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Tuesday at 14:00, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209


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Probability Seminar
Tuesday April 23, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Hubert Lacoin (IMPA) Équivalence entre désordre fort et désordre très fort pour les polymères dirigés en milieu aléatoire

Le polymères dirigés en milieu aléatoire est un modèle de mécanique statistique, originellement introduit comme un modèle “jouet” pour décrire le comportement des interfaces du modèle d'Ising bidimensionnel avec constante de couplage aléatoire. Le modèle a été rapidement généralisé en dimension supérieure. Dans ce cas, il peut correspondre à une modélisation d'un polymère étiré dans une solution inhomogène. Ce modèle a depuis engendré une littérature abondante en physique théorique et en mathématique. Une question centrale dans l'étude du modéle est celle de la transition de localisation. Cette transition peut-être identifiée par l'étude du comportement asymptotique de la fonction de partition du modèle. Si la fonction de partition converge vers une variable aléatoire strictement positive, on dit que le désordre est faible alors que si elle converge vers 0 presque sûrement, on dit que le désordre est fort. Il a été montré que le désordre faible implique que la distribution des trajectoires du polymère converge vers celle d'un Brownien standard, alors que dans la phase de désordre fort, des résultats de localisation des trajectoires ont été montrés. Les résultats de localisation les plus significatifs ont été obtenus sous l'hypothèse plus forte que la fonction de partition converge exponentiellement vers zéro un régime désigné sour le nom de désordre “très fort”. Il a été conjecturé que, au moins dans un sens faible, désordre fort et très fort sont équivalents. Dans cet exposé nous présenterons certains éléments d'une preuve de cette conjecture. (issu d'une collaboration avec Stefan Junk)

Probability Seminar
Tuesday May 28, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Christophe Garban (Lyon) Annonce à suivre

Probability Seminar
Tuesday June 11, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Charles Bordenave (CNRS, Université Aix-Marseille) A suivre

Probability Seminar
Tuesday June 25, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Mikhail Basok (Université d'Helsinki) To be announced.



Year 2024

Probability Seminar
Tuesday April 2, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benoit Corsini (Eurandom) Modèles aléatoires d'arbres binaires de recherche

Lors de ce séminaire je vais présenter différents modèles d'arbres binaires de recherche, un objet couramment utilisé en informatique pour étudier l'organisation optimale de données. Je vais commencer par définir plusieurs modèles d'arbres binaires de recherche, basés sur différents modèles de permutations (permutations uniformes, de Mallows et biaisées de record). Après ça, je vais expliquer quelques propriétés intéressantes de ces arbres, notamment comment ils peuvent être construits récursivement. Finalement, je vais conclure cette présentation en donnant des résultats concernant la hauteur de ces arbres et expliquer comment ces résultats peuvent être extraits des constructions précédemment introduites.

Probability Seminar
Tuesday March 26, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Christophe Profeta (Evry) Sur le déplacement maximal de certains processus de Lévy branchants

On considère un processus de branchement markovien dans lequel les particules évoluent indépendamment comme des processus de Lévy spectralement négatifs. L'objectif de cet exposé est d'étudier la position maximale atteinte par une particule dans deux situations où le processus s'éteint p.s. On s'intéressera tout d'abord au cas où la loi de reproduction est critique ou sous-critique, puis ensuite au cas surcritique, mais en présence d'une barrière absorbante.

Probability Seminar
Tuesday March 12, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Charles Bertucci (Ecole polytechnique) Un nouveau regard sur la dynamique du spectre de grandes matrices aléatoires

La dynamique du spectre de grandes matrices aléatoires prend souvent la forme d'un système d'EDS en interactions singulières. Dans la limite champ moyen, on peut alors caractériser cette dynamique à l'aide d'une EDP non linéaire. Il se trouve que cette EDP peut-être étudiée avec la théorie des solutions de viscosités. Une fois que l'on a montré un principe de comparaison, comme d'habitude dans la théorie des solutions de viscosités, on aboutit à des résultats forts de stabilité. Je vais revisiter ett étendre certains résultats classiques à travers cette observation ainsi qu'ouvrir sur le problème des grandes déviations de tels systèmes. Cet exposé sera basé sur plusieurs travaux, dont l'union des co-auteurs est M Debbah, JM Lasry, PL Lions et PE Souganidis (et moi même…).

Probability Seminar
Tuesday February 27, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Jérémie Bouttier (IMJ-PRG) On the O(n) loop model on random maps

Maps are discrete surfaces obtained by gluing polygons, and form a natural model of random geometry. Of particular interest is the study of their large-scale properties, which has been an active field of research for more than 25 years. A major open question is the geometry of maps which are “decorated” by a statistical physics model at a critical point. I will present some results about a specific instance of such model, namely the O(n) loop model on random maps. Based on past and ongoing collaborations with G. Borot, E. Guitter, B. Duplantier, G. Miermont and J. Turunen.

Probability Seminar
Tuesday February 6, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Hao Wu (Tsinghua) Multiple SLEs and Dyson Brownian motion

Multiple SLEs come naturally as the scaling limit of multiple interfaces in 2-dimensional statistical physics models. Dyson Brownian motion usually describes the movement of trajectory of independent Brownian motions under mutual repulsion. In this talk, we will describe the connection between multiple SLEs and Dyson Brownian motion. The talk has two parts.

In the first part, we take critical FK-Ising model as an example and explain the emergence of multiple SLEs. We give the connection probabilities of multiple SLEs. Such probabilities are related to solutions to BPZ equations in conformal field theory.

In the second part, we explain the connection between multiple SLEs and Dyson Brownian motion. It turns out that, under proper time-parameterization, and conditioning on a rare event, the driving function of multiple SLEs becomes Dyson Brownian motion. Using such connection, we may translate estimates on Dyson Brownian motion to estimates on multiple SLEs.

Probability Seminar
Tuesday January 23, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Nicolas Curien (Université Paris-Saclay) Où les feuilles poussent-elles sur un arbre (aléatoire) ?

Luczak et Winkler ont montré qu'il était possible de créer une chaîne d'arbres binaires uniformes $(T_n : n \geq 0)$ où l'arbre $T_{n+1}$ est obtenu à partir de $T_n$ en accrochant “une feuille”. Nous montrons que l'endroit où il faut accrocher cette feuille n'est pas du tout uniforme sur $T_n$ mais supporté par un ensemble “fractal” de dimension $3(2 - \sqrt{3})$.

Travail en commun avec Alessandra Caraceni et Robin Stephenson.

Probability Seminar
Tuesday January 16, 2024, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Cristina Toninelli (Université Paris Dauphine) Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model: sharp threshold

The Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model (FA-2f) on Z^d is a paradigmatic interacting particle system with kinetic constraints (KCM) featuring cooperative and glassy dynamics. For FA-2f vacancies facilitate motion: a particle can be created/killed on a site only if at least 2 of its nearest neighbors are empty. We will present sharp results for the first time, τ, at which the origin is emptied for the stationary process when the density of empty sites (q) is small: in any dimension d ≥ 2 it holds τ\sim \exp( (dλ(d,2)+o(1)) / q^{1/(d−1)} ) w.h.p., with λ(d, 2) the threshold constant for the 2-neighbour bootstrap percolation on Z^d. This is the first sharp result for a critical KCM and settles various controversies accumulated in physics literature over the last four decades. We will explain the dominant relaxation mechanism leading to this result, give a flavour of the proof techniques, and discuss further results that can be obtained via our technique for more general KCM, including full universality results in two dimensions. [Joint work with I.Hartarsky and F.Martinelli]


Year 2023

Probability Seminar
Tuesday December 19, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Anna Ben-Hamou (LPSM, Sorbonne Université) Inférence statistique sur des arbres aléatoires récursifs à communautés

Dans cet exposé, on introduira un modèle d’arbre aléatoire récursif présentant une structure à deux « communautés », au sens où chaque nouveau noeud s’attache de façon préférentielle à un noeud du même type que lui, cette préférence étant mesurée par un paramètre q de [0,1]. De nombreuses questions d’ordre statistique peuvent être posées sur ce modèle: si l’on observe l’arbre aléatoire obtenu au bout d’un temps donné, en enlevant la donnée des types mais en gardant éventuellement la donnée des temps d’arrivée, peut-on estimer le paramètre q? Ou simplement distinguer deux valeurs différentes de ce paramètre? De façon plus ambitieuse, peut-on trouver une partition des noeuds qui soit corrélée de façon significative avec la « vraie » partition? Nous apporterons quelques éléments de réponse à ces questions. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vasiliki Velona (Université hébraïque de Jerusalem).

Probability Seminar
Tuesday December 12, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Piet Lammers (LPSM, Sorbonne Université) Planarity, percolation, and height functions

Fröhlich and Spencer proved the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in 1981, through a relation with delocalisation of height functions. My talk focuses on the phase transition for height functions. We mix ideas coming from height functions and planar percolation models in order to prove a coarse-graining inequality inspired by the renormalisation group picture. This allows us to make precise statements about the phase transition (e.g. sharpness) even without knowing exactly where this transition point lies. This talk is based on the recent preprint arXiv:2211.14365 (A dichotomy theory for height functions).

Probability Seminar
Tuesday November 28, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Barbara Dembin (CNRS) Sharpness surcritique pour la percolation de Voronoi

Soit d≥2. Considérons un processus ponctuel de Poisson η d'intensité 1 dans R^d. À chaque point x de η, associons une cellule formée par l'ensemble des points de R^d plus proches de x que de tout autre point de η. Chaque cellule est coloriée indépendamment en noir avec une probabilité p. On peut démontrer qu'il existe une valeur critique p_c de p au-dessus de laquelle il existe presque sûrement une composante connexe noire infinie. Nous démontrons que la phase sur-critique se comporte bien, dans le sens où pour tout p>p_c, il y a unicité locale des composantes connexes noires macroscopiques avec une très grande probabilité. Cela correspond au résultat clé de Grimmett & Marstrand pour la percolation de Bernoulli et constitue le point de départ pour les techniques de renormalisation utilisées dans l'étude des propriétés fines de la phase sur-critique. Travail en commun avec Franco Severo.

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Tuesday November 21, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thomas Budzinski (CNRS et ENS Lyon) Triangulations aléatoires de grand genre

Résumé : Les triangulations aléatoires sont des modèles naturels de surfaces discrètes aléatoires. Elles ont été très étudiées depuis une vingtaine d'année dans le cas planaire (i.e. homéomorphe à la sphère), et font apparaître des objets limites avec un comportement fractal. On s'intéressera au cas où les triangulations forment des surfaces de genre grand, i.e. qui tend vers l'infini de manière linéaire en le nombre de sommets. Dans ce régime, le comportement devient très différent du cas planaire, et rappelle celui des graphes aléatoires. Par exemple, on verra que les distances deviennent logarithmiques en la taille. Travaux en commun avec Baptiste Louf et Guillaume Chapuy.

Probability Seminar
Tuesday November 14, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Juhan Aru (EPFL) Trois anecdotes sur le champ libre gaussien

Je vais parler des 3 observations simples pour le champ libre gaussien reliées à sa caractérisation, à sa décomposition en excursions de signe et sa relation avec le modèle de spin O(N). Dans chaque cas j'explique d'abord un peu le contexte et après je présente l'observation.

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Tuesday October 17, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Roberto Imbuzeiro Oliveira (IMPA) Contact process over dynamical graphs

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Tuesday October 10, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Quentin Berger (LPSM, Sorbonne Université) Limites d’échelles de systèmes désordonnés

Je présenterai quelques résultats récents concernant les limites d’échelles de systèmes désordonnés et des conséquences que l’on peu en tirer. Je me concentrerai essentiellement sur le modèle de Poland-Scheraga, aussi connu sous le nom de modèle d'accrochage, qui est utilisé pour décrire le phénomène de dénaturation de l’ADN : la question est de savoir si (et comment) le désordre perturbe la transition de dénaturation. Je décrirai notamment les résultats obtenus dans le cadre d’une version généralisée (censée être plus réaliste) du modèle, en collaboration avec Alexandre Legrand.

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Tuesday October 3, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Guillaume Baverez (Université Humboldt de Berlin) Singular modules and null-vector equations in Liouville conformal field theory

In conformal field theory (CFT), the null-vector (or BPZ) equations are a set of PDEs satisfied by correlation functions (and conformal blocks) involving so-called “degenerate primary fields” (i.e. fields associated to degenerate representations of the Virasoro algebra). These equations are parametrised by a pair of positive integers (r,s) labelling the representation (“Kac table”), and by the topological type of the surface on which the CFT lives. The BPZ operator is a partial differential operator of order rs (the “level”) on the Teichmüller space of the surface, and it annihilates the conformal blocks if the corresponding representation is irreducible. In the probabilistic formulation of Liouville CFT, the BPZ equations have been shown to hold in some special cases (for correlation functions at level 2, on the sphere and to some extent in genus one), and they are key inputs in the proofs of certain exact formulae (e.g. the “DOZZ formula”). In this work, we generalise these results to all values of the parameters, and we make an explicit connection with the algebraic structure of the theory. Namely, we construct the degenerate modules for all (r,s) and show that they are irreducible. Then, we use a geometric characterisation of conformal blocks to translate this local information into a PDE on Teichmüller space. The talk will focus on the probabilistic aspects of this work: I will explain how to construct the modules using elementary properties of the Gaussian free field and Gaussian multiplicative chaos. An interesting feature of this construction is a probabilistic interpretation of the Kac table. Ongoing work with Baojun Wu.

Probability Seminar
Tuesday June 20, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Peter Friz (TU and WIAS Berlin) Liouville geometry and rough paths

A Riemannian metric gives rise to the Laplace-Beltrami operator and which generators, as Markov process, a natural symmetric diffusions process known as Brownian motion. About 10 years ago, Garban-Rhodes-Vargas and (simultaneously) Berestycki introduced “Liouville Brownian motion”, based on a highly singular metric, obtained by multiplying the planar Euclidean metric by the exponential of the Gaussian free field. I will report on a project with Sebastian Andres (Manchester) and Yizheng Yuan (Cambridge) on the construction of Liouville Brownian rough paths.

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Tuesday May 30, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Zhan Shi (Chinese Academy of Sciences) Le système continuum de Derrida - Retaux

Le système continuum de Derrida - Retaux provient de certains modèles de renormalisation hiérarchiques en mécanique statistique ; c’est aussi un processus de croissance-fragmentation au sens de Bertoin. Je ferai quelques discussions élémentaires sur certaines propriétés asymptotiques du système. Travail en commun avec Bernard Derrida et Thomas Duquesne.

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Tuesday May 16, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Antoine Jégo (EPFL) Points épais du mouvement brownien branchant critique en dimension 4

L’objet principale de cet exposé est le mouvement brownien branchant, avec un mécanisme de branchement critique, dans la dimension critique d=4. Nous calculons la dimension fractale des points épais, i.e. des points où le temps local est anormalement élevé, et obtenons une représentation probabiliste pour certaines solutions négatives d’une EDP semilinéaire. Joint avec Nathanael Berestycki et Tom Hutchcroft.

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Tuesday May 9, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Omer Adelman (LPSM, Sorbonne Université) Rationalité et probabilité et, en particulier, le problème de la Belle au bois dormant

Le problème de la Belle au bois dormant est un des “paradoxes” probabilistes les plus intéressants et les moins consensuels.

Y avoir réfléchi à l'avance serait avantageux pour les personnes présentes. Si vous avez l'intention d'être là le mardi 9 mai, je vous conseille donc de vous renseigner assez tôt (à six heures du matin, par exemple) sur le problème de la Belle au bois dormant. Je vous conseille, en particulier, de vous familiariser avec les termes “demiste”, “tiériste” et “double demiste” et avec les principaux arguments de chaque camp.

Si, en plus, vous réfléchissez au problème et vous vous faites une opinion (en vous ralliant éventuellement à un des camps que la controverse oppose toujours), ce ne sera pas plus mal.

Une telle préparation de votre part devrait nous permettre de clore la séance avant minuit.

Le problème du la Belle au bois dormant a donné du fil à retordre à pas mal de monde. Si les choses se déroulent comme je le prévois, alors les fils auront été détordus à la fin de mon exposé.

Merci pour votre attention, Omer Adelman

Probability Seminar
Tuesday April 18, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Christophe Sabot (Institut Camille Jordan, Univ. Lyon 1) Matsumoto-Yor properties related to the Vertex Reinforced Jump process

In this talk we will present some relations between classical computations on exponential functionals of the Brownian motion and some representation of the Vertex Reinforced Jump Process (VRJP). In particular we will show how the Lamperti transformation, the Markov property of the Matsumoto-Yor process have natural generalizations to the multidimensionnal setting involving the representation of the VRJP by a random Schrödinger operator. Besides, a discrete version of the Matsumoto-Yor porperties appears also, in a rather different way, in terms of some natural functionals associated with the one-dimensional VRJP.

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Tuesday April 11, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre-François Rodriguez (Imperial College London) Percolation and the phase transition for the vacant set of random walk

We will consider the set of points visited by the random walk on the discrete d-dimensional torus of side length N, for d ≥ 3, at times of order uNd, for a parameter u > 0 and in the large-N limit. Its complement (the vacant set of the walk) is believed to undergo an abrupt percolation phase transition across a non-degenerate critical value u∗ = u∗(d), in the following sense: for all u < u∗, the vacant set contains a giant connected component with high probability, which has a non-vanishing asymptotic density. In stark contrast, for all u > u∗ the vacant set scatters into tiny connected components. I will survey existing results regarding the above conjecture, both for this model and the related vacant set of random interlacements, introduced by Sznitman in Ann. Math., 171 (2010), 2039–2087, which corresponds to its Gibbsian limit. The discussion will lead up to recent progress regarding the long purported equality of various critical parameters naturally associated to this phase transition.

Probability Seminar
Tuesday April 4, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Sylvia Serfaty (LJLL (Sorbonne Université) et NYU Courant) Transition dipolaire dans le plasma à deux composantes

On étudie le gaz de Coulomb ou plasma à deux composantes, où N charges positives et N charges négatives interagissent logarithmiquement dans le plan. On obtient un développement de l'énergie libre et des principes de grande déviations qui montrent une transition d'un système de charges libres à un système de dipôles appariés. Travaux en collaboration avec Jeanne Boursier, Thomas Leblé, Ofer Zeitouni.

Probability Seminar
Tuesday March 28, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Armand Riera (LPSM, Sorbonne Université) Théorie des excursions pour les processus de Markov indexés par des arbres de Lévy

Les processus de Markov indexés par des arbres de Lévy sont des éléments fondamentaux de la théorie des probabilités. Ils sont liés à la théorie des super-processus et jouent un rôle crucial dans plusieurs théorèmes limites. Plus récemment, le mouvement brownien indexé par l'arbre brownien a été utilisé comme bloc élémentaire pour construire les différents modèles de surfaces browniennes. Dans cette présentation, nous allons expliquer comment construire une théorie des excursions avec temps local pour ces processus, ainsi que discuter plusieurs applications éventuelles. Cette présentation sera complètement auto-contenue et ne nécessitera aucune connaissance préalable. Les résultats présentés ont été obtenus dans le cadre d'un travail en collaboration avec Alejandro Rosales-Ortiz.

Probability Seminar
Tuesday March 21, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Delphin Sénizergues (Université Paris-Nanterre) La taille du plus grand sous-arbre commun entre deux arbres binaires à feuilles étiquetées

On considère des arbres binaires à n feuilles, numérotées de 1 à n. Pour t_n et t_n' deux tels arbres, on s'intéresse à la taille du plus grand sous-ensemble S de {1,2,…,n} tel que le sous-arbre engendré par les feuilles étiquetées par S dans t_n soit le même que dans t_n'. Je présenterai des résultats qui traitent de cette quantité dans différents contextes quand n tend vers l'infini. En particulier, dans le cas où les arbres t_n et t_n' sont tirés uniformément au hasard et de façon indépendante, nous montrons dans un travail en cours avec Thomas Budzinski que la taille du sous-arbre commun maximal est typiquement O(n^{1/2-\epsilon}), pour un certain \epsilon>0, ce qui améliore la meilleure borne connue en O(n^{1/2}), obtenue par un argument de premier moment.

Probability Seminar
Tuesday March 14, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thierry Bodineau (CNRS et IHES) Fluctuations et grandes déviations pour un gaz de sphères dures

La dynamique d'un gaz peut être modélisée par un billiard composé d'une multitude de sphères dures évoluant selon les lois de la mécanique classique. Initialement, les sphères sont distribuées au hasard selon une mesure de probabilité qui est ensuite transportée par le flot déterministe de la dynamique. Depuis les travaux de Lanford, on sait que la densité du gaz converge dans la limite cinétique vers l'équation de Boltzmann (au moins pour un temps court). Dans un premier temps, nous commencerons par rappeler cette convergence et l'émergence de l'irréversibilité dans la limite cinétique. Même si l'équation de Boltzmann est une bonne description du comportement typique du gaz de sphères dures, le système de particules reste distribué aléatoirement. La deuxième partie de cet exposé sera consacrée à la description des fluctuations de la densité autour de l'équation de Boltzmann et aux grandes déviations.

Probability Seminar
Tuesday February 14, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Colin Guillarmou (LMO, Universite Paris-Saclay et CNRS) Quelques développements de la théorie des champs de Liouville en dimension 2

J’expliquerai comment des outils probabilistes combinés avec de l’analyse et la théorie des espaces de modules permet de bien comprendre la théorie conforme des champs en dimension 2 sur un modèle emblématique, la théorie de Liouville, qui est une théorie des surfaces Riemanniennes aléatoires. Il s’agit de travaux en commun avec Baverez, Kupiainen, Rhodes, Vargas.

Probability Seminar
Tuesday January 24, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Anne-Laure Basdevant (LPSM, Sorbonne Université) Coloriage poissonien du plan

Dans cet exposé, nous considérerons un modèle où des points tombent successivement au hasard sur une région du plan et prennent alors la couleur du point déjà présent le plus proche de lui. Nous donnerons quelques propriétés topologiques du coloriage limite et nous regarderons en particulier la dimension de Hausdorff de la frontière des clusters de chaque couleur.

Travail en cours avec G. Blanc, N. Curien et A. Singh

Probability Seminar
Tuesday January 17, 2023, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Antoine Dahlqvist (University of Sussex) The planar master field and its projections

I shall consider in this talk random matrix models which are particular instances of the so-called Yang-Mills measure on surfaces. We shall start with a model of 2 random unitary matrices, of size N, whose joint law depend on a temperature parameter T. When the temperature goes to infinity, the pair of matrices converge in law toward two independent Haar distributed random matrices. When the temperature goes to zero, the joint law converge to two commuting random matrices, whose eigenvalues behave asymptotically in N, as independent uniform random variables on the circle. In this talk, we focus on large N asymptotics of the joint law of the two matrices, by considering their joint non-commutative distribution. We shall see that it leads to an interpolation between Voiculescu's free convolution and the classical convolution of two Haar measures on the circle. This interpolation is closely related to the notion of free unitary Brownian motion, but differs form a previous interpolation introduced by F. Benaych-George and T. Lévy. We shall conclude with a conjecture generalising this result to 2g matrices and to the Yang-Mills measure on compact surfaces of non-negative Euler characteristic.

This is part of an ongoing work and of 2 joint papers with T. Lemoine (Lille).


Year 2022

Probability Seminar
Tuesday December 13, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Laurent Massoulié (Inria Paris et DI ENS) Alignment of random graphs: informational and computational limits

Graph alignment is a generic unsupervised machine learning objective with many applications, including de-anonymization of social network data. In this talk we shall consider alignment of correlated Erdös-Rényi random graphs. We shall describe recent results on information-theoretic limits to feasibility of alignment. We shall also describe polynomial-time algorithms for such alignment and sufficient conditions under which they succeed. These latter results are obtained by analysing a hypothesis testing problem of determining whether two Galton-Watson random trees are correlated or independent. The discrepancy between the informational and computational feasibility conditions for graph alignment suggests that the alignment problem displays a so-called “hard phase”, an intriguing phenomenon that has been observed in several other high-dimensional statistical learning tasks.

Probability Seminar
Tuesday December 6, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Amandine Véber (MAP5, Université Paris Cité; CMAP, Ecole Polytechnique; CNRS) Propriétés de croissance du processus Lambda-Fleming-Viot à “infinité de parents”

Le processus Lambda-Fleming-Viot à “infinité de parents” est un modèle d'expansion de population en espace continu, en 2 dimensions, dans lequel les régions non colonisées sont considérées comme étant remplies d'individus de type “inexistant” (ou fantôme…). Ce modèle peut être vu comme une version en espace continu du modèle de croissance d'Eden et il est doté d'un processus dual qui permet de retracer l'origine “généalogique” d'un échantillon d'individus pris dans la population actuelle. Dans cet exposé, on s'intéressera aux propriétés de croissance de la région occupée par des individus “réels”. A l'aide d'un modèle auxiliaire très simple, on discutera également de la manière dont les fluctuations au front rendent la vitesse d'expansion plus rapide que celle prédite par des estimées de premier moment. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Apolline Louvet (Université de Bath).

Probability Seminar
Tuesday November 29, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Thierry Lévy (LPSM, Sorbonne Université) De quoi le déterminant du laplacien est-il le nombre ?

Sur un graphe connexe fini, le produit des valeurs propres non nulles du laplacien compte les arbres couvrants enracinés, d'après un théorème souvent attribué à Kirchhoff (1847), ou parfois à Sylvester (1857). Parmi de nombreuses généralisations de ce résultat classique, celles de Zaslavsky (1982), Forman (1993) et Kenyon (2011) affirment que lorsqu'on tord le laplacien en mettant sur chaque arête un signe ou une phase, complexe ou quaternionique, son déterminant compte les forêts couvrantes d'unicycles.  Avec Adrien Kassel, nous cherchons depuis plusieurs années à étendre ces généralisations au laplacien covariant associé à une connexion unitaire quelconque, c'est-à-dire au laplacien tordu par une matrice unitaire sur chaque arête. J'expliquerai ce que nous espér(i)ons trouver, que nous n'avons (toujours) pas trouvé, et ce que nous avons trouvé à la place. Je présenterai plusieurs objets aléatoires associés au laplacien covariant, en particulier le champ libre gaussien vectoriel, et plusieurs processus déterminantaux. Je décrirai une généralisation de la notion classique de processus ponctuel déterminantal que nous avons proposée pour donner une formule, intégrale, pour le déterminant du laplacien covariant.

Probability Seminar
Tuesday November 22, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Benoît Laslier (LPSM, Université de Paris) Est ce qu'un morceau de configuration de dimères détermine son domaine de définition ?

Un modèle critique est, presque par définition, censé concilier une décroissance lente des corrélations entre observables microscopiques avec des propriétés de mélange pour des observables macroscopiques. Une formalisation relativement forte de cette notion de mélange est de dire que changer les conditions au bord du modèle ne peux pas avoir un effet singulier (au sens de la théorie de la mesure) sur le modèle loin du bord. Je présenterais une preuve de ce résultat pour l'arbre couvrant uniforme et le modèle de dimères avec condition au bord de Temperley.

Probability Seminar
Tuesday November 15, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Yilin Wang (IHES) Large deviations of multichordal SLE0+, real rational functions, and zeta-regularized determinants of Laplacians

We study the large deviations as k goes to 0 of n-chordal SLE_k, a set of n simple random curves connecting 2n boundary points of a simply connected domain, modeling the interfaces in 2D critical statistical mechanics models with alternating boundary conditions. The large deviation rate function is described using the Loewner potential that we introduced, which depends on the boundary data and the curves.

We show that the potential minimizers for a given boundary data are the real locus of rational functions. This connection provides a new proof of the Shapiro conjecture on the classification of rational functions with real critical points, first proved by Eremenko and Gabrielov. Moreover, the potential can be expressed in terms of determinants of Laplacians, and the minimal potential satisfies the semiclassical limit of PDEs arising from the Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equations in conformal field theory. This is joint work with Eveliina Peltola (Bonn, Aalto).

Probability Seminar
Tuesday November 8, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Djalil Chafaï (DMA, ENS et CEREMADE, Dauphine) Universal cutoff for Dyson Ornstein Uhlenbeck process

We study the Dyson-Ornstein-Uhlenbeck diffusion process, an evolving gas of interacting particles. Its invariant law is the beta Hermite ensemble of random matrix theory, a non-product log-concave distribution. We explore the convergence to equilibrium of this process for various distances or divergences, including total variation, relative entropy, and transportation cost. When the number of particles is sent to infinity, we show that a cutoff phenomenon occurs: the distance to equilibrium vanishes abruptly at a critical time. A remarkable feature is that this critical time is independent of the parameter beta that controls the strength of the interaction, in particular the result is identical in the non-interacting case, which is nothing but the Ornstein-Uhlenbeck process. We also provide a complete analysis of the non-interacting case that reveals some new phenomena. Our work relies among other ingredients on convexity and functional inequalities, exact solvability, exact Gaussian formulas, coupling arguments, stochastic calculus, variational formulas and contraction properties. This work leads, beyond the specific process that we study, to questions on the high-dimensional analysis of heat kernels of curved diffusions.

Probability Seminar
Tuesday October 18, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Philippe Biane (Université Paris-Est) Processus d'exclusion simple quantique et cumulants libres

Je montrerai comment les fluctuations du processus d'exclusion simple quantique (une version quantique du fameux processus d'exclusion, qui a été introduite récemment dans la littérature physique) peuvent être décrite au moyen de cumulants libres, des quantités qui apparaissent dans un tout autre domaine: les probabilités libres et les matrices aléatoires.

Probability Seminar
Tuesday October 11, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre Tarrès (CNRS, LPSM) La marche *-renforcée, statistique bayésienne et physique statistique

Nous introduisons une généralisation non réversible récente de la marche linéairement renforcée par arêtes, et sa motivation en statistique bayésienne des chaînes de Markov d'ordre variable. Ce processus est partiellement échangeable au sens de Diaconis et Freedman (1982), et sa mesure de mélange peut être calculée explicitement. Il peut être associé à un processus continu appelé le *-processus renforcé par sommets, qui lui-même n'est pas échangeable en général. Nous discuterons de quelques propriétés de ce processus.

Travail en collaboration avec S. Bacallado et C. Sabot.

Probability Seminar
Tuesday January 11, 2022, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Igor Kortchemski (CNRS, CMAP, Ecole Polytechnique) To be announced.


Year 2021

Probability Seminar
Tuesday December 14, 2021, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Eva Löcherbach (SAMM, U. Paris 1 Panthéon Sorbonne) To be announced.

Probability Seminar
Tuesday December 7, 2021, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Adrien Kassel (CNRS UMPA, ENS Lyon) To be announced.

Probability Seminar
Tuesday November 30, 2021, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Béatrice De Tilière (Ceremade, U. Dauphine) To be announced.

Probability Seminar
Tuesday November 23, 2021, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Wei Qian (CNRS, Laboratoire Mathématique d'Orsay, U. Paris-Saclay) To be announced.

Probability Seminar
Tuesday November 16, 2021, 2PM, Jussieu, Salle Paul Lévy, 16-26 209
Pierre Monmarche (LJLL et LCT, Sorbonne Université) Quelques applications d'algorithmes stochastiques en dynamique moléculaire

Dans cet exposé, je présenterai différentes collaborations menées ces dernières années avec des chimistes et physiciens de Jussieu (LCT, PHENIX…) pour la simulation moléculaire. Le but est d'avoir un aperçu du type de difficultés qu'ils rencontrent et de voir ce que l'interaction avec des probabilistes et statisticiens peut apporter aux uns et aux autres.

[*] https://arxiv.org/abs/2004.13353