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Friday December 2, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Raphaël Lachiez Rey (MAP5) Percolation d'excursions de champs aléatoires

On considère un champ aléatoire réél multivarié, et plus particulièrement les propriétés géométriques et topologiques de ses excursions, ensembles obtenus après seuillage à un niveau donné. On s'intéresse plus particulièrement à leur percolation, i.e. l'existence de composantes connexes non-bornées. Le premier exemple étudié concerne les champs gaussiens lisses, obtenus par convolution d'un bruit blanc gaussien avec un noyau lisse intégrable, avec en particulier l'établissement d'une transition de phase “sharp” au voisinage de 0. Avec Stephen Muirhead, de l'Université de Melbourne, on s'est plus particulièrement intéressés aux champs “shot-noise”, obtenus par convolution d'un noyau intégrable lisse avec un processus poissonien homogène, qui peut aussi être vu comme un bruit blanc de nature discrète. On montre des résultats analogues au cas gaussien quand la loi du champ est symétrique, et dans le cas général, on établit un résultat de couplage avec un champ gaussien dans l'asymptotique de la haute intensité pour donner une estimation du seuil de percolation.

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Friday December 9, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Fanny Augeri (LPSM) To be announced.



Year 2022

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Friday November 25, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benjamin Bonnefont (LPSM) Distribution de l’overlap à deux températures pour le mouvement Brownien branchant

Motivé par l’étude de la dépendance en température de la mesure de Gibbs, l’objectif de ce travail est d’analyser l’overlap à deux températures dans deux modèles gaussiens spécifiques: le premier est le mouvement brownien branchant et le second est un analogue où les énergies sont indépendantes (Random Energy Model). En utilisant la convergence des processus extrémaux de ces modèles, on établit la convergence de l’overlap vers des limites explicites que l’on peut alors comparer : si à une température les deux modèles sont identiques, une différence apparaît quand on considère l’overlap à deux températures.

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Friday November 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Clément Cosco (Dauphine) To be announced.

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Friday October 28, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Ismaël Bailleul Structures de régularités pour des EDPS singulières quasi-linéaires

Les EDPS singulières forment une classe d'équations qui partagent toutes le même défaut d'être classiquement mal définies en raison de la présence dans ces équations de termes aléatoires de faible régularité dont le produit avec d'autres termes n'est pas défini a priori. La théorie des structures de régularité de Hairer offre un cadre dans lequel faire donner sens et résoudre uniquement en petit paramètre des telles équations. Ce cadre est optimisé pour l'étude des équations semi-linéaires, c'est-à-dire des équations dont les coefficients devant les termes de dérivées de plus haut degré ne dépendent pas de l'inconnue. Il n'est pas facile d'adapter ce cadre à l'étude des équations quasi-linéaires, pour lesquelles ces coefficients dépendent de l'inconnue. Je décrirai dans cet exposé quelques uns des ingrédients d'une approche qui donne une image complète de la situation dans un cadre relativement large comprenant comme exemple l'équation (KPZ) généralisée conduite par un bruit blanc espace/temps.

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Friday October 21, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yijun Wan On the crossing estimates for simple conformal loops ensembles and the convergence of probabilities of topological events for the double-dimer model

Conformal loop ensembles (CLE) are candidates for the scaling limits of loop configurations in some statistical physics models at the critical temperature. For simple CLEs, we prove the super-exponential decay of probabilities of having n crossings of a quadrilateral uniformly on its conformal modulus as n goes to infinity. This implies the convergence of probabilities of macroscopic topological events for the double-dimer loop ensembles to those for the nested CLE(4) via the topological correlators studied by Basok and Chelkak.

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Friday October 14, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Titus Lupu (LPSM) Probabilités d'événements topologiques pour le champ libre gaussien sur graphe métrique

Le champ libre gaussien (CLG) sur graphe métrique est obtenu en interpolant le CLG discret sur réseau par des ponts browniens à l'intérieur des arêtes. L'avantage du CLG sur graphe métrique par rapport au CLG discret est que le premier, à la différence du second, satisfait certaines formules exactes, comme pour certaines probabilités de croisement. Ici nous allons présenter de nouvelles formules exactes pour certains événements topologiques portant sur les composantes de signe du CLG métrique. Ceci inclut par exemple la probabilité, sur un domaine planaire doublement connexe (domaine avec un trou), qu'une telle composante de signe entoure le trou intérieur du domaine. Ce type de probabilités et obtenus comme un ratio de deux déterminants de laplacien à la puissance 1/2, l'un étant le laplacien usuel, et l'autre un laplacien tordu par un champ de jauge à valeurs dans {-1,1}, ou ce qui est la même chose un laplacien sur un fibré en droites non trivial du domaine.

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Friday June 3, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
David Garcia Zelada (LPSM) Rayon spectral et polynôme caractéristique

Cet exposé portera sur des matrices aléatoires à coefficients i.i.d. et de carré intégrable. Il est connu que la mesure spectrale empirique converge vers la mesure uniforme sur le disque unité et la question de l'existence “d'outliers” s'impose. Je vais vous raconter la relation de ce problème avec l'étude du polynôme caractéristique en dehors du disque et comment obtenir le comportement asymptotique de ce dernier. Cette réponse négative à l'existence “d'outliers” a été trouvée dans un travail avec Charles Bordenave et Djalil Chafaï.

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Friday May 13, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Éric Vernier (LPSM) Statistiques spectrales de matrices aléatoires en présence de symétries discrètes

L'étude statistique du spectre de grandes matrices associées à des systèmes physiques (par exemple le Hamiltonien d'un système quantique complexe) et sa comparaison aux prédictions de la théorie des matrices aléatoires est un outil puissant qui permet notamment d'élucider la nature chaotique ou intégrable de ces systèmes. Je m'intéresserai ici à la présence de symétries discrètes, qui subdivisent ces matrices en plusieurs blocs indépendants. Puisque pour un système physique donné il peut être difficile en pratique de résoudre ces symétries, ou tout simplement impossible dans le cas où celles-ci n'étaient pas connues au départ, je présenterai des prédictions pour la statistique spectrale du système dans son ensemble. Des applications physiques seront discutées si le temps le permet. Travail en collaboration avec Olivier Giraud, Fabien Alet et Nicolas Macé, Physical Review X 12 (1), 011006

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Friday April 22, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bruno Ziliotto (Dauphine) Percolation Games

Inspired by first-passage percolation models, we consider zero-sum games on Z^d and study their limit behavior when the game duration tends to infinity. No game-theory background is needed.

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Friday April 1, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Alice Contat (Paris Saclay) Parking sur des arbres aléatoires

Le modèle de parking sur des arbres aléatoires a suscité beaucoup de développements récents en probabilités. Il donne lieu à un phénomène de transition de phase tres similaire à celui de la percolation. Nous présenterons ce modèle et en particulier les liens qu’il a avec les graphes aléatoires de type Erdös-Renyi.

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Friday March 25, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jeanne Boursier (Dauphine) Sur les fluctuations du gaz de Riesz circulaire

Je vais présenter des résultats sur les fluctuations d’un système de particules en interaction sur le cercle, se repoussant selon le potentiel de Riesz. Ce modèle est une extension du système appelé log-gas ou beta-ensemble, bien connu en théorie des matrices aléatoires. On établit des estimées optimales de rigidité pour les espacements des particules ainsi qu’un théorème central limite pour le nombre de points et plus généralement pour les statistiques linéaires associées à des fonctions-test possiblement singulières. On introduira l'équation de Helffer-Sjöstrand qui joue un rôle clé dans les preuves.

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Friday March 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (ETH Zurich) Limite d'échelle de cartes aléatoires à grandes faces

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux modèles de cartes aléatoires à grandes faces. Plus précisément, nous parlerons de cartes stables d'indice fixe $\alpha\in(1,2)$. Ces modèles ont un comportement très différent de celui des triangulations ou quadrangulations uniformes, ce qui leur a valu d’attirer rapidement une grande attention, notamment du fait de leurs liaisons avec les modèles de physique statistique sur des cartes uniformes.

Le but de cet exposé est de comprendre le comportement géométrique à grande échelle de ces modèles. En 2011, Jean-François Le Gall et Grégory Miermont ont établi la tension de ces derniers. Nous complétons cette étude en montrant l'unicité de cette limite (très différente de la sphère brownienne et dépendant de $\alpha$). Nous donnerons dans cet exposé une construction de ces modèles à l'aide de processus stochastiques classiques ayant des interprétations métriques ainsi que les grandes lignes de la preuve de l'unicité de la limite. En fonction du temps, nous expliquerons comment cette construction permet d'étudier la topologie et les géodésiques de ces espaces.

Cet exposé présente un travail en cours de finalisation avec Nicolas Curien et Grégory Miermont.

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Friday March 11, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Éric Luçon (MAP5) Comportement périodiques en temps long de modèles de champ-moyen excitables.

Travail en commun avec Christophe Poquet (Lyon 1). De nombreux phénomènes physiques mettent en jeu des systèmes dits excitables, (i.e. des systèmes qui, en l'absence de perturbation extérieure convergent naturellement vers un état stable alors qu'une perturbation suffisamment grande force le système à quitter cet état stable puis à y revenir). Un prototype de ce genre de dynamique est par exemple le modèle de FitzHugh-Nagumo modélisant l'évolution du potentiel de membrane d'un neurone. On s'intéresse ici à l'évolution de N systèmes excitables, soumis à une interaction en champ-moyen linéaire et à un bruit additif. Dans la limite en population infinie, l'évolution du système est correctement décrite par une équation de Fokker-Planck non-linéaire. Nous montrons tout d'abord l'existence de solutions périodiques pour cette EDP: l'addition simultanée de bruit et d'interaction force le système à se synchroniser autour de solutions périodiques. Nous montrons ensuite que pour N grand mais fini, sur une échelle de temps d'ordre N, la mesure empirique du système suit cette solution périodique, modulo des termes correctifs dûs au bruit.

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Friday February 18, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Matteo D'Achille (LAMA) ERAP : du pont brownien à la fonction \vartheta_4 de Jacobi

Considérons deux n-échantillons B (points bleus) et R (points rouges) de variables aléatoires i.i.d. à valeurs sur un espace métrique de dimension d, distribuées selon une mesure de probabilité \nu (désordre). Pour chaque permutation \pi de B dans R, il y a un hamiltonien aléatoire H(\pi) qui dépend de la distance D de l'espace métrique entre B et une permutation de R pour un exposant p réel.

Que pouvons-nous dire sur la loi (ou moments, etc.) de l'hamiltonien minimal H_opt (sur les permutations), en fonction du choix de l'espace métrique, du désordre et de l'exposant p, quand n tend vers l'infini ?

Ce problème est appelé “assignation aléatoire euclidienne” ou ERAP en anglais. Même si c'est un véritable modèle de verre de spin en dimension finie, et qu'il est équivalent au problème de Monge-Kantorovich entre les mesures empiriques des points bleus et rouges, l'ERAP s'est avéré être extrêmement difficile à étudier en général.

Dans cet exposé, je résumerai quelques résultats connus en dimension d=1, où des progrès ont été possibles grâce aux propriétés de la solution pour une large classe de désordres (notamment quand p >= 1) reliée au pont Brownien quand n tend vers l'infini.

En particulier, je deduirai la loi asymptotique de H_opt pour le cercle unitaire, en lien avec un travail de Biane, Pitman et Yor sur (entre autre choses) la transformée de Laplace de séries de variables Gamma indépendantes.

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Friday February 11, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Assaf Shapira (MAP5) Modèles à contraintes cinétique en milieux aléatoires

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Friday February 4, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yoan Tardy (LPSM) Collisions du système de particules de Keller-Segel surcritique.

Nous étudions un système de particules naturellement associé à l'équation de Keller-Segel 2-D. Il est constitué de N particules browniennes dans le plan, interagissant par une attraction en 1/r, où r représente la distance entre deux particules. Lorsque l'intensité de cette attraction, qui est un paramètre de l'équation, est supérieure à 2, ce système de particules explose en temps fini. Nous étudions en détail ce qu'il se passe à proximité de l'explosion. Il existe deux scénarios légèrement différents, en fonction des valeurs de N et de l'intensité de l'attraction : au moment de l'explosion, un amas constitué de k particules précisément émerge, pour un certain k>6 déterministe dépendant de N et de l'intensité de l'attraction. Juste avant l'explosion, il y a une infinité de collisions à k-1 particules. Il y a également une infinité de collisions à k-2 particules avant chaque collision à k-1 particules. Puis, il y a une infinité de collisions doubles avant chaque collision à k-2 particules. Enfin, les collisions de sous-ensembles de 3,…,k-3 particules ne se produisent jamais. L'autre scénario est similaire, sauf qu'il n'y a pas de collisions à k-2 particules.

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Friday January 21, 2022, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Bastien Mallein (LAGA) Points extrêmes dans le mouvement brownien branchant multidimensionnel


Year 2021

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Friday December 17, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Lorenzo Bertini (La Sapienza (Rome)) Current fluctuations in stochastic lattice gases: Donsker-Varadhan meets Freidlin-Wentzell

We discuss the large deviations asymptotic of the time-averaged empirical current in stochastic lattice gases in the limit in which both the number of particles and the time window diverge. For some models it has been shown that dynamical phase transitions occur: the optimal density profile to realize such deviations is given by travelling waves rather than by homogeneous profiles. We shall prove a variational representation, proposed by Varadhan, for the corresponding rate function that is obtained by projecting the large deviations at the level of the empirical process.

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Friday December 10, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Titus Lupu (LPSM) Chaos multiplicatifs des soupes de boucles browniennes

Je présenterai un travail réalisé en collaboration avec Elie Aïdékon, Nathanael Berestycki et Antoine Jégo. Nous construisons des mesures aléatoires à partir de processus de Poisson de boucles browniennes en dimension 2. Ses mesures sont supportées sur des points exceptionnels qui sont des intersections d'une infinité de boucles différentes, et sont de multiplicité infinie pour chacune d'entre elles. De plus ces mesures sont conformément covariantes en loi. Pour un paramètre d'intensité particulier du Poisson, la mesure que l'on obtient est étroitement liée au chaos multiplicatif gaussien. Ceci provient d'une représentation du champ libre gaussien par boucles browniennes due à Yves Le Jan. Pour d'autres paramètres d'intensité du Poisson, on peut voit les mesures que l'on construit comme des chaos multiplicatifs non-gaussiens, qui ont beaucoup de propriétés en commun avec le chaos multiplicatif gaussien.

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Friday December 3, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Mendes Oulamara (IHES) Invariance par rotation de la percolation FK

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Friday November 19, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Vincent Bansaye (Polytechnique) Une construction spinale pour des modèles de populations en interaction

Nous nous intéresserons à des populations où les taux de transitions individuels (morts, naissances, mouvements…) sont dépendants des densités de populations, motivés en particulier par l'augmentation de la mortalité par compétition. L'objectif est de décrire la lignée ancestrale d'un échantillon à un temps donné, grâce à une construction markovienne progressive. Dans un premier temps, nous nous concentrerons sur le cas non structuré (pas d'espace) et nous donnerons un exemple d'application d'une telle construction pour décrire une transition de phase dans un modèle simple de croissance fragmentation avec compétition. Nous pourrons aborder ensuite une autre application ou l'extension de la construction à des populations structurées.

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Friday October 22, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eva Löcherbach (Panthéon-Sorbonne) Vitesse de convergence forte pour la propagation du chaos dans des systèmes de neurones en interactions dans un régime diffusif

Nous considérons un système de neurones en interactions avec des poids synaptiques aléatoires centrés, dans un régime diffusif. Je discuterai d'abord le comportement du système en grande population, qui est caractérisé par la propriété de propagation du chaos conditionnelle. Ensuite j'expliquerai comment des techniques de couplage dues à Komlos-Major-Tusnady, associée à une discrétisation en temps type schéma d'Euler, permettent d'obtenir une vitesse de convergence explicite pour l'erreur forte.

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Friday October 15, 2021, 11AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Camille Coron (Paris Saclay) Contribution génétique des ancêtres dans une population biparentale

Nous étudions la composition génétique d’une population dans laquelle chaque individu a deux parents, qui contribuent de manière égale au génome de leurs enfants. Nous utilisons un modèle de Moran bi-parental, caractérisé par un nombre fixe, noté N, d’individus. On fixe un individu et on s’intéresse à la proportion du génome de tous les individus vivant n pas de temps plus tard, qui provient de cet individu. Quand n tend vers l’infini, ces proportions, prises pour chaque ancêtre, convergent presque sûrement vers la même variable aléatoire. Quand N tend à son tour vers l’infini, cette variable aléatoire multipliée par N (appelée le poids asymptotique d’un ancêtre dans la population) converge en loi vers le mélange d’une mesure de Dirac en 0 et une loi exponentielle de paramètre ½, et les poids des ancêtres sont indépendants. On en déduit que la suite des poids croissants de tous les ancêtres converge, sous une renormalisation appropriée, vers la fonction -2 ln(2(1-u)), pour u>1/2.