avec Florent Barret, Université Paris-Nanterre. L'exposé est basé sur cet article https://arxiv.org/abs/2302.09866, accepté pour publication dans EJP.


Year 2023

Friday Probabilities
Friday December 8, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Damien Simon (LPSM) Processus de Markov discrets en dimension 2, opérades et produits de matrices sur les bords. Partie 2.

Nous considérons des processus de Markov à espace d'état fini sur des sous-ensembles des réseaux Z et Z^2 dont la formulation probabiliste ne pose que peu de difficulté. En dimension 1, les variables aléatoires sont associées aux sommets et des matrices de transition aux arêtes: en peu de calculs, on fait alors le lien entre calculs de lois et algèbre linéaire. En dimension 2, on peut associer les variables aléatoires aux arêtes et des objets à plusieurs indices aux faces pour définir les interactions. Et maintenant, on fait quoi ? Que devient l'algèbre linéaire ? En dimension 1, les vecteurs propres de Perron-Frobenius permettent de définir une mesure de Gibbs sur tout le réseau Z; et en dimension 2, qu'en reste-t-il ?

Nous présenterons, dans un séminaire en deux parties, comment des opérades permettent cette montée en dimension, à la fois conceptuellement et calculatoirement. Dans la première partie, nous revisiterons la théorie probabiliste classique en insistant sur les différences et les similarités entre dimensions 1 et 2 et aboutirons à une représentation naturelle des conditions aux bords. Dans la deuxième partie, nous introduirons une notion d'élément propre généralisé dans nos opérades, sa caractérisation par le calcul et construirons les mesures de Gibbs associées.

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Friday December 8, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Lucile Laulin (Paris Nanterre) Une équation de point fixe pour la marche aléatoire de l’éléphant super-diffusive

La marche aléatoire de l’éléphant est une marche aléatoire qui évolue sous l’influence d’un paramètre de mémoire et qui présente trois régimes de comportement (diffusif, critique et super-diffusif). Dans cet exposé, on commencera par présenter les résultats connus de la littérature ainsi que le lien entre le processus et les urnes de Polya. Ensuite, on expliquera comment ce lien permet de montrer que la variable aléatoire limite qui apparait dans le régime super-diffusif satisfait une équation de point fixe aléatoire. On déduira de cette équation de nombreuses informations sur la limite, notamment sur l’existence d’une densité et le calcul des moments. (Travail en collaboration avec Hélène Guérin et Kilian Raschel)

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Friday December 1, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Forien (Paris Dauphine) Sur la transition de phase du modèle des marches aléatoires activées

Considérons, sur chaque case du réseau Z^d, un certain nombre de grenouilles (ou particules) qui peuvent être ou bien actives ou bien endormies. Chaque grenouille active effectue une marche aléatoire en temps continu sur Z^d et s'endort avec un certain taux. Une grenouille endormie cesse de bouger, jusqu'à ce qu'une autre grenouille arrive sur le même site, ce qui la réveille. Ce modèle présente une transition de phase : en fonction de la densité de grenouilles (initialement toutes actives) et du taux d'endormissement, ou bien presque sûrement chaque grenouille finit par s'endormir définitivement, ou bien presque sûrement chaque grenouille marche un nombre infini de pas, sans jamais s'endormir définitivement. Dans cet exposé, je présenterai mes travaux avec Amine Asselah et Alexandre Gaudillière qui montrent l'existence d'une phase active non triviale en dimension 2.

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Friday November 17, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Damien Simon (LPSM) Processus de Markov discrets en dimension 2, opérades et produits de matrices sur les bords. Partie 1

Nous considérons des processus de Markov à espace d'état fini sur des sous-ensembles des réseaux Z et Z^2 dont la formulation probabiliste ne pose que peu de difficulté. En dimension 1, les variables aléatoires sont associées aux sommets et des matrices de transition aux arêtes: en peu de calculs, on fait alors le lien entre calculs de lois et algèbre linéaire. En dimension 2, on peut associer les variables aléatoires aux arêtes et des objets à plusieurs indices aux faces pour définir les interactions. Et maintenant, on fait quoi ? Que devient l'algèbre linéaire ? En dimension 1, les vecteurs propres de Perron-Frobenius permettent de définir une mesure de Gibbs sur tout le réseau Z; et en dimension 2, qu'en reste-t-il ?

Nous présenterons, dans un séminaire en deux parties, comment des opérades permettent cette montée en dimension, à la fois conceptuellement et calculatoirement. Dans la première partie, nous revisiterons la théorie probabiliste classique en insistant sur les différences et les similarités entre dimensions 1 et 2 et aboutirons à une représentation naturelle des conditions aux bords. Dans la deuxième partie, nous introduirons une notion d'élément propre généralisé dans nos opérades, sa caractérisation par le calcul et construirons les mesures de Gibbs associées.

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Friday October 20, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Antoine Mouzard (ENS) Le générateur infinitésimal de la diffusion de Brox

Dans cet exposé, je vais présenter la diffusion de Brox. Il s'agit d'une modèle de dynamique aléatoire en milieu aléatoire, analogue continu de la marche aléatoire de Sinaï. Son générateur infinitésimal est un opérateur stochastique singulier qu'il est possible d'étudier à l'aide du calcul paracontrôlé. Après avoir introduit le contexte, je compte présenter sa construction dans le cadre d'un environnement périodique et les propriétés du processus que l'on peut en déduire.

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Friday October 13, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Justin Salez (Paris Dauphine) A new approach to the cutoff phenomenon

The cutoff phenomenon is an abrupt transition from out of equilibrium to equilibrium undergoned by certain Markov processes in the limit where the number of states tends to infinity. Discovered forty years ago in the context of card shuffling, it has since then been established in a variety of contexts, including random walks on graphs and groups, high-temperature spin glasses, or interacting particle systems. Nevertheless, a general theory is still missing, and identifying the general mechanisms underlying this mysterious phenomenon remains one of the most fundamental problems in the area of mixing times. In this talk, I will give a self-contained introduction to this fascinating question, and then present a new approach based on entropy and curvature.

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Friday June 16, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Emilien Bodiot (LPSM) Champs Gaussiens Markoviens discrets: bords invariants.

L'étude de mesures invariantes se réduit, pour les chaînes de Markov, à de l'algèbre linéaire. On les obtient par le calcul des vecteurs propres, à gauche et à droite, de la matrice de transition. En plus grande dimension, cela n'est malheureusement plus si simple. A notre connaissance, aucun cadre algébrique ne permet effectivement de définir correctement la notion de bords invariants pour les champs Markoviens. Dans le cas (discret) des champs Markoviens sur le réseau carré Z^2, de récents travaux de la part de D.Simon apportent une solution reposant sur la théorie des opérades. Ce cadre algébrique fait intervenir de nouveaux objets de bord encore peu compris. Dans cet exposé nous essaierons de donner et de comprendre ces objets dans le cas particulier des champs Gaussiens Markoviens. Afin de planter le décor, nous parlerons d'abord du cas unidimensionnel des chaînes de Markov Gaussiennes. Celles-ci présentent déjà bon nombre d'identités remarquables intéressantes en soi mais aussi, et surtout, utiles pour la plus grande dimension. Nous aborderons ensuite le cas des champs Gaussiens Markoviens sur le réseau carré.

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Friday June 9, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre-Loïc Méliot (Université Paris-Saclay) Grandes déviations de l’indice majeur d’une permutation

On s’intéresse à une statistique de permutations aléatoires appelée indice majeur. Lorsque la permutation est choisie uniformément parmi toutes celles de taille n, la loi de l’indice majeur est une convolée de lois uniformes discrètes, et le calcul des grandes déviations est aisé. On verra que ce principe de grandes déviations est encore vrai si l’on se restreint à de petites parties du groupe symétrique liées à la bijection de Robinson-Schensted. Le calcul des fonctions de taux met alors en jeu de nombreux ingrédients combinatoires ou probabilistes : fonctions de Schur, observables de diagrammes, changement de mesures, etc.

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Friday June 2, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Fournier (LPSM) Recuit simulé dans Rd (avec C. Tardif)

Le recuit simulé est une méthode numérique dont le but est de trouver le minimum global d’une fonction U (ici de Rd dans R), et qui consiste à résoudre l’équation différentielle stochastique dX_t = dB_t - \beta_t \nabla U(X_t) dt. C’est donc une descente de gradient, avec du bruit (pour sortir des minima locaux). Pour que l’influence du bruit disparaisse en temps grand, il faut que \beta_t tende vers l’infini. Mais si on fait tendre \beta_t trop vite vers l’infini, on risque de rester coincé dans un minimum local de U. Je parlerai des travaux de Holley-Kusuoka-Stroock, 88-89, qui ont résolu cette question dans le cas où R^d est remplacé par une variété compacte, et de conditions de croissance de U à l’infini pour que leur résultat reste vrai dans R^d.

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Friday May 26, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Théophile Buffière (Université Paris-Nord) Fluctuations of random lattice zonotopes and polygons

If we take a uniformly random lattice polygon in the square [0,n]^2, Bárány, Vershik and Sinai proved that the renormalized polygon converges towards a limit shape. We study the fluctuations of a random lattice polygon around that limit shape. After establishing a central limit theorem of finite-dimensional marginals of the boundary point of a lattice zonotope in any dimension, we proved a Donsker-type theorem for the boundary fluctuations, which involves a 2-dimensional Brownian bridge and a drift term that we identify as a random cubic curve.

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Friday April 21, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Julien Reygner (École des ponts ParisTech) Statistique de réaction et relation de Hill pour la dynamique de Langevin

En dynamique moléculaire, les statistiques de réaction, telles que le temps moyen de réaction, sont des observables macroscopiques qui fournissent des informations importantes sur le comportement dynamique du système considéré. Elles permettent par exemple de décrire les changements de conformation de protéines. Le calcul direct de telles quantités est souvent impossible car il nécessite de simuler la dynamique microscopique sous-jacente sur des temps déraisonnablement longs.

La première partie de cet exposé présentera une identité qui permet d'exprimer les statistiques de réaction en fonction de quantités qui peuvent être facilement échantillonnées en ayant recours à des algorithmes d'événement rares existants. Cette identité est parfois attribuée à Hill dans la littérature physique. Du point de vue mathématique, elle peut être vue comme un résultat de théorie du potentiel.

Dans la seconde partie, le cas particulier de systèmes modélisés par la dynamique de Langevin sera examiné. On montrera en particulier en quoi ce modèle permet le calcul explicite de la mesure sous laquelle initialiser la simulation d'événements rares, ce qui fournit ainsi une méthode numérique complète, relativement simple, et que l'on espère efficace pour le calcul de statistiques de réaction.

Travail en collaboration avec Tony Lelièvre et Mouad Ramil.

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Friday April 14, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sébastien Darses (Marseille) Quelques identités et problèmes d’approximation liés à la fonction zeta de Riemann

Une des reformulations apparemment innocente de la terrifiante hypothèse de Riemann (HR) est le critère de Nyman-Beurling : l’indicatrice de [0,1] peut être approchée linéairement dans L^2 par des dilatations de la fonction partie fractionnaire. Considérer ces dilatations comme aléatoires génèrent de nouvelles structures et de nouveaux critères pour HR. Nous aborderons des aspects concrets de ces problèmes d’approximation : produit scalaire, distance L^2, problème des moments. On présentera brièvement la fonction zeta et son histoire mythique. L’exposé sera très accessible, notamment pour les doctorants.

Travaux en commun avec François Alouges et Erwan Hillion.

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Friday March 31, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Clément Foucart (Paris Nord) Explosions locales dans les processus de branchement logistiques

On suit la taille d'une population aléatoire où les individus se reproduisent comme dans un processus de branchement en temps et espace continus (CSBP) et où la croissance de la population est contrebalancée par un terme de compétition déterministe (processus de branchement logistique). Nous verrons que malgré la compétition, le processus peut exploser pour des lois de reproduction assez fortes et qu'il est la plupart du temps possible de définir une extension récurrente continue du processus après l'explosion. Le processus étendu fera ainsi des excursions en dehors de l'infini. Je donnerai une représentation de son semi-groupe et de son temps local ainsi que quelques propriétés de sa mesure d'excursion. Les outils utilisés dans la construction de l'extension récurrente et dans l'étude du temps local sont des relations de dualité pour les semi-groupes, appelées dualité de Laplace et dualité de Siegmund, qui sont intéressantes en elles-mêmes, et permettent d'utiliser la théorie des diffusions unidimensionnelles.

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Friday March 24, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Guillaume Dubach (ENS) Matrices aléatoires et chaises musicales

Je présenterai un modèle de matrices aléatoires dont les valeurs propres décrivent une dynamique analogue au jeu des chaises musicales: après être passées de la droite réelle au demi-plan supérieur, l'une d'entre elles se sépare du reste du spectre, tandis que les autres s'alignent à nouveau sur la droite réelle. Nous verrons notamment après combien de temps il est possible de distinguer avec forte probabilité la valeur propre “perdante”. Ce modèle est d'abord apparu en physique (théorie de la dispersion) où cette séparation d'une valeur propre correspond à un phénomène de résonance.

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Friday March 17, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Manon Defosseux (MAP5) Un théorème de Pitman pour le brownien dans l’intervalle : des preuves par affinité

Nous présenterons un théorème de Pitman pour le brownien dans l’intervalle, et expliquerons pourquoi il fournit un exemple de dialogue fructueux entre théorie des représentations, ici celle des algèbres de Kac—Moody affines, et théorie des probabilités

Friday Probabilities
Friday March 10, 2023, 11AM, Jussieu, Salle 15-16 309
Olivier Hénard (Orsay) Animaux dirigés et empilements de marches

On dessine le graphe d'une marche aléatoire sur les entiers (qui n’est pas la marche simple) du bas vers le haut puis on fait agir la gravite, les sommets s’empilant les uns sur les autres s’ils sont a distance horizontale 1; cela permet de définir des animaux dirigés selon la théorie des tas de pièces de Viennot, et le choix d’une loi idoine sur les incréments de la marche permet de recouvrir la mesure uniforme sur les animaux dirigés finis; aussi sous un conditionnement naturel de la marche, on obtient la mesure uniforme sur les animaux dirigés finis dont toutes les coordonnées sont positives. On étudie la limite locale de ces animaux vus de la racine ainsi que leur structure Markovienne par couches. On donne quelques premières propriétés des objets limites : calculs de marginales et quelques martingales. La majorité de l’exposé traitera le cas du réseau carré, et on mentionnera l’extension au cas du réseau triangulaire si le temps le permet. (Travail joint avec Édouard Maurel-Ségala et Arvind Singh).

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Friday February 17, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Claire Boyer (LPSM) Is interpolation benign for random forests?

Statistical wisdom suggests that very complex models, interpolating training data, will be poor at predicting unseen examples. Yet, this aphorism has been recently challenged by the identification of benign overfitting regimes, specially studied in the case of parametric models: generalization capabilities may be preserved despite model high complexity. While it is widely known that fully-grown decision trees interpolate and, in turn, have bad predictive performances, the same behavior is yet to be analyzed for Random Forests (RF). In this paper, we study the trade-off between interpolation and consistency for several types of RF algorithms. Theoretically, we prove that interpolation regimes and consistency cannot be achieved simultaneously for several non-adaptive RF. Since adaptivity seems to be the cornerstone to bring together interpolation and consistency, we study interpolating Median RF which are proved to be consistent in the interpolating regime. This is the first result conciliating interpolation and consistency for RF, highlighting that the averaging effect introduced by feature randomization is a key mechanism, sufficient to ensure the consistency in the interpolation regime and beyond. Numerical experiments show that Breiman's RF are consistent while exactly interpolating, when no bootstrap step is involved. We theoretically control the size of the interpolation area, which converges fast enough to zero, giving a necessary condition for exact interpolation and consistency to occur in conjunction.

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Friday February 10, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thomas Simon (Lille) Propriétés de convexité pour la loi de Mittag-Leffler

La variable aléatoire de Mittag-Leffler est définie par sa fonction génératrice des moments qui est la fonction classique de Mittag-Leffler Ea(x) de paramètre a dans (0,1). On présentera quelques propriétés de convexité pour cette variable aléatoire qui apparaît dans différents domaines. On établira un lien entre la log-concavité de la densité et la convexité réciproque de Ea(x). On mettra en évidence un “peacock” relié à la dimension d = 2(1-a) du processus de Bessel sous-jacent. Enfin, on énoncera des propriétés de sous-additivité et de log-concavité de Ea(x) pour tout a > 0 en liaison avec une inégalité néo-classique sur les coefficients binomiaux généralisés.

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Friday February 3, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Robin Kanfir (LPSM) Convergences d'arbres à boucles codés par des excursions

Un arbre à boucles est un espace composé d'un ensemble de cycles collés entre eux selon la structure d'un arbre et de manière tangente. Depuis leur introduction par Curien et Kortchemski en 2014, ces objets ont trouvé de nombreuses applications, notamment dans l'étude des cartes aléatoires. Dans cet exposé, on verra comment construire des arbres à boucles à partir de fonctions à valeurs réelles et on proposera un cadre général pour étudier leurs convergences. Pour cela, on définira des espaces hybrides comprenant des boucles et des branches que l'on appellera arbres à vernation. Enfin, on présentera une application sous la forme d'un principe d'invariance pour des arbres à boucles discrets.

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Friday January 27, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nikita Safonkin (Moscou) Semifinite harmonic functions on the zigzag graph

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Friday January 20, 2023, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Hélène Halconruy (ESILV) Analyse stochastique pour des processus binomiaux marqués et approximations poissoniennes

On peut observer un phénomène d’agglutination en étudiant le nombre de séries de t “pile” obtenues lors d’une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie ou le nombre d’apparitions d’un mot rare dans une séquence d’ADN. La méthode de Chen-Stein s’avère un outil particulièrement efficace pour borner l’erreur d’approximation lorsque la loi du nombre d’agglomérats peut être approchée par une loi de Poisson (éventuellement composé). Dans un travail sur lequel est basé cet exposé, on propose de revisiter cette méthode en ramenant les deux problèmes évoqués à celui d’approximations poissoniennes pour des fonctionnelles de processus binomiaux marqués (MBP), i.e., les analogues discrets de processus de Poisson composés. On développe alors des outils d’analyse stochastique pour les MBP ainsi qu’un calcul de Malliavin basé sur une famille d’opérateurs (gradient, divergence etc.). Sous ce nouveau formalisme, on obtient un critère général - pour la distance en variation totale - d’approximation poissonienne pour des fonctionnelles de MBP qui s’exprime en termes d’opérateurs de Malliavin. Dans cet exposé, on donnera des éléments du calcul de Malliavin développé pour les MBP, avant d’énoncer le résultat général d’approximation et de l’illustrer par l’application aux deux situations évoquées plus haut.


Year 2022

Friday Probabilities
Friday December 9, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Fanny Augeri (LPSM) Grandes déviations de la plus grande valeur propre de matrices de Wigner sparse.

Lorsque le degré moyen est au moins logarithmique en le nombre de sommets, les valeurs propres extrêmes de matrices de Wigner sparse collent au support de la loi du semi-cercle. Nous montrons que dans ce régime de sparsité, les grandes déviations de la plus grande valeur propre sont dominées par l'émergence d'une clique de taille sous-entropique munie de hauts poids ou bien d'un sommet de haut degré. De façon intéressante, la fonction de taux est discontinue en la valeur typique, ce qui reflète le fait que les déviations sont générées par des perturbations de rang fini. Ceci est un travail en collaboration avec Anirban Basak.

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Friday December 2, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Raphaël Lachièze Rey (MAP5) Percolation d'excursions de champs aléatoires

On considère un champ aléatoire réél multivarié, et plus particulièrement les propriétés géométriques et topologiques de ses excursions, ensembles obtenus après seuillage à un niveau donné. On s'intéresse plus particulièrement à leur percolation, i.e. l'existence de composantes connexes non-bornées. Le premier exemple étudié concerne les champs gaussiens lisses, obtenus par convolution d'un bruit blanc gaussien avec un noyau lisse intégrable, avec en particulier l'établissement d'une transition de phase “sharp” au voisinage de 0. Avec Stephen Muirhead, de l'Université de Melbourne, on s'est plus particulièrement intéressés aux champs “shot-noise”, obtenus par convolution d'un noyau intégrable lisse avec un processus poissonien homogène, qui peut aussi être vu comme un bruit blanc de nature discrète. On montre des résultats analogues au cas gaussien quand la loi du champ est symétrique, et dans le cas général, on établit un résultat de couplage avec un champ gaussien dans l'asymptotique de la haute intensité pour donner une estimation du seuil de percolation.

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Friday November 25, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benjamin Bonnefont (LPSM) Distribution de l’overlap à deux températures pour le mouvement Brownien branchant

Motivé par l’étude de la dépendance en température de la mesure de Gibbs, l’objectif de ce travail est d’analyser l’overlap à deux températures dans deux modèles gaussiens spécifiques: le premier est le mouvement brownien branchant et le second est un analogue où les énergies sont indépendantes (Random Energy Model). En utilisant la convergence des processus extrémaux de ces modèles, on établit la convergence de l’overlap vers des limites explicites que l’on peut alors comparer : si à une température les deux modèles sont identiques, une différence apparaît quand on considère l’overlap à deux températures.

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Friday November 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Clément Cosco (Dauphine) To be announced.

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Friday October 28, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Ismaël Bailleul Structures de régularités pour des EDPS singulières quasi-linéaires

Les EDPS singulières forment une classe d'équations qui partagent toutes le même défaut d'être classiquement mal définies en raison de la présence dans ces équations de termes aléatoires de faible régularité dont le produit avec d'autres termes n'est pas défini a priori. La théorie des structures de régularité de Hairer offre un cadre dans lequel faire donner sens et résoudre uniquement en petit paramètre des telles équations. Ce cadre est optimisé pour l'étude des équations semi-linéaires, c'est-à-dire des équations dont les coefficients devant les termes de dérivées de plus haut degré ne dépendent pas de l'inconnue. Il n'est pas facile d'adapter ce cadre à l'étude des équations quasi-linéaires, pour lesquelles ces coefficients dépendent de l'inconnue. Je décrirai dans cet exposé quelques uns des ingrédients d'une approche qui donne une image complète de la situation dans un cadre relativement large comprenant comme exemple l'équation (KPZ) généralisée conduite par un bruit blanc espace/temps.

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Friday October 21, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yijun Wan On the crossing estimates for simple conformal loops ensembles and the convergence of probabilities of topological events for the double-dimer model

Conformal loop ensembles (CLE) are candidates for the scaling limits of loop configurations in some statistical physics models at the critical temperature. For simple CLEs, we prove the super-exponential decay of probabilities of having n crossings of a quadrilateral uniformly on its conformal modulus as n goes to infinity. This implies the convergence of probabilities of macroscopic topological events for the double-dimer loop ensembles to those for the nested CLE(4) via the topological correlators studied by Basok and Chelkak.

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Friday October 14, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Titus Lupu (LPSM) Probabilités d'événements topologiques pour le champ libre gaussien sur graphe métrique

Le champ libre gaussien (CLG) sur graphe métrique est obtenu en interpolant le CLG discret sur réseau par des ponts browniens à l'intérieur des arêtes. L'avantage du CLG sur graphe métrique par rapport au CLG discret est que le premier, à la différence du second, satisfait certaines formules exactes, comme pour certaines probabilités de croisement. Ici nous allons présenter de nouvelles formules exactes pour certains événements topologiques portant sur les composantes de signe du CLG métrique. Ceci inclut par exemple la probabilité, sur un domaine planaire doublement connexe (domaine avec un trou), qu'une telle composante de signe entoure le trou intérieur du domaine. Ce type de probabilités et obtenus comme un ratio de deux déterminants de laplacien à la puissance 1/2, l'un étant le laplacien usuel, et l'autre un laplacien tordu par un champ de jauge à valeurs dans {-1,1}, ou ce qui est la même chose un laplacien sur un fibré en droites non trivial du domaine.

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Friday June 3, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
David Garcia Zelada (LPSM) Rayon spectral et polynôme caractéristique

Cet exposé portera sur des matrices aléatoires à coefficients i.i.d. et de carré intégrable. Il est connu que la mesure spectrale empirique converge vers la mesure uniforme sur le disque unité et la question de l'existence “d'outliers” s'impose. Je vais vous raconter la relation de ce problème avec l'étude du polynôme caractéristique en dehors du disque et comment obtenir le comportement asymptotique de ce dernier. Cette réponse négative à l'existence “d'outliers” a été trouvée dans un travail avec Charles Bordenave et Djalil Chafaï.

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Friday May 13, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Éric Vernier (LPSM) Statistiques spectrales de matrices aléatoires en présence de symétries discrètes

L'étude statistique du spectre de grandes matrices associées à des systèmes physiques (par exemple le Hamiltonien d'un système quantique complexe) et sa comparaison aux prédictions de la théorie des matrices aléatoires est un outil puissant qui permet notamment d'élucider la nature chaotique ou intégrable de ces systèmes. Je m'intéresserai ici à la présence de symétries discrètes, qui subdivisent ces matrices en plusieurs blocs indépendants. Puisque pour un système physique donné il peut être difficile en pratique de résoudre ces symétries, ou tout simplement impossible dans le cas où celles-ci n'étaient pas connues au départ, je présenterai des prédictions pour la statistique spectrale du système dans son ensemble. Des applications physiques seront discutées si le temps le permet. Travail en collaboration avec Olivier Giraud, Fabien Alet et Nicolas Macé, Physical Review X 12 (1), 011006

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Friday April 22, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bruno Ziliotto (Dauphine) Percolation Games

Inspired by first-passage percolation models, we consider zero-sum games on Z^d and study their limit behavior when the game duration tends to infinity. No game-theory background is needed.

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Friday April 1, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Alice Contat (Paris Saclay) Parking sur des arbres aléatoires

Le modèle de parking sur des arbres aléatoires a suscité beaucoup de développements récents en probabilités. Il donne lieu à un phénomène de transition de phase tres similaire à celui de la percolation. Nous présenterons ce modèle et en particulier les liens qu’il a avec les graphes aléatoires de type Erdös-Renyi.

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Friday March 25, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jeanne Boursier (Dauphine) Sur les fluctuations du gaz de Riesz circulaire

Je vais présenter des résultats sur les fluctuations d’un système de particules en interaction sur le cercle, se repoussant selon le potentiel de Riesz. Ce modèle est une extension du système appelé log-gas ou beta-ensemble, bien connu en théorie des matrices aléatoires. On établit des estimées optimales de rigidité pour les espacements des particules ainsi qu’un théorème central limite pour le nombre de points et plus généralement pour les statistiques linéaires associées à des fonctions-test possiblement singulières. On introduira l'équation de Helffer-Sjöstrand qui joue un rôle clé dans les preuves.

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Friday March 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (ETH Zurich) Limite d'échelle de cartes aléatoires à grandes faces

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux modèles de cartes aléatoires à grandes faces. Plus précisément, nous parlerons de cartes stables d'indice fixe $\alpha\in(1,2)$. Ces modèles ont un comportement très différent de celui des triangulations ou quadrangulations uniformes, ce qui leur a valu d’attirer rapidement une grande attention, notamment du fait de leurs liaisons avec les modèles de physique statistique sur des cartes uniformes.

Le but de cet exposé est de comprendre le comportement géométrique à grande échelle de ces modèles. En 2011, Jean-François Le Gall et Grégory Miermont ont établi la tension de ces derniers. Nous complétons cette étude en montrant l'unicité de cette limite (très différente de la sphère brownienne et dépendant de $\alpha$). Nous donnerons dans cet exposé une construction de ces modèles à l'aide de processus stochastiques classiques ayant des interprétations métriques ainsi que les grandes lignes de la preuve de l'unicité de la limite. En fonction du temps, nous expliquerons comment cette construction permet d'étudier la topologie et les géodésiques de ces espaces.

Cet exposé présente un travail en cours de finalisation avec Nicolas Curien et Grégory Miermont.

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Friday March 11, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Éric Luçon (MAP5) Comportement périodiques en temps long de modèles de champ-moyen excitables.

Travail en commun avec Christophe Poquet (Lyon 1). De nombreux phénomènes physiques mettent en jeu des systèmes dits excitables, (i.e. des systèmes qui, en l'absence de perturbation extérieure convergent naturellement vers un état stable alors qu'une perturbation suffisamment grande force le système à quitter cet état stable puis à y revenir). Un prototype de ce genre de dynamique est par exemple le modèle de FitzHugh-Nagumo modélisant l'évolution du potentiel de membrane d'un neurone. On s'intéresse ici à l'évolution de N systèmes excitables, soumis à une interaction en champ-moyen linéaire et à un bruit additif. Dans la limite en population infinie, l'évolution du système est correctement décrite par une équation de Fokker-Planck non-linéaire. Nous montrons tout d'abord l'existence de solutions périodiques pour cette EDP: l'addition simultanée de bruit et d'interaction force le système à se synchroniser autour de solutions périodiques. Nous montrons ensuite que pour N grand mais fini, sur une échelle de temps d'ordre N, la mesure empirique du système suit cette solution périodique, modulo des termes correctifs dûs au bruit.

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Friday February 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Matteo D'Achille (LAMA) ERAP : du pont brownien à la fonction \vartheta_4 de Jacobi

Considérons deux n-échantillons B (points bleus) et R (points rouges) de variables aléatoires i.i.d. à valeurs sur un espace métrique de dimension d, distribuées selon une mesure de probabilité \nu (désordre). Pour chaque permutation \pi de B dans R, il y a un hamiltonien aléatoire H(\pi) qui dépend de la distance D de l'espace métrique entre B et une permutation de R pour un exposant p réel.

Que pouvons-nous dire sur la loi (ou moments, etc.) de l'hamiltonien minimal H_opt (sur les permutations), en fonction du choix de l'espace métrique, du désordre et de l'exposant p, quand n tend vers l'infini ?

Ce problème est appelé “assignation aléatoire euclidienne” ou ERAP en anglais. Même si c'est un véritable modèle de verre de spin en dimension finie, et qu'il est équivalent au problème de Monge-Kantorovich entre les mesures empiriques des points bleus et rouges, l'ERAP s'est avéré être extrêmement difficile à étudier en général.

Dans cet exposé, je résumerai quelques résultats connus en dimension d=1, où des progrès ont été possibles grâce aux propriétés de la solution pour une large classe de désordres (notamment quand p >= 1) reliée au pont Brownien quand n tend vers l'infini.

En particulier, je deduirai la loi asymptotique de H_opt pour le cercle unitaire, en lien avec un travail de Biane, Pitman et Yor sur (entre autre choses) la transformée de Laplace de séries de variables Gamma indépendantes.

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Friday February 11, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Assaf Shapira (MAP5) Modèles à contraintes cinétique en milieux aléatoires

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Friday February 4, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yoan Tardy (LPSM) Collisions du système de particules de Keller-Segel surcritique.

Nous étudions un système de particules naturellement associé à l'équation de Keller-Segel 2-D. Il est constitué de N particules browniennes dans le plan, interagissant par une attraction en 1/r, où r représente la distance entre deux particules. Lorsque l'intensité de cette attraction, qui est un paramètre de l'équation, est supérieure à 2, ce système de particules explose en temps fini. Nous étudions en détail ce qu'il se passe à proximité de l'explosion. Il existe deux scénarios légèrement différents, en fonction des valeurs de N et de l'intensité de l'attraction : au moment de l'explosion, un amas constitué de k particules précisément émerge, pour un certain k>6 déterministe dépendant de N et de l'intensité de l'attraction. Juste avant l'explosion, il y a une infinité de collisions à k-1 particules. Il y a également une infinité de collisions à k-2 particules avant chaque collision à k-1 particules. Puis, il y a une infinité de collisions doubles avant chaque collision à k-2 particules. Enfin, les collisions de sous-ensembles de 3,…,k-3 particules ne se produisent jamais. L'autre scénario est similaire, sauf qu'il n'y a pas de collisions à k-2 particules.

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Friday January 21, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bastien Mallein (LAGA) Points extrêmes dans le mouvement brownien branchant multidimensionnel


Year 2021

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Friday December 17, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Lorenzo Bertini (La Sapienza (Rome)) Current fluctuations in stochastic lattice gases: Donsker-Varadhan meets Freidlin-Wentzell

We discuss the large deviations asymptotic of the time-averaged empirical current in stochastic lattice gases in the limit in which both the number of particles and the time window diverge. For some models it has been shown that dynamical phase transitions occur: the optimal density profile to realize such deviations is given by travelling waves rather than by homogeneous profiles. We shall prove a variational representation, proposed by Varadhan, for the corresponding rate function that is obtained by projecting the large deviations at the level of the empirical process.

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Friday December 10, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Titus Lupu (LPSM) Chaos multiplicatifs des soupes de boucles browniennes

Je présenterai un travail réalisé en collaboration avec Elie Aïdékon, Nathanael Berestycki et Antoine Jégo. Nous construisons des mesures aléatoires à partir de processus de Poisson de boucles browniennes en dimension 2. Ses mesures sont supportées sur des points exceptionnels qui sont des intersections d'une infinité de boucles différentes, et sont de multiplicité infinie pour chacune d'entre elles. De plus ces mesures sont conformément covariantes en loi. Pour un paramètre d'intensité particulier du Poisson, la mesure que l'on obtient est étroitement liée au chaos multiplicatif gaussien. Ceci provient d'une représentation du champ libre gaussien par boucles browniennes due à Yves Le Jan. Pour d'autres paramètres d'intensité du Poisson, on peut voit les mesures que l'on construit comme des chaos multiplicatifs non-gaussiens, qui ont beaucoup de propriétés en commun avec le chaos multiplicatif gaussien.

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Friday December 3, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Mendes Oulamara (IHES) Invariance par rotation de la percolation FK

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Friday November 19, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Vincent Bansaye (Polytechnique) Une construction spinale pour des modèles de populations en interaction

Nous nous intéresserons à des populations où les taux de transitions individuels (morts, naissances, mouvements…) sont dépendants des densités de populations, motivés en particulier par l'augmentation de la mortalité par compétition. L'objectif est de décrire la lignée ancestrale d'un échantillon à un temps donné, grâce à une construction markovienne progressive. Dans un premier temps, nous nous concentrerons sur le cas non structuré (pas d'espace) et nous donnerons un exemple d'application d'une telle construction pour décrire une transition de phase dans un modèle simple de croissance fragmentation avec compétition. Nous pourrons aborder ensuite une autre application ou l'extension de la construction à des populations structurées.

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Friday October 22, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eva Löcherbach (Panthéon-Sorbonne) Vitesse de convergence forte pour la propagation du chaos dans des systèmes de neurones en interactions dans un régime diffusif

Nous considérons un système de neurones en interactions avec des poids synaptiques aléatoires centrés, dans un régime diffusif. Je discuterai d'abord le comportement du système en grande population, qui est caractérisé par la propriété de propagation du chaos conditionnelle. Ensuite j'expliquerai comment des techniques de couplage dues à Komlos-Major-Tusnady, associée à une discrétisation en temps type schéma d'Euler, permettent d'obtenir une vitesse de convergence explicite pour l'erreur forte.

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Friday October 15, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Camille Coron (Paris Saclay) Contribution génétique des ancêtres dans une population biparentale

Nous étudions la composition génétique d’une population dans laquelle chaque individu a deux parents, qui contribuent de manière égale au génome de leurs enfants. Nous utilisons un modèle de Moran bi-parental, caractérisé par un nombre fixe, noté N, d’individus. On fixe un individu et on s’intéresse à la proportion du génome de tous les individus vivant n pas de temps plus tard, qui provient de cet individu. Quand n tend vers l’infini, ces proportions, prises pour chaque ancêtre, convergent presque sûrement vers la même variable aléatoire. Quand N tend à son tour vers l’infini, cette variable aléatoire multipliée par N (appelée le poids asymptotique d’un ancêtre dans la population) converge en loi vers le mélange d’une mesure de Dirac en 0 et une loi exponentielle de paramètre ½, et les poids des ancêtres sont indépendants. On en déduit que la suite des poids croissants de tous les ancêtres converge, sous une renormalisation appropriée, vers la fonction -2 ln(2(1-u)), pour u>1/2.