Pour $n \geq 2$, soit $T_n$ l'application $x \mapsto nx \mod 1$ sur le cercle $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$. L'objectif de mon exposé est de présenter la conjecture « fois 2, fois 3 » de Furstenberg : la seule mesure de probabilité sur $\mathbb{T}$, sans atome et invariante par $T_2$ et $T_3$, est la mesure de Lebesgue normalisée. Je discuterai également de quelques résultats obtenus autour de cette conjecture, en collaboration avec Sophie Grivaux.

The Poisson boundary of a group plays a dual role: it classifies bounded harmonic functions (i.e., bounded functions that are martingales with respect to a fixed measure) and describes the space of asymptotic trajectories of a random walk. For many groups and measures, the Poisson boundary admits a concrete realization. A longstanding question in the field is whether, for the free group, the Poisson boundary is always isomorphic to the hitting measure on its boundary. I will present recent progress on this question, based on joint work with Kunal Chawla.

Dans un travail en collaboration avec Pablo G. Barrientos (UFF, Brésil), nous définissons une propriété de contraction locale pour les systèmes dynamiques aléatoires d'un espace métrique compact, qui grossièrement parlant exprime la négativité d'exposants de Lyapunov du système, bien que ne nécessitant pas de structure lisse pour être définie. Nous montrons que cette propriété entraîne une propriété de trou spectral pour l'opérateur de transfert du système, dont on peut déduire ensuite notamment plusieurs conséquences sur le comportement asymptotique des sommes de Birkhoff (théorème central limite avec reste, grandes déviations…) par la méthode dite de Nagaev. Ceci généralise des résultats classiques de Le Page sur les produits aléatoires de matrices, s'appliquant en particulier à l'étude des composées de difféomorphismes aléatoires du cercle sous des hypothèses relativement générales.

In this talk, we give an introduction to density property of completely integrable vector fields and survey its applications in holomorphic dynamics. We begin with a historical overview of the Andersen-Lempert theory, which studies infinite-dimensional holomorphic automorphism groups. This theory has been extensively developed on Stein manifolds with the density property, which expresses the abundance of completely integrable vector fields and holomorphic automorphisms. Examples of such manifolds include $C^n, n > 1$ and complex semisimple Lie groups. On such noncompact manifolds, finitely many completely integrable vector fields span everywhere the tangent space, and local holomorphic injections are approximable by global holomorphic automorphisms. Approximation results of Andersen-Lempert type have found many applications in holomorphic problems of geometric nature and holomorphic dynamics.

In the second part, we discuss recent results by Arosio and Larusson on dynamics of generic automorphisms on Stein manifolds with the density property.

Tout système dynamique induit une action unitaire sur l'espace des fonctions $L^2$ mesurables. La propriété d'avoir un spectre de Lebesgue dénombrable est généralement associée aux dynamiques chaotiques, comme le flot géodésique en courbure négative ou les shifts de Bernoulli. Mais des systèmes d'entropie nulle peuvent avoir un spectre de Lebesgue dénombrable et être spectralement équivalents à ces systèmes chaotiques.

Jusqu'à récemment, ces exemples étaient limités à la dynamique homogène, comme le cas du flot horocyclique.

Nous allons discuter comment le spectre de Lebesgue dénombrable peut apparaître par reparamétrage de flots de translations sur le tore, ou par induction de n'importe quel système ergodique. La discussion se basera sur des travaux en collaboration avec Ftana Abdedou, Giovanni Forni, Adam Kanigowski et Jean-Paul Thouvenot.

(attention salle inhabituelle)

Resume: Les spectres de Lagrange et Markov sont deux ensembles L et M decrivant les meilleures constantes d'approximations Diophantiennes pour les nombres irrationnels et les formes quadratiques binaires.    En 1880, A. Markov a montré que les portions de L et M avant 3 coïncident avec une suite explicite de nombres irrationnels quadratiques. Dans cet expose, on discutera un résultat (obtenu en collaboration avec H. Erazo, D. Lima, C. G. Moreira et S. Vieira) montrant que, dans un certain sens, l'énoncé de Markov est optimal: en effet, pour tout a > 0, la portion de M\L comprise entre 3 et 3+a est de dimension de Hausdorff positive. Ici, la cle pour la démonstration de ce résultat sera l’étude de projections des ensembles de Cantor définis par des dynamiques presque affines via un argument probabiliste base sur le théorème de Baker-Wustholz sur les logarithmes de nombres algébriques.

Pour un groupe G, on veut décrire les actions possibles de G sur la droite réelle, à semi-conjugaison près. Lorsque G est de type fini, cette description se fait à l'aide d'un flot sur un espace compact. On discutera, comme application, des propriétés de stabilité des actions sous perturbations. Il s'agit d'un projet en collaboration avec Brum, Matte Bon, et Rivas.

On étudie la marche formée par les produits d'une suite de matrices aléatoires indépendantes et de même loi. Sous des hypothèses algébriques naturelles, on décrit une méthode qui permet d'étudier explicitement cette marche en se basant sur une propriété locale-globale pour la décomposition KAK de Cartan. On obtient alors des résultats de convergence quantitatifs plus forts qu'avec les méthodes classiques, développées par Guivarc'h, Raugi, Le Page et d'autres et qui se basent sur l'étude des mesures invariantes.

Le théorème de Khintchine est un résultat phare en approximation Diophantienne. Étant donné une fonction positive décroissante f définie sur les entiers, il affirme que l'ensemble des nombres réels f-approximables est de mesure de Lebesgue nulle ou pleine selon que la somme des (f(n))_n converge ou diverge. Je présenterai un travail récent en collaboration avec Weikun He et Han Zhang dans lequel nous étendons le théorème de Khintchine à toute mesure de probabilité auto-similaire sur la droite réelle. L'argument passe par l'équidistribution quantitative de marches aléatoires triangulaires supérieures sur SL_2(R)/SL_2(Z).

Soit f:ℂ→ℂ une application polynomiale de degré d≥2. Nous montrons que les points périodiques de f de période n s'équidistribuent vers la mesure d'équilibre de f exponentiellement vite lorsque n tend vers l'infini. Ceci quantifie un théorème de Lyubich. Il s'agit d'un travail en commun avec T.-C. Dinh.

Dans sa thèse,  Schwartzman montre le résultat suivant en dynamique topologique : pour un homéomorphisme d'un espace métrique compact infini, il existe deux orbites restant à une distance arbitrairement petite le long de leurs orbites positives. Ce résultat a en fait été retrouvé plusieurs fois avec des applications différentes, comme par exemple le théorème de Morse et Hedlund en dyamique symbolique, ou  le théorème de Mañé pour les dynamiques expansives minimales. Plus tard Boyle et Lind obtiennent un résultat similaire pour des actions continues de groupe abéliens libres. Cela conduit à la notion de direction non-expansivité étudiée pour les automates cellulaires. Dans un travail en commun avec S. Donoso et A. Maass (Univ. du Chili) nous étendons ces résultats à toutes les actions  continues d'un groupe dénombrable G sur un espace métrique compact. Nous précisons même des résultats dans le cas de ${\mathbb Z}^d$ : par exemple, nous montrons que dans tout demi-espace de ${\mathbb R}^d$ il existe un vecteur définissant une direction non -expansivité (orientée) au sens de Boyle et Lind. Ceci permet de retrouver quelques résultats récents obtenus pour l'étude de la conjecture de Nivat. Nous déduisons également plusieurs applications en dynamique topologique et sur des ensembles de Cantor.

Nous démontrons la conjecture de stabilité du point de vue de Mañé pour le flot géodésique d´une variété compacte sans points conjugués à revêtement universel quasi-convexe et rayons géodésiques divergents. Ce résultat en dimension quelconque avec Rafael Potrie du Centro de Matemática, UDELAR, étend des résultats antérieurs en dimension jusqu'à 3.

Suppose we are given a family of dynamical systems F acting on a compact metric space X. When is it possible to disintegrate the uniform distribution on X, with respect to F? More concretely, is there a way to pick an f invariant measure, for every f, so that the average of these invariant measures is the uniform distribution? We restrict our study to when F is a coset of a compact group. In this situation, if we can pick such “magic measures”, we call the collection of all of these a Dedieu—Shub family. In this talk, I will detail some examples of Dedieu — Shub measures and applications. This is joint work with Jairo Bochi

Je présenterai une classification des adhérences des horocycles dans une surface géométriquement finie (c'est-à-dire, dont le groupe fondamental est finiment engendré) à courbure négative ou nulle. La topologie de chaque horocycle dépend du comportement des rayons géodésiques associés par rapport aux bouts non compacts de la surface. En courbure négative ou nulle, il existe quatre types de bouts différents, contrairement aux deux types de bouts à courbure strictement négative, à savoir les cusps et les funnels. Cela produit de nouveaux phénomènes que j'essaierai de décrire pendant l'exposé.

Le théorème de Belinskaya est un résultat puissant de dynamique discrète: étant données deux bijections préservant la mesure d'un espace de probabilité standard, ergodiques avec les mêmes orbites, si le cocycle qui permet de passer de l'une à l'autre est intégrable, alors les deux bijections sont conjuguées, quitte à remplacer l'une par son inverse. C'est d'autant plus remarquable que le théorème de Dye garantit à l'inverse que à conjugaison près, toutes les bijections ergodiques préservant la mesure ont les mêmes orbites. Dans cet exposé, on s'intéressera à une version continue du théorème de Belinskaya, obtenue en collaboration avec Kostya Slutsky.

(attention à la salle inhabituelle)

Soit $A$ une matrice $d \times d$ à coefficients entiers, dilatante (i.e. toutes les valeurs propres de $A$ sont de module > 1). L'application $x \mapsto Ax$ définit un endomorphisme du tore $\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$. Cet endomorphisme préserve la mesure de Haar $\eta$.

Mihailescu a montré en 2011 que cet endomorphisme est isomorphe à un décalage de Bernoulli uniforme sur $\{0,\ldots,r-1\}^{\mathbb{N}}$, mais sa preuve est non-constructive. Nous verrons deux approches différentes qui fournissent une application facteur dans un sens ou dans l'autre, qui est \og $s$ en un \fg pour un certain entier naturel $s \ge 1$. Lorsque $A^{-1}$ est contractante pour la norme $|\cdot|_\infty$ sur $\mathbb{R}^d$, ces applications facteurs sont des isomorphismes.

We will begin by reviewing the formulation of van der Corput's difference theorem (vdCdt) for uniformly distributed sequences as well as Bergelson's reformulation for sequences of vectors in a Hilbert space. We will then review known results in ergodic theory that were proven using the Hilbertian restatement of vdCdt, as well as the ergodic hierarchy of mixing properties of a unitary operator. One of our main theorems will be establishing a connection between variations of vdCdt and the ergodic hierarchy of mixing (more specfically, Lebesgue spectrum) in order to obtain generalizations of vdCdt. We will conclude by applying the newly found generalizations of vdCdt to obtain new ergodic theorems for certain classes of noncommuting operators. For actions of general amenable groups we have similar results, but we must work with the left regular representation of the group instead of the notion of Lebesgue spectrum.

L'objectif de cet exposé est d'introduire la notion d'extension confinée, basée sur la notion de couplage de systèmes dynamiques, et de donner des exemples construits à l'aide de suspensions de Poisson. Dans un premier temps je présenterai la définition des extensions confinées et expliquerai brièvement ce qui nous a amenés à introduire cette notion nouvelle. Le reste de l'exposé sera dédié aux extensions dites “poissoniennes”: on donnera deux cas de figures dans lesquels ces extensions sont confinées, pour des raisons bien différentes.

Dans des notes de cours autour de la conjecture de Sarnak, Veech a introduit la propriété suivante, susceptible d'être vérifiée par la fonction de Möbius : « Dans tout système de Furstenberg de la fonction de Möbius, l'observable définie par la coordonnée zéro est orthogonale au facteur de Pinsker du système ».

Veech a prouvé que cette propriété entraînerait la validité de la conjecture de Sarnak, c'est-à-dire l'orthogonalité de la fonction de Möbius avec tous les systèmes topologiques d'entropie nulle.

Dans cet exposé basé sur un travail en collaboration avec Adam Kanigowski, Joanna Kułaga-Przymus et Mariusz Lemańczyk, je vais tenter d'expliquer pourquoi cette propriété de Veech est, en fait, équivalente à la conjecture de Sarnak. L'équivalence est valide dans un contexte beaucoup plus général reposant sur la notion de «classe caractéristique» de systèmes dynamiques mesurés, à savoir les classes stables par couplages et passages au facteur. (Les systèmes mesurés d'entropie nulle constituent un exemple de telle classe.) Pour une classe caractéristique donnée, on peut considérer la propriété de Veech relative à cette classe en remplaçant le facteur de Pinsker par le plus gros facteur dans cette classe caractéristique, et la fonction de Möbius par une fonction arithmétique quelconque ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Je discuterai de l'équivalence entre cette propriété de Veech et l'orthogonalité de la fonction arithmétique considérée avec les systèmes topologiques dont les mesures invariantes visibles donnent lieu à des systèmes dans la classe caractéristique.

Si le temps le permet, j'aborderai également la traduction combinatoire de la propriété de Veech relativement à certaines classes caractéristiques bien connues.

Le gaz de Lorentz périodique décrit le comportement d'une particule ponctuelle se déplaçant à vitesse unité et rebondissant selon la loi de la réflexion de Descartes sur des obstacles “ronds” disposés de manière Z^d-périodique. Nous considérons à la fois le gaz de Lorentz Z^2-périodique dans le plan et le gaz de Lorentz Z-périodique sur un tube. Nous nous intéressons à la question de la vitesse de mélange (en mesure infinie) pour le flot et pour des observables régulières à support compact.

Ce modèle se comporte de manière très différente selon que l'horizon soit fini ou infini. Alors que lorsque l'horizon est fini un développement de tout ordre a été établi dans un travail précédent en collaboration avec Dmitry Dolgopyat et Péter Nandori, obtenir simplement le terme dominant dans le cas où l'horizon est infini est une question extrêmement difficile en raison du fait que le temps avant la prochaine collision n'est pas intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue préservant le flot (le temps entre 2 collisions n'est pas de carré intégrable par rapport à la mesure invariante pour la transformation). L'objet de cet exposé est d'expliquer la preuve du résultat de mélange en horizon infini. La preuve de ce résultat, établi en collaboration avec Dalia Terhesiu, repose sur des estimées précises dans des théorèmes limites probabilistes et sur un critère de tension inédit et se fait en deux étapes. La première étape consiste à étudier le cas d'observables à support compact pour le flot spécial (c'est-à-dire dont le support est constitué de configurations qui sont à un temps borné du temps de réflexion le plus proche). La seconde étape consiste à étendre le résultat à des observables à support compact dans l'espace des configurations (un tel compact peut contenir des configurations dont la trajectoire ne rencontrera jamais d'obstacle).

Pour la première étape, nous montrons et utilisons un théorème limite local mélangeant (MLLT) pour l'application collision et pour le couple (numéro de cellule, temps de collision), nous utilisons de plus un résultat subtil de grande déviation locale (LLD) obtenu dans un travail précédent en collaboration avec Ian Melbourne et Dalia Terhesiu. Pour la deuxième étape, nous prouvons et utilisons un argument inédit de type “tension” (dont la preuve est délicate et utilise notamment des termes d'erreur précis dans les MLLT, LLD, mais aussi une estimation de grande déviations pour le nombre de collisions, etc.)

Travail en commun avec S. Cantat and Y. Moreno. Étant donné un entier N, on étudie la suite de Fibonacci F_k mod N. Quand les valeurs successives de exp(2i\pi F_k/N) sont reliées par un segment sur le disque unité, M. Launay a remarqué une forme de Farfalle (papillon) apparaissait clairement pour certains choix de modulo N. C'est fortement relié à l'étude des points périodiques de l'anosov du tore T^2. Nous montrerons pourquoi cette forme apparaît pour certains N, et ce que la théorie ergodique et les sommes exponentielles peuvent nous dire sur cette construction pour un N plus typique.

Let M be a hyperbolic surface. Then the Poincaré series is defined by

P(s) = sum exp(- sd(o,g(o)))

where one sums over the elements of associated Fuchsian group G and o is some point in the hyperbolic plane. This object is of interest as the behaviour at its critical parameter provides dynamical data and its knowledge shows a good understanding of the underlying geometry.

So assume that M is convex-cocompact. Then it is known that P(s) ≍ 1/(s - d(G)), where d(G) is the critical exponent of P and G. However, if N is a normal subgroup of G such that G/N is a word hyperbolic, then the situation is different. We have d(G) > d(N) and the Poincaré series with respect to N is finite at d(N). Moreover,

P'(s) ≍  (1/ s  − d(N))^(1/2).  

The proof of this result relies on concepts from different areas, like amenability, visual boundaries of hyperbolic groups, Martin boundaries, local limit theorems and a very simple ODE. It is also worth noting that the result also holds in the CAT(-1)-setting and that the asymptotics of the higher derivatives also are known.

A part of these results are contained in S. Bispo, M. Stadlbauer: The Martin boundary of an extension by a hyperbolic group. Israel J. Math. 2023

Nous montrons que toute observable Hölder satisfait le Théorème Central Limite (CLT) pour la mesure d'entropie maximale de toute application de Hénon complexe. La preuve est basée sur un critère général pour assurer la validité du CLT, valable pour des systèmes dynamiques mesurables abstraits. Travail en commun avec Tien-Cuong Dinh.

Soit G/H un espace homogène réductif avec G non compact, par exemple SL(n,R)/SL(m,R) pour n>m>1, la sphère complexe SO(n+1,C)/SO(n,C) ou l’espace hyperbolique pseudo-riemannien SO(p,q+1)/O(p,q). Admet-il des actions propres et cocompactes de sous-groupes discrets de G ? Si oui, l’ensemble de ces actions est-il stable par petites déformations ? J’expliquerai comment une propriété de propreté forte, qui fait le lien avec les représentations anosoviennes au sens de Labourie, permet d’apporter quelques réponses à ces questions. Travail en commun avec Nicolas Tholozan.

À l'aide d'une étude soignée des orbites diagonales dans l'espaces des réseaux de l'espace euclidien, nous répondrons à certaines questions de Schmidt d'approximation diophantienne intrinsèque dans les variétés grassmanniennes.

We prove that finite-dimensional topological flows without fixed points and having a countable number of periodic orbits, have the small flow boundary property. This enables us to answer positively a question of Bowen and Walters from 1972: Any expansive topological flow has a strongly isomorphic symbolic flow extension, i.e. an extension by a suspension flow over a subshift. Previously Burguet had shown this is true if the flow is assumed to be $C^2$-smooth. Joint work with Ruxi Shi.

We introduce a notion of a point-wise entropy of measures (ie local entropy) called neutralized local entropy, and compare it with the Brin-Katok local entropy and with the Ledrappier-Young local entropy on stable leaves. We show that the neutralized local entropy must coincide with the two other notions of local entropies, and so all three quantities are equal almost everywhere. Neutralized local entropy is computed by measuring open sets with a relatively simple geometric description. Our proof uses a measure density lemma for Bowen balls.

Pour un sous-groupe discret de SL(n,\R) (ou plus généralement d'un groupe de Lie semi-simple) nous discuterons des notions de conicalité pour un point de son ensemble limite. Lorsque le sous-groupe est d'Anosov, la masse totale de ces points coniques pour des mesures type Patterson-Sullivan est reliée à l'ergodicité d'un système dynamique conjugué à un produit tordu au dessus d'un flot d'Anosov. Ces points coniques permettent d'étudier les points de non-différentiabilité de certains ensembles limites stablement Lipschitz. C'est un travail en collaboration avec B. Pozzetti.

Une mesure de probabilité \mu sur le groupe général linéaire GL_d(R) induit une marche aléatoire (non commutative) sur ce groupe et une chaîne de Markov sur l'espace projectif de R^d. Les mesures stationnaires associées à cette chaîne de Markov retiennent des informations essentielles sur les propriétés asymptotiques de la marche aléatoire et du semigroupe engendré par le support de \mu. Les travaux fondamentaux de Furstenberg, Kifer, Guivarc'h, Raugi, Hennion, etc. ont donné une description de ces mesures stationnaires, surtout quand la mesure de probabilité \mu est irréductible. Des questions naturelles restent cependant à être étudiées, notamment dans le cas réductible. Dans cette série de travaux, nous donnons une description des mesures stationnaires, généralisant ceux de Furstenberg–Kifer et Hennion des années 80 et ceux des travaux plus récents de Aoun–Guivarc'h et Benoist–Bruère. Après un panorama des aspects connus de cette théorie, nous donnons nos résultats, techniques et conséquences. Travail joint avec Cagri Sert.

Considérons une marche aléatoire sur le groupe fondamental d'une surface hyperbolique. Dans le revêtement universel, cette marche part linéairement vers l'infini, avec une vitesse appelée vitesse de fuite. Si on varie la métrique hyperbolique sur la surface (mais en conservant la même marche aléatoire), la vitesse de fuite change. J'expliquerai pourquoi la vitesse de fuite tend vers l'infini avec la métrique. On aura pour cela besoin de considérer des énoncés généraux de continuité de la vitesse de fuite, et des actions sur des arbres qui apparaissent comme limites à l'infini de représentations dans l'espace hyperbolique.

Une mesure d'équilibre est une mesure maximisant une certaine quantité dépendant de l'entropie et d'un potentiel. Nous donnons deux conditions pour qu'à un potentiel Hölder donné soit associée une unique mesure d'équilibre pour l'application de collisions. Pour construire ces mesures, nous utilisons des vecteurs propres maximaux associés à des opérateurs de transfert agissant sur un espace de Banach anisotrope. La forme particulière de ces mesures permet notamment de montrer qu'elles sont de support total et Bernoulli. Avec V. Baladi et M. Demers, sur la base des conditions introduites précédemment, nous obtenons l'existence, l'unicité et la bernoullicité de la mesure d'entropie maximale pour le flot billard, en supposant seulement l'horizon fini et une condition faible (que nous croyons également générique).

Les échelles sont une proposition de généralisation d'une partie de la théorie de la dimension qui permet d'obtenir des invariants bi-Lipschitz sur des espaces métriques éventuellement de dimension infinie. La comparaison des différentes versions des échelles permet des applications à l'étude l'emergence des décompositions ergodiques, à l'estimation des petites boules de la mesure de Wiener et à la description de la taille d'espaces de fonctions de régularité finie.

La dynamique topologique des feuilletages est bien comprise. Il y a des concepts analogues à ceux d'orbites périodiques, d'ensemble limite, de récurrence et même d'entropie topologique, qui a été définie par Ghys, Langevin et Walczak. Cette entropie mesure la séparation transverse des feuilles d'un feuilletage. En revanche, la théorie ergodique des feuilletages est encore relativement peu développée. En particulier il n'y a pas encore de version satisfaisante d'entropie de mesure de feuilletages, et il semble difficile d'imaginer un moyen de détecter la séparation des feuilles d'un feuilletage en utilisant des mesures (qu'elles soient harmoniques, ou invariantes par certaines dynamiques tangentielles). Par exemple est-il possible d'obtenir un principe variationnel dans ce contexte? Dans cet exposé, je vais parler d'une approche que nous mettons au point avec Jiagang Yang de la UFF (Niteroi) pour attaquer ce problème.