Il s'agit de l'UE UM4MA311 du Master 1 de mathématiques, pour l'année universitaire 2025-2026.
Le cours d'amphi aura lieu :
L'emploi du temps détaillé du cours, dans sa version du 31 août, est disponible ici. J'enlèverai ce lien dans quelques jours, et vous pourrez toujours trouver l'emploi du temps détaillé, mis à jour le cas échéant, à cet endroit, sur le site des inscriptions pédagogiques.
Il y a quatre groupes de travaux dirigés, qui seront assurés par
Le partiel aura lieu mercredi 5 novembre en lieu et place du cours, de 10h45 à 12h45 dans l'amphi 44. Le partiel portera sur les chapitres 1 à 8 inclus des notes de cours (celles-ci), c'est-à-dire sur toute la partie consacrée à l'espérance conditionnelle, et sur la partie de l'étude des martingales consacrée aux théorèmes d'arrêt.
Le partiel consistera en quatre exercices, sur lesquels voici quelques informations. Le barème est indicatif.
Exercice 1 (6 points) : il vous sera demandé de démontrer deux des huit énoncés suivants. Les deux énoncés seront imposés par le sujet, et seront explicitement rappelés (il n’est donc pas nécessaire de connaître leur numérotation, qui est celle des notes du cours, toujours celles-ci).
Exercice 2 (12 points) : calculs d’espérance conditionnelle.
Exercice 3 (12 points) : un exercice sur les martingales.
Exercice 4 (10 points) : un exercice sur les martingales.
Le total est de 40 points, mais la note finale sera sur 30. La manière de passer d’une note sur 40 à une note sur 30 dépendra de la distribution des notes. Il n'est pas exclu que la note $P$ sur 30 soit obtenue à partir de la note $Q$ sur quarante par la formule $P=\min(30,Q)$.
Un cours de remplacement aura lieu le jeudi 6 novembre de 18h15 à 20h15 dans l'amphi 43.
Le cours, qui était auparavant un cours de 12 ECTS, devient cette année un cours de 9 ECTS. Le contenu du cours sera allégé en conséquence : l'étude de la convergence dans $L^p$ des martingales pour $p>1$, de l'uniforme intégrabilité, et de la convergence dans $L^1$ des martingales, ne sera plus traitée. Cette partie de la théorie des martingales sera traitée au second semestre dans le cours Martingales et contrôle stochastique (UM4MA280).
Dans son ancienne version, à 12 ECTS, le cours s'appuyait sur ces notes de cours et sur un fascicule d'exercices. Il y avait aussi ces autres notes de cours, écrites par moi, en anglais, qui contiennent quelques coquilles, mais sont plus proches de la manière dont j'explique les choses en cours. En ce qui concerne la permière partie du cours, sur l'espérance conditionnelle, ces deux documents sont encore parfaitement conformes au contenu du cours de cette année.
Les notes de cours sont désormais dans leur première version définitive, qui couvre tout ce qui a été et sera étudié en amphi.
Concernant les exercices, vous pouvez accéder ici aux feuilles de TD sans indications, ou avec indications.
Il y a de nombreux ouvrages qui traitent du contenu des trois principaux thèmes du cours, que sont l'espérance conditionnelle, les martingales à temps discret, et les chaînes de Markov à temps discret et à espace d'états dénombrable. Vous pouvez en particulier consulter ceux qui suivent.
Ce texte écrit par Sébastien Martineau contient des rappels et des explications sur quelques notions délicates des probabilités “élémentaires”.
Sur la théorie de la mesure et de l'intégration, vous pouvez également consulter
À titre indicatif, voici une liste des notions de théorie de la mesure et de probabilités que nous utiliserons dans ce cours sans les étudier à nouveau en détail. En cas d'inquiétude, cette liste peut vous aider à organiser les lectures ou révisions que vous pourrez faire en début de semestre.
Théorie abstraite de la mesure
Théorie des probabilités
Le cours sera évalué par deux interrogations, un partiel, et un examen.
Pour les étudiants inscrits en présence à ce cours, la note est calculée comme suit. On note ${\sf I}_1$ et ${\sf I}_2$ les notes d'interrogation, ${\sf P}$ la note de partiel et ${\sf E}$ la note d'examen. On pose ${\sf CC}={\sf I}_1+{\sf I}_2+{\sf P}$. La note finale est ${\sf N}=\max({\sf CC}+{\sf E},2{\sf E})$.
Pour les étudiants inscrits à distance à ce cours, la note est ${\sf N}=2{\sf E}$.
Les étudiants inscrits à distance peuvent participer au partiel, à titre d'entraînement. S'ils le font, leur copie sera notée, mais cette note ne sera pas prise en compte.
Voici un sujet de devoir à la maison, qui se trouve également sur moodle. Les étudiant(e)s inscrit(e)s à distance qui le souhaitent peuvent déposer une une copie sur moodle, avant le 12 octobre. Les autres peuvent réfléchir au sujet, et au besoin me poser des questions, mais je ne corrigerai pas de copies d'étudiant(e)s inscrit(e)s en présence.
Devoir à la maison 1 : le sujet. (Mis à jour avec une erreur corrigée le 27 septembre.)
L'avancement du cours sera détaillé ici au fur et à mesure du semestre.
03/09 – Présentation générale du cours.
Introduction.
Espaces de probabilités. Tribus. Mesures. Convergence monotone pour les mesures.
Variables aléatoires positives, espérance, convergence monotone, lemme de Fatou.
Variables aléatoires intégrables, espérance, convergence dominée.
Intersection de tribus. Tribu engendrée par une classe de parties. Tribu borélienne. Tribu engendrée par une partition finie.
04/09 – Tribu engendrée par une partition finie ou infinie.
Tribu engendrée par une variable aléatoire.
La tribu engendrée par une partition finie est engendrée par une variable aléatoire constante sur chaque bloc de la partition.
Chapitre 1. Espérance conditionnelle
Définition d'une espérance conditionnelle sachant une sous-tribu $\mathscr G$ d'une variable aléatoire positive $X$.
Cas où $X$ est $\mathscr G$-mesurable.
Cas où $X$ est indépendante de $\mathscr G$.
Cas où $\mathscr G$ est engendrée par une partition finie. (Nous reviendrons sur ce cas fondamental au prochain cours.)
10/09 – Cas où $\mathscr G$ est engendrée par une partition finie.
Unicité presque sûre de l'espérance conditionnelle.
11/09 – Existence de l'espérance conditionnelle.
Cas d'une sous-tribu engendrée par une variable aléatoire.
Si $Y$ est une variable aléatoire positive mesurable par rapport à $\sigma(Z)$, où $Z$ est une variable aléatoire quelconque,
alors il existe une fonction mesurable positive $h$ sur l'espace où $Z$ prend ses valeurs telle que $Y=h(Z)$.
Propriétés de l'espérance conditionnelle dans le cas positif.
17/09 – Démonstration des propriétés ${\mathbf E}\big[{\mathbf E}[X|\mathscr G]\big|\mathscr H\big]={\mathbf E}[X|\mathscr H]$ et, si $X$ est $\mathscr G$-mesurable, ${\mathbf E}[XY|\mathscr G]=X{\mathbf E}[Y|\mathscr G]$.
Énoncé sans démonstration de la proposition 3.4 : si $\mathscr H$ est indépendante de $\sigma(\sigma(X)\cup \mathscr G)$, alors ${\mathbf E}[X|\sigma(\mathscr G \cup \mathscr H)]={\mathbf E}[X|\mathscr G]$.
Définition de l'espérance conditionnelle pour les variables aléatoires intégrables.
Existence et unicité presque sûre dans le cas intégrable.
Propriétés de l'espérance conditionnelle dans le cas intégrable.
24/09 – Théorème de convergence dominée conditionnel.
Inégalité de Jensen conditionnelle.
Position du problème général du calcul d'espérances conditionnelles : déterminer une fonction $h$ telle que ${\mathbf E}[X|Z]=h(Z)$.
Unicité de la fonction $h$, presque sûre vis-à-vis de la loi de $Z$.
La fonction $h$ ne dépend que de la loi du couple $(X,Z)$.
Méthode générale de calcul de $h$ : la méthode de la fonction muette.
25/09 – Exemple d'application de la méthode de la fonction muette : le cas d'un vecteur $(X,Z)$ réel de dimension 2 dont la loi admet une densité strictement positive.
Calcul de l'espérance conditionnelle de $f(X,Y)$ sachant $\mathscr G$ lorsque $X$ est $\mathscr G$-mesurable et $Y$ indépendante de $\mathscr G$.
Caclul de l'espérance conditionnelle $\mathbf E[X|Z_1,\ldots,Z_n]$ lorsque $(X,Z_1,\ldots,Z_n)$ est un vecteur gaussien.
Chapitre 2. Martingales
Définition d'une filtration.
01/10 – Exemple de la filtration dyadique sur l'intervalle $[0,1[$.
Filtration naturelle d'une suite de variables aléatoires. Suite de variables aléatoires adaptée à une filtration. Exemple de la filtration dyadique.
Définition des martingales, sous-martingales, sur-martingales.
Multiplication par des scalaires, somme de (sous- / sur-)martingales.
Image convexe d'une martingale, image convexe croissante d'une sous-martingale.
Exemples : martingales fermées, marches aléatoires, martingales par rapport à la filtration dyadique.
08/10 – Temps d'arrêt.
Exemples de temps d'arrêt : temps constants, premier temps d'atteinte d'un borélien, premier temps d'atteinte d'un borélien après un temps d'arrêt.
Maximum, minimum, somme de deux temps d'arrêt.
Évaluation d'un processus à un temps d'arrêt.
Arrêt d'un processus à un temps d'arrêt.
Premier théorème d'arrêt : le processus arrêté d'une sous-martingale à un temps d'arrêt est une sous-martingale.
09/10 – Tribu des événéments antérieurs à un temps d'arrêt.
Si $S\leq T$, alors $\mathscr F_S\subseteq \mathscr F_T$. Tribu des événements antérieurs au minimum de deux temps d'arrêt.
Si $(X_n)_{n\geq 0}$ est un processus adapté, alors $X_T{\mathbf 1}_{\{T<\infty\}}$ est $\mathscr F_T$-mesurable.
Deuxième théorème d'arrêt : si $(X_n)_{n\geq 0}$ est une sous-martingale et si $S\leq T$ sont deux temps d'arrêt bornés, alors $\mathbb E[X_T|\mathscr F_S]\geq X_S$ p.s.
Problème de la ruine du joueur : probabilité de ruine.
Probabilité que la marche aléatoire simple symétrique sur $\mathbb Z$ atteigne $0$.
Convergence presque sûre mais pas en moyenne vers $0$ de cette marche arrêtée au premier temps où elle touche $0$.
15/10 – Énoncé du théorème de convergence presque sûre des sous-martingales bornées dans $L^1$.
Pour une sous-martingale, équivalence entre le fait d'être bornée dans $L^1$ et le fait d'avoir des parties positives bornées dans $L^1$.
Une sur-martingale positive converge presque sûrement.
Si $(X_n)_{n\geq 0}$ est une sur-martingale et si $S$ et $T$ sont des temps d'arrêt tels que $S\leq T$, alors $(X_{T\wedge n}-X_{S\wedge n})_{n\geq 0}$ est une sur-martingale.
Lemme des montées de Doob.
Caractérisation de la convergence d'une suite de réels vers un élément de $[-\infty,+\infty]$ par ses nombre de montées.
Démonstration du théorème de convergence presque sûre.
22/10 – Martingales de carré intégrable. Orthogonalité des incréments.
Une martingale bornée dans $L^2$ converge presque sûrement et dans $L^2$.
Processus prévisibles. Décomposition de Doob d'un processus intégrable adapté.
23/10 – Processus croissante d'une martingale de carré intégrable.
Chapitre 3. Chaînes de Markov
Espace d'état, noyau de transition.
Définition d'une chaîne de Markov sur un espace d'états $E$, de loi initiale $\mu$, de noyau de transition $P$.
Caractérisation par l'égalité $\mathbb P(X_0=x_0,\ldots,X_n=x_n)=\mu(x_0)P(x_0,x_1)\ldots P(x_{n-1},x_n)$.
Exemples de chaînes de Markov : suites i.i.d., marches aléatoires sur $\mathbb Z^d$, marches aléatoires sur des graphes.
06/11 – Une chaîne de Markov de noyau de transition $P$ vérifie $\mathbb P(X_{n+1}=y|X_n=x)=P(x,y)$ pour tous $n\geq 0$ et $x\in E$ tels que $\mathbb P(X_n=x)>0$, mais cette propriété ne suffit pas à caractériser une chaîne de Markov. Exemple.
Existence d'une chaîne de Markov sur un espace d'états arbitraire avec un noyau de transition arbitraire et un point de départ arbitraire.
Espace canonique, processus canonique, tribu cylindrique, filtration canonique.
Énoncé de l'existence et unicité d'une mesure sur l'espace canonique sous laquelle le processus canonique est une chaîne de Markov de noyau de transition et de point de départ donnés.
12/11 – Espace canonique, processus canonique, tribu et filtration canoniques.
Applications mesurables à valeurs dans l'espace canonique.
Existence et unicité d'une mesure sur l'espace canonique sous laquelle le processus canonique est une chaîne de Markov de noyau de transition et de point de départ donnés.
Chaîne de Markov canonique.
Propriété de Markov faible, propriété de Markov forte.
Application au cas d'un temps d'arrêt fini presque sûrement auquel la position de la chaîne est déterministe.
17/11 – États récurrents, états transients.
Espérance du nombre de passages en un état transient.
Fonction de Green.
Communication entre états.
Tout état auquel mène un état récurrent est un état récurrent, et partant de l'un on passe une infinité de fois en l'autre, presque sûrement.
Page mise à jour le 25 novembre 2025