Il s'agit d'une UE du Master 2 Probabilités et modèles aléatoires.

Le cours a lieu le mercredi de 13h30 à 16h30 en salle 15-25 102. Le premier cours aura lieu le mercredi 18 septembre 2024.

Le cours s'appuiera sur des notes disponibles en suivant ce lien. Ces notes sont mises à jour de temps à autre sans préavis – toute remarque à leur sujet est bienvenue. La version du 5 septembre 2022 reste disponible ici.

Le premier chapitre fait appel à des notions de topologie pour lesquelles on pourra se reporter à ces notes de cours écrites par Frédéric Le Roux, ou à celles-ci écrites par Frédéric Paulin. Le contenu du premier chapitre est par ailleurs traité dans ces notes écrites par Grégory Miermont.

Comme l'an dernier, ce cours sera accompagné de travaux dirigés, encadrés par Elias Nohra. L'heure et le lieu des séances sont indiqués sur cette page.

La deuxième session d'examen aura lieu le mercredi 12 mars, à Jussieu, dans la salle 15-25 102, de 13h à 16h15.

Pour les personnes bénéficiant d'un tiers temps, l'examen commencera à 12h45 et se terminera à 17h05.

L'examen se composera de deux parties.

La première partie, qui durera de 13h (ou 12h45 si tiers temps) à 13h45, consistera en trois questions de cours choisies (par moi) dans la liste ci-dessous. La numérotation des énoncés est celle de la version du polycopié qui se trouve actuellement accessible sur cette page. Pour cette première partie, aucun document ne sera autorisé.

La deuxième partie durera le reste du temps, deux heures et demie (plus 50 minutes si tiers temps), et consistera en plusieurs exercices, portant sur les différentes parties du cours. Le programme de cette partie est l'ensemble du contenu du polycopié. Pendant cette deuxième partie de l'examen, vous pourrez utiliser votre exemplaire du polycopié, même s'il est annoté, et vos notes manuscrites de cours.

La liste des questions pour la première partie de l'examen est la suivante. La description qui suit chaque référence ne sert qu'à rendre plus facile l'usage de cette liste : dans tous les cas, l'énoncé complet est concerné.

• Proposition 1.2.3 (une fonction continue entre deux espaces topologiques est borélienne)
• Proposition 1.2.6 (sur un espace métrique, une mesure borélienne de probabilité est caractérisée par l’intégrale des fonctions continues bornées)
• Proposition 1.2.7 (sur un espace métrique, une mesure est extérieurement régulière)
• Théorème 1.3.2 (théorème de Portmanteau)
• Proposition 1.5.2 (sur un espace polonais, une mesure de probabilité est tendue)
• Lemme 2.1.4 (sur l’espace des chemins dans un espace métrique, la distance uniforme induit la topologie compacte-ouverte)

• Proposition 3.1.1 (inégalité de Chernov)
• Lemme 3.2.1 (tropicalisation)
• Proposition 3.3.3 (expression d'un PGD en une borne supérieure et une borne inférieure)
• Proposition 3.3.5 (principe de contraction)
• Définition 4.1.1 et les remarques qui la suivent jusqu’à la fin de la section 4.1 (entropie et entropie relative)
• Lemme 5.1. (convexité de la transformée de log-Laplace)

• Proposition 6.2.8 (pour la percolation sur $\mathbb Z^d$, on a $p_c\geqslant\frac{1}{2d-1}$)
• Théorème 7.1.2 (ergodicité de la percolation)
• Proposition 7.2.1 (si la probabilité de percolation à l'origine est nulle, alors il n’y a pas d’agrégat infini)
• Lemme 7.5.2 (s’il existe une partie A telle que \phi(A)<1, alors la taille des agrégats décroît exponentiellement vite)
• Proposition 8.2.1 (sur $\mathbb Z^2$ à $p=\frac12$, la probabilité de percolation est nulle)

• 2019-20 — Session 1, Session 2.
• 2020-21 — Session 1, Session 2.
• 2021-22 — Session 1, Session 2.
• 2022-23 — Session 1, Session 2.
• 2023-24 — Session 1, Session 2.

L'avancement du cours sera indiqué ici au fur et à mesure du semestre.

18/09 – Présentation générale du cours.

Chapitre 1. Convergence de mesures.
Espaces topologiques. Espaces métriques.
Espaces séparés, espaces compacts.
Espaces à base dénombrable, espaces séparables.
Suites convergentes, suites de Cauchy, espaces complets. Complétion d'un espace métrique.

25/09 – Espaces polonais.
Mesures de probabilité boréliennes sur un espace topologique.
Sur un espace métrique, toute mesure borélienne de probabilité est extérieurement régulière.
Application $\mathcal M(E) \to \mathcal C_b(E)^*$. Sur un espace métrique, cette application est injective.
Convergence faible d'une suite de mesures de probabilité.
Théorème de Portmanteau.
Topologie faible-$*$ sur le dual d'un espace de Banach.

02/10 – Espaces métriques précompacts.
Parties relativement compactes d'un espace métrique.
Tout espace métrique séparable est homéomorphe à un espace métrique précompact.
Si $(E,d)$ est séparable, alors la topologie faible-$*$ sur $\mathcal M(E)$ est métrisable.

16/10 – Si $(E,d)$ est compact, alors $\mathcal M(E)$ est compact.
Parties tendues de $\mathcal M(E)$.
Théorème de Prokhorov.

23/10 – Espace de Wiener d'un espace métrique. Topologie compacte-ouverte. Tribu borélienne et tribu cylindrique.
L'espace de Wiener d'un espace polonais est polonais.
Théorème d'Ascoli.
Convergence de mesure au sens des marginales fini-dimensionnelles.
Une suite de mesures de probabilités sur l'espace de Wiener d'un espace polonais converge faiblement si et seulement si elle est tendue et converge au sens des marges fini-dimensionnelles.

06/11 – Retour sur l'ensemble du chapitre et sur le problème de la convergence faible des lois d'une suite de processus.
Critères de tension pour des suites de mesures sur l'espace de Wiener d'un espace polonais.
Fonctions höldériennes. Critère de tension Kolmogorov.

13/11 – Chapitre 2. Grandes déviations.
Inégalité de Chernoff. Introduction à l'idée des grandes déviations.
Fonction de taux. Énoncé d'un principe de grandes déviations.
Borne inférieure, borne supérieure.
Unicité de la fonction de taux.
Principe de contraction.

20/11 – Théorème de Cramér.
Théorème de Sanov.

25/11 – Chapitre 3. Percolation.
Graphes, configurations de percolation (par arêtes), mesures de percolation.
Événements de connexion, agrégats, événement de percolation. Probabilité de percolation sur $\mathbb Z^d$, probabilité critique.
Domination stochastique, couplage croissant.
Énoncé du théorème principal.

04/12 – Démonstration du fait que $0 < \frac{1}{2d-1} \leq p_c(d) \leq p_c(2)\leq 0.999<1$.
Ergodicité.
Si $\theta_d(p)=0$, alors presque sûrement, il n'y a aucun agrégat infini.
Si $\theta_d(p)>0$, alors il y a presque sûrement un unique agrégat infini.

11/12 – Inégalité FKG. Inégalité BK.
Si $p<p_c$, alors il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $n\geq 0$, on ait $\mathbb P_p(0\leftrightarrow \partial B_n)\leq e^{-n\alpha}$.
Théorème de Kesten : $p_c(2)=\tfrac{1}{2}$ et $\theta_2(\tfrac{1}{2})=0$.

Page mise à jour le 6 mars 2025

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