Il s'agit d'une UE du Master 2 Probabilités et modèles aléatoires.

Le prochain cours aura lieu au premier semestre 2022-2023. Le premier cours aura lieu le mercredi 21 septembre à 14h, en salle 15-25 102.

Le cours s'appuiera sur des notes disponibles en suivant ce lien. Ces notes sont mises à jour de temps à autre sans préavis – toute remarque à leur sujet est bienvenue. La version du 5 septembre 2022 reste disponible ici.

Le premier chapitre fait appel à des notions de topologie pour lesquelles on pourra se reporter à ces notes de cours écrites par Frédéric Le Roux, ou à celles-ci écrites par Frédéric Paulin. Le contenu du premier chapitre est par ailleurs traité dans ces notes écrites par Grégory Miermont.


Sujets des examens passés

Examen

L'examen aura lieu le mercredi 25 janvier de 13h à 16h ou 16h30 (prévoyez de pouvoir rester jusqu'à 16h30), à Jussieu, dans la salle de cours habituelle, 15-25 102.

L'examen se composera de deux parties.

La première partie, qui durera 45 minutes, consistera en trois questions de cours choisies (par moi) dans la liste ci-dessous. La numérotation des énoncés est celle de la version du polycopié qui se trouve actuellement accessible sur cette page. (Cette version n'a pas changé en 2023). Pour cette première partie, aucun document ne sera autorisé.

La deuxième partie durera le reste du temps, donc environ deux heures et demie, et consistera en plusieurs exercices, portant sur les différentes parties du cours. Le programme de cette partie est l'ensemble du contenu du polycopié. Pendant cette deuxième partie de l'examen, vous pourrez utiliser votre exemplaire du polycopié, même s'il est annoté, et vos notes manuscrites de cours.

La liste des questions pour la première partie de l'examen est la suivante. La description qui suit chaque référence ne sert qu'à rendre plus facile l'usage de cette liste : dans tous les cas, l'énoncé complet est concerné.

  • Proposition 1.2.2 (une fonction continue entre deux espaces topologiques est borélienne)
  • Proposition 1.2.6 (sur un espace métrique, une mesure borélienne de probabilité est caractérisée par l’intégrale des fonctions continues bornées)
  • Proposition 1.2.7 (sur un espace métrique, une mesure est extérieurement régulière)
  • Proposition 1.5.2 (sur un espace polonais, une mesure de probabilité est tendue)
  • Lemme 2.1.4 (sur l’espace des chemins dans un espace métrique, la distance uniforme induit la topologie compacte-ouverte)
  • Proposition 3.1.1 (inégalité de Chernov)
  • Lemme 3.2.1 (tropicalisation)
  • Proposition 3.3.3 (expression d'un PGD en une borne supérieure et une borne inférieure)
  • Proposition 3.3.5 (principe de contraction)
  • Définition 4.1.1 et les remarques qui la suivent jusqu’à la fin de la section 4.1 (entropie et entropie relative)
  • Lemme 5.1. (convexité de la transformée de log-Laplace)
  • Proposition 6.2.8 (pour la percolation sur $\mathbb Z^d$, on a $p_c\geqslant\frac{1}{2d-1}$)
  • Théorème 7.1.2 (ergodicité de la percolation)
  • Proposition 7.2.1 (si la probabilité de percolation à l'origine est nulle, alors il n’y a pas d’agrégat infini)
  • Lemme 7.5.2 (s’il existe une partie A telle que \phi(A)<1, alors la taille des agrégats décroît exponentiellement vite)
  • Proposition 8.2.1 (sur $\mathbb Z^2$ à $p=\frac12$, la probabilité de percolation est nulle)

Déroulement du cours

21/09 – Présentation générale du cours.

Chapitre 1. Convergence de mesures.
Espaces topologiques, espaces métriques. Espaces à base dénombrable, espaces séparables.
Espaces complets. Espaces polonais.
Complété d'un espace métrique.

28/09 – Mesures boréliennes sur un espace métrique. Régularité extérieure.
Convergence faible de suites de mesures, unicité de la limite. Théorème de Portmanteau.
Topologie faible-$*$ sur le dual d'un espace de Banach. Topologie sur $\mathcal M(E)$.

05/10 – Précompacité, relative compacité.
On peut changer la distance d'un espace métrique séparable sans en changer la topologie pour en faire un espace précompact.
L'espace des fonctions uniformément continues sur un espace précompact est séparable.
Sur l'espace des mesures boréliennes sur un espace métrique séparable, la topologie faible est métrisable.

12/10 – Si $E$ est un espace métrique compact, alors $\mathcal M(E)$ est compact.
Tension d'une partie de $\mathcal M(E)$.
Sur un espace polonais, toute mesure borélienne de probabilité est tendue.
Théorème de Prokhorov.

19/10 – Topologie compacte-ouverte sur l'espace $\mathcal W(E)$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $E$.
Si $E$ est complet, alors $\mathcal W(E)$ est complet.
Si $E$ est séparable, alors $\mathcal W(E)$ est séparable.
Équicontinuité d'une partie de $\mathcal W(E)$. Théorème d'Ascoli.
Égalité des tribus borélienne et cylindrique sur $\mathcal W(E)$.
Lois marginales de dimension finie d'une mesure de probabilité sur $\mathcal W(E)$. Convergence au sens des marges fini-dimensionnelles.
La convergence faible d'une suite de mesures sur $\mathcal W(E)$ entraîne sa convergence au sens des marges fini-dimensionnelles, mais la réciproque n'est pas vraie.

26/10 – Une suite de mesures sur $\mathcal W(E)$ converge si et seulement si elle est tendue et converge au sens des lois fini-dimensionnelles. Critères de tension d'une suite de processus. Critère de Kolmogorov. Théorème de Donsker.

02/11 – Vacances

09/11 – Chapitre 2. Principes de grandes déviations.
Principes de grandes déviations : exemple de l'inégalité de Chernov. Concentration exponentielle d'une famille de mesure, fonction de taux.
Forme d'un principe de grandes déviations.

16/11 – Deux théorèmes de grandes déviations : le théorème de Sanov, et le théorème de Cramér.

23/11 – Chapitre 3. Percolation.
Définition du modèle. Définition de la probabilité de percolation $\theta_d(p)$, et du paramètre critique.
La fonction $\theta_d$ est croissante, continue à droite, nulle en $0$, et vaut $1$ en $1$.
Dans $\mathbb Z^d$ pour $d\geqslant 2$, on a $0<p_c<1$.

30/11 – Ergodicité de la percolation sur $\mathbb Z^d$.
Unicité de l'agrégat infini dans la phase sur-critique.
Inégalité FKG. Inégalité BK.

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