Ergodic theory seminar

Séminaire

Thematic team Dynamics, Probability, Geometry

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Tuesday at 10:30, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209

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Ergodic theory seminar
Tuesday January 9, 2024, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Françoise Pène (Université de Brest) Vitesse de mélange pour des observables naturelles du flot du gaz de Lorentz périodique en horizon infini

Le gaz de Lorentz périodique décrit le comportement d'une particule ponctuelle se déplaçant à vitesse unité et rebondissant selon la loi de la réflexion de Descartes sur des obstacles “ronds” disposés de manière Z^d-périodique. Nous considérons à la fois le gaz de Lorentz Z^2-périodique dans le plan et le gaz de Lorentz Z-périodique sur un tube. Nous nous intéressons à la question de la vitesse de mélange (en mesure infinie) pour le flot et pour des observables régulières à support compact.

Ce modèle se comporte de manière très différente selon que l'horizon soit fini ou infini. Alors que lorsque l'horizon est fini un développement de tout ordre a été établi dans un travail précédent en collaboration avec Dmitry Dolgopyat et Péter Nandori, obtenir simplement le terme dominant dans le cas où l'horizon est infini est une question extrêmement difficile en raison du fait que le temps avant la prochaine collision n'est pas intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue préservant le flot (le temps entre 2 collisions n'est pas de carré intégrable par rapport à la mesure invariante pour la transformation). L'objet de cet exposé est d'expliquer la preuve du résultat de mélange en horizon infini. La preuve de ce résultat, établi en collaboration avec Dalia Terhesiu, repose sur des estimées précises dans des théorèmes limites probabilistes et sur un critère de tension inédit et se fait en deux étapes. La première étape consiste à étudier le cas d'observables à support compact pour le flot spécial (c'est-à-dire dont le support est constitué de configurations qui sont à un temps borné du temps de réflexion le plus proche). La seconde étape consiste à étendre le résultat à des observables à support compact dans l'espace des configurations (un tel compact peut contenir des configurations dont la trajectoire ne rencontrera jamais d'obstacle).

Pour la première étape, nous montrons et utilisons un théorème limite local mélangeant (MLLT) pour l'application collision et pour le couple (numéro de cellule, temps de collision), nous utilisons de plus un résultat subtil de grande déviation locale (LLD) obtenu dans un travail précédent en collaboration avec Ian Melbourne et Dalia Terhesiu. Pour la deuxième étape, nous prouvons et utilisons un argument inédit de type “tension” (dont la preuve est délicate et utilise notamment des termes d'erreur précis dans les MLLT, LLD, mais aussi une estimation de grande déviations pour le nombre de collisions, etc.)

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Tuesday January 16, 2024, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thierry De La Rue (LMRS Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem) À venir

À venir

Year 2023

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Tuesday November 28, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
François Maucourant (Université de Rennes) Le mystère de la Farfalle

Travail en commun avec S. Cantat and Y. Moreno. Étant donné un entier N, on étudie la suite de Fibonacci F_k mod N. Quand les valeurs successives de exp(2i\pi F_k/N) sont reliées par un segment sur le disque unité, M. Launay a remarqué une forme de Farfalle (papillon) apparaissait clairement pour certains choix de modulo N. C'est fortement relié à l'étude des points périodiques de l'anosov du tore T^2. Nous montrerons pourquoi cette forme apparaît pour certains N, et ce que la théorie ergodique et les sommes exponentielles peuvent nous dire sur cette construction pour un N plus typique.

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Tuesday November 21, 2023, 10AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Doctorants De L'Équipe Dpg séance de présentation des travaux des doctorants de l'équipe “dynamique, probabiltiés, géométrie”

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Tuesday June 6, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Manuel Stadlbauer (Universidade Federal do Rio de Janeiro) The Poincaré series of a regular cover through a hyperbolic group

Let M be a hyperbolic surface. Then the Poincaré series is defined by

P(s) = sum exp(- sd(o,g(o)))

where one sums over the elements of associated Fuchsian group G and o is some point in the hyperbolic plane. This object is of interest as the behaviour at its critical parameter provides dynamical data and its knowledge shows a good understanding of the underlying geometry.

So assume that M is convex-cocompact. Then it is known that P(s) ≍ 1/(s - d(G)), where d(G) is the critical exponent of P and G. However, if N is a normal subgroup of G such that G/N is a word hyperbolic, then the situation is different. We have d(G) > d(N) and the Poincaré series with respect to N is finite at d(N). Moreover,

P'(s) ≍  (1/ s  − d(N))^(1/2).

The proof of this result relies on concepts from different areas, like amenability, visual boundaries of hyperbolic groups, Martin boundaries, local limit theorems and a very simple ODE. It is also worth noting that the result also holds in the CAT(-1)-setting and that the asymptotics of the higher derivatives also are known.

A part of these results are contained in S. Bispo, M. Stadlbauer: The Martin boundary of an extension by a hyperbolic group. Israel J. Math. 2023

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Tuesday May 23, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Dalibor Volny (Université de Rouen Normandie) Théorème limite centrale dans les systèmes déterministes

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Tuesday April 4, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Fabrizio Bianchi (Lille) Toute application de Hénon complexe satisfait le Théorème Central Limite.

Nous montrons que toute observable Hölder satisfait le Théorème Central Limite (CLT) pour la mesure d'entropie maximale de toute application de Hénon complexe. La preuve est basée sur un critère général pour assurer la validité du CLT, valable pour des systèmes dynamiques mesurables abstraits. Travail en commun avec Tien-Cuong Dinh.

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Tuesday March 14, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Fanny Kassel (IHES) Quotients compacts d’espaces homogènes et représentations anosoviennes

Soit G/H un espace homogène réductif avec G non compact, par exemple SL(n,R)/SL(m,R) pour n>m>1, la sphère complexe SO(n+1,C)/SO(n,C) ou l’espace hyperbolique pseudo-riemannien SO(p,q+1)/O(p,q). Admet-il des actions propres et cocompactes de sous-groupes discrets de G ? Si oui, l’ensemble de ces actions est-il stable par petites déformations ? J’expliquerai comment une propriété de propreté forte, qui fait le lien avec les représentations anosoviennes au sens de Labourie, permet d’apporter quelques réponses à ces questions. Travail en commun avec Nicolas Tholozan.

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Tuesday March 7, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas De Saxcé (LAGA) Approximation rationnelle des sous-espaces vectoriels

À l'aide d'une étude soignée des orbites diagonales dans l'espaces des réseaux de l'espace euclidien, nous répondrons à certaines questions de Schmidt d'approximation diophantienne intrinsèque dans les variétés grassmanniennes.

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Tuesday February 21, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yonatan Gutman (IMPAN) Strongly isomorphic symbolic extensions for expansive topological flows

We prove that finite-dimensional topological flows without fixed points and having a countable number of periodic orbits, have the small flow boundary property. This enables us to answer positively a question of Bowen and Walters from 1972: Any expansive topological flow has a strongly isomorphic symbolic flow extension, i.e. an extension by a suspension flow over a subshift. Previously Burguet had shown this is true if the flow is assumed to be $C^2$-smooth. Joint work with Ruxi Shi.

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Tuesday February 7, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Snir Ben Ovadia (Penn State) Neutralized local entropy

We introduce a notion of a point-wise entropy of measures (ie local entropy) called neutralized local entropy, and compare it with the Brin-Katok local entropy and with the Ledrappier-Young local entropy on stable leaves. We show that the neutralized local entropy must coincide with the two other notions of local entropies, and so all three quantities are equal almost everywhere. Neutralized local entropy is computed by measuring open sets with a relatively simple geometric description. Our proof uses a measure density lemma for Bowen balls.

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Tuesday January 31, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Andres Sambarino (IMJ-PRG) Différentiabilité, ergodicité et conicalité en rang supérieur.

Pour un sous-groupe discret de SL(n,\R) (ou plus généralement d'un groupe de Lie semi-simple) nous discuterons des notions de conicalité pour un point de son ensemble limite. Lorsque le sous-groupe est d'Anosov, la masse totale de ces points coniques pour des mesures type Patterson-Sullivan est reliée à l'ergodicité d'un système dynamique conjugué à un produit tordu au dessus d'un flot d'Anosov. Ces points coniques permettent d'étudier les points de non-différentiabilité de certains ensembles limites stablement Lipschitz. C'est un travail en collaboration avec B. Pozzetti.

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Tuesday January 10, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Richard Aoun (Université Gustave Eiffel) Mesures de probabilités stationnaires sur l'espace projectif sans hypothèse d'irréductibilité.

Une mesure de probabilité \mu sur le groupe général linéaire GL_d(R) induit une marche aléatoire (non commutative) sur ce groupe et une chaîne de Markov sur l'espace projectif de R^d. Les mesures stationnaires associées à cette chaîne de Markov retiennent des informations essentielles sur les propriétés asymptotiques de la marche aléatoire et du semigroupe engendré par le support de \mu. Les travaux fondamentaux de Furstenberg, Kifer, Guivarc'h, Raugi, Hennion, etc. ont donné une description de ces mesures stationnaires, surtout quand la mesure de probabilité \mu est irréductible. Des questions naturelles restent cependant à être étudiées, notamment dans le cas réductible. Dans cette série de travaux, nous donnons une description des mesures stationnaires, généralisant ceux de Furstenberg–Kifer et Hennion des années 80 et ceux des travaux plus récents de Aoun–Guivarc'h et Benoist–Bruère. Après un panorama des aspects connus de cette théorie, nous donnons nos résultats, techniques et conséquences. Travail joint avec Cagri Sert.

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Tuesday January 3, 2023, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sébastien Gouëzel (IRMAR, Rennes) La vitesse de fuite est propre sur l'espace de Teichmüller

Considérons une marche aléatoire sur le groupe fondamental d'une surface hyperbolique. Dans le revêtement universel, cette marche part linéairement vers l'infini, avec une vitesse appelée vitesse de fuite. Si on varie la métrique hyperbolique sur la surface (mais en conservant la même marche aléatoire), la vitesse de fuite change. J'expliquerai pourquoi la vitesse de fuite tend vers l'infini avec la métrique. On aura pour cela besoin de considérer des énoncés généraux de continuité de la vitesse de fuite, et des actions sur des arbres qui apparaissent comme limites à l'infini de représentations dans l'espace hyperbolique.

Year 2022

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Tuesday November 15, 2022, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jérôme Carrand Une famille naturelle de mesures d'équilibres pour le flot billard, dont la MME

Une mesure d'équilibre est une mesure maximisant une certaine quantité dépendant de l'entropie et d'un potentiel. Nous donnons deux conditions pour qu'à un potentiel Hölder donné soit associée une unique mesure d'équilibre pour l'application de collisions. Pour construire ces mesures, nous utilisons des vecteurs propres maximaux associés à des opérateurs de transfert agissant sur un espace de Banach anisotrope. La forme particulière de ces mesures permet notamment de montrer qu'elles sont de support total et Bernoulli. Avec V. Baladi et M. Demers, sur la base des conditions introduites précédemment, nous obtenons l'existence, l'unicité et la bernoullicité de la mesure d'entropie maximale pour le flot billard, en supposant seulement l'horizon fini et une condition faible (que nous croyons également générique).

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Tuesday November 8, 2022, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Victor Kleptsyn (IRMAR, Rennes) La propriété hölderienne pour les mesures stationnaires

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Tuesday October 25, 2022, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Mathieu Helfter (IMJ-PRG) Echelles

Les échelles sont une proposition de généralisation d'une partie de la théorie de la dimension qui permet d'obtenir des invariants bi-Lipschitz sur des espaces métriques éventuellement de dimension infinie. La comparaison des différentes versions des échelles permet des applications à l'étude l'emergence des décompositions ergodiques, à l'estimation des petites boules de la mesure de Wiener et à la description de la taille d'espaces de fonctions de régularité finie.

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Tuesday October 18, 2022, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Ruxi Shi (LPSM) Dimension moyenne topologique des systèmes induits

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Tuesday October 4, 2022, 10:30AM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sébastien Alvarez (CMAT, Montevideo) Entropie de mesure des feuilletages

La dynamique topologique des feuilletages est bien comprise. Il y a des concepts analogues à ceux d'orbites périodiques, d'ensemble limite, de récurrence et même d'entropie topologique, qui a été définie par Ghys, Langevin et Walczak. Cette entropie mesure la séparation transverse des feuilles d'un feuilletage. En revanche, la théorie ergodique des feuilletages est encore relativement peu développée. En particulier il n'y a pas encore de version satisfaisante d'entropie de mesure de feuilletages, et il semble difficile d'imaginer un moyen de détecter la séparation des feuilles d'un feuilletage en utilisant des mesures (qu'elles soient harmoniques, ou invariantes par certaines dynamiques tangentielles). Par exemple est-il possible d'obtenir un principe variationnel dans ce contexte? Dans cet exposé, je vais parler d'une approche que nous mettons au point avec Jiagang Yang de la UFF (Niteroi) pour attaquer ce problème.