Une mesure d'équilibre est une mesure maximisant une certaine quantité dépendant de l'entropie et d'un potentiel. Nous donnons deux conditions pour qu'à un potentiel Hölder donné soit associée une unique mesure d'équilibre pour l'application de collisions. Pour construire ces mesures, nous utilisons des vecteurs propres maximaux associés à des opérateurs de transfert agissant sur un espace de Banach anisotrope. La forme particulière de ces mesures permet notamment de montrer qu'elles sont de support total et Bernoulli. Avec V. Baladi et M. Demers, sur la base des conditions introduites précédemment, nous obtenons l'existence, l'unicité et la bernoullicité de la mesure d'entropie maximale pour le flot billard, en supposant seulement l'horizon fini et une condition faible (que nous croyons également générique).

Les échelles sont une proposition de généralisation d'une partie de la théorie de la dimension qui permet d'obtenir des invariants bi-Lipschitz sur des espaces métriques éventuellement de dimension infinie. La comparaison des différentes versions des échelles permet des applications à l'étude l'emergence des décompositions ergodiques, à l'estimation des petites boules de la mesure de Wiener et à la description de la taille d'espaces de fonctions de régularité finie.

La dynamique topologique des feuilletages est bien comprise. Il y a des concepts analogues à ceux d'orbites périodiques, d'ensemble limite, de récurrence et même d'entropie topologique, qui a été définie par Ghys, Langevin et Walczak. Cette entropie mesure la séparation transverse des feuilles d'un feuilletage. En revanche, la théorie ergodique des feuilletages est encore relativement peu développée. En particulier il n'y a pas encore de version satisfaisante d'entropie de mesure de feuilletages, et il semble difficile d'imaginer un moyen de détecter la séparation des feuilles d'un feuilletage en utilisant des mesures (qu'elles soient harmoniques, ou invariantes par certaines dynamiques tangentielles). Par exemple est-il possible d'obtenir un principe variationnel dans ce contexte? Dans cet exposé, je vais parler d'une approche que nous mettons au point avec Jiagang Yang de la UFF (Niteroi) pour attaquer ce problème.