Il s'agit de l'UE UM4MA311 du Master 1 de mathématiques, pour l'année universitaire 2025-2026.
Le cours d'amphi aura lieu :
L'emploi du temps détaillé du cours, dans sa version du 31 août, est disponible ici. J'enlèverai ce lien dans quelques jours, et vous pourrez toujours trouver l'emploi du temps détaillé, mis à jour le cas échéant, à cet endroit, sur le site des inscriptions pédagogiques.
Il y a quatre groupes de travaux dirigés, qui seront assurés par
Le cours, qui était auparavant un cours de 12 ECTS, devient cette année un cours de 9 ECTS. Le contenu du cours sera allégé en conséquence : l'étude de la convergence dans $L^p$ des martingales pour $p>1$, de l'uniforme intégrabilité, et de la convergence dans $L^1$ des martingales, ne sera plus traitée. Cette partie de la théorie des martingales sera traitée au second semestre dans le cours Martingales et contrôle stochastique (UM4MA280).
Dans son ancienne version, à 12 ECTS, le cours s'appuyait sur ces notes de cours et sur un fascicule d'exercices. Il y avait aussi ces autres notes de cours, écrites par moi, en anglais, qui contiennent quelques coquilles, mais sont plus proches de la manière dont j'explique les choses en cours. En ce qui concerne la permière partie du cours, sur l'espérance conditionnelle, ces deux documents sont encore parfaitement conformes au contenu du cours de cette année.
Voici la version actuelle des notes de cours que je suis en train d'écrire, et que je mettrai à jour au fur et à mesure du semestre.
Concernant les exercices, vous pouvez consulter ici la feuille de TD.
Il y a de nombreux ouvrages qui traitent du contenu des trois principaux thèmes du cours, que sont l'espérance conditionnelle, les martingales à temps discret, et les chaînes de Markov à temps discret et à espace d'états dénombrable. Vous pouvez en particulier consulter ceux qui suivent.
Ce texte écrit par Sébastien Martineau contient des rappels et des explications sur quelques notions délicates des probabilités “élémentaires”.
Sur la théorie de la mesure et de l'intégration, vous pouvez également consulter
À titre indicatif, voici une liste des notions de théorie de la mesure et de probabilités que nous utiliserons dans ce cours sans les étudier à nouveau en détail. En cas d'inquiétude, cette liste peut vous aider à organiser les lectures ou révisions que vous pourrez faire en début de semestre.
Théorie abstraite de la mesure
Théorie des probabilités
Le cours sera évalué par deux interrogations, un partiel, et un examen.
Pour les étudiants inscrits en présence à ce cours, la note est calculée comme suit. On note ${\sf I}_1$ et ${\sf I}_2$ les notes d'interrogation, ${\sf P}$ la note de partiel et ${\sf E}$ la note d'examen. On pose ${\sf CC}={\sf I}_1+{\sf I}_2+{\sf P}$. La note finale est ${\sf N}=\max({\sf CC}+{\sf E},2{\sf E})$.
Pour les étudiants inscrits à distance à ce cours, la note est ${\sf N}=2{\sf E}$.
Les étudiants inscrits à distance peuvent participer au partiel, à titre d'entraînement. S'ils le font, leur copie sera notée, mais cette note ne sera pas prise en compte.
L'avancement du cours sera détaillé ici au fur et à mesure du semestre.
03/09 – Présentation générale du cours.
Introduction.
Espaces de probabilités. Tribus. Mesures. Convergence monotone pour les mesures.
Variables aléatoires positives, espérance, convergence monotone, lemme de Fatou.
Variables aléatoires intégrables, espérance, convergence dominée.
Intersection de tribus. Tribu engendrée par une classe de parties. Tribu borélienne. Tribu engendrée par une partition finie.
04/09 – Tribu engendrée par une partition finie ou infinie.
Tribu engendrée par une variable aléatoire.
La tribu engendrée par une partition finie est engendrée par une variable aléatoire constante sur chaque bloc de la partition.
Chapitre 1. Espérance conditionnelle
Définition d'une espérance conditionnelle sachant une sous-tribu $\mathscr G$ d'une variable aléatoire positive $X$.
Cas où $X$ est $\mathscr G$-mesurable.
Cas où $X$ est indépendante de $\mathscr G$.
Cas où $\mathscr G$ est engendrée par une partition finie. (Nous reviendrons sur ce cas fondamental au prochain cours.)
10/09 – Cas où $\mathscr G$ est engendrée par une partition finie.
Unicité presque sûre de l'espérance conditionnelle.
11/09 – Existence de l'espérance conditionnelle.
Cas d'une sous-tribu engendrée par une variable aléatoire.
Si $Y$ est une variable aléatoire positive mesurable par rapport à $\sigma(Z)$, où $Z$ est une variable aléatoire quelconque,
alors il existe une fonction mesurable positive $h$ sur l'espace où $Z$ prend ses valeurs telle que $Y=h(Z)$.
Propriétés de l'espérance conditionnelle dans le cas positif.
17/09 – Démonstration des propriétés ${\mathbf E}\big[{\mathbf E}[X|\mathscr G]\big|\mathscr H\big]={\mathbf E}[X|\mathscr H]$ et, si $X$ est $\mathscr G$-mesurable, ${\mathbf E}[XY|\mathscr G]=X{\mathbf E}[Y|\mathscr G]$.
Énoncé sans démonstration de la proposition 3.4 : si $\mathscr H$ est indépendante de $\sigma(\sigma(X)\cup \mathscr G)$, alors ${\mathbf E}[X|\sigma(\mathscr G \cup \mathscr H)]={\mathbf E}[X|\mathscr G]$.
Définition de l'espérance conditionnelle pour les variables aléatoires intégrables.
Existence et unicité presque sûre dans le cas intégrable.
Propriétés de l'espérance conditionnelle dans le cas intégrable.
Page mise à jour le 18 septembre 2025