Il s'agit d'une UE du Master 2 Probabilités et modèles aléatoires.

Le cours a lieu le mercredi de 13h30 à 16h30 en salle 15-25 102. Le premier cours aura lieu le mercredi 20 septembre 2023.
Il n'y aura pas de cours ni de travaux dirigés (voir plus bas) les 1er et 2 novembre.

Le cours s'appuiera sur des notes disponibles en suivant ce lien. Ces notes sont mises à jour de temps à autre sans préavis – toute remarque à leur sujet est bienvenue. La version du 5 septembre 2022 reste disponible ici.

Le premier chapitre fait appel à des notions de topologie pour lesquelles on pourra se reporter à ces notes de cours écrites par Frédéric Le Roux, ou à celles-ci écrites par Frédéric Paulin. Le contenu du premier chapitre est par ailleurs traité dans ces notes écrites par Grégory Miermont.

Jusqu'à l'an dernier, ce cours n'était pas accompagné de travaux dirigés. Deux séances faites en fin de semestre en janvier 2023 nous ont fait réaliser, à nous étudiantes, étudiants et enseignant, que cela faisait en fait cruellement défaut.

Aussi, pour la première fois cette année, ce cours sera accompagné de travaux dirigés, encadrés par Elias Nohra. Les séances auront lieu le jeudi matin jusqu'au 9 novembre inclus, la première séance aura lieu le jeudi 28 septembre. L'heure et le lieu sont encore à préciser.

La première session d'examen a eu lieu le mercredi 17 janvier.

La deuxième session aura lieu le vendredi 15 mars, à Jussieu, dans la salle 15-16 309, de 9h15 à 12h30. Attention : ce n'est ni l'horaire initialement annoncé ni la salle habituelle de cours.

La première partie durera de 9h15 à 10h, et la deuxième de 10h à 12h30.

L'examen se composera de deux parties.

La première partie, qui durera 45 minutes, consistera en trois questions de cours choisies (par moi) dans la liste ci-dessous. La numérotation des énoncés est celle de la version du polycopié qui se trouve actuellement accessible sur cette page. Pour cette première partie, aucun document ne sera autorisé.

La deuxième partie durera le reste du temps, deux heures et demie, et consistera en plusieurs exercices, portant sur les différentes parties du cours. Le programme de cette partie est l'ensemble du contenu du polycopié. Pendant cette deuxième partie de l'examen, vous pourrez utiliser votre exemplaire du polycopié, même s'il est annoté, et vos notes manuscrites de cours.

La liste des questions pour la première partie de l'examen est la suivante. La description qui suit chaque référence ne sert qu'à rendre plus facile l'usage de cette liste : dans tous les cas, l'énoncé complet est concerné.

• Proposition 1.2.2 (une fonction continue entre deux espaces topologiques est borélienne)
• Proposition 1.2.6 (sur un espace métrique, une mesure borélienne de probabilité est caractérisée par l’intégrale des fonctions continues bornées)
• Proposition 1.2.7 (sur un espace métrique, une mesure est extérieurement régulière)
• Proposition 1.5.2 (sur un espace polonais, une mesure de probabilité est tendue)
• Lemme 2.1.4 (sur l’espace des chemins dans un espace métrique, la distance uniforme induit la topologie compacte-ouverte)

• Proposition 3.1.1 (inégalité de Chernov)
• Lemme 3.2.1 (tropicalisation)
• Proposition 3.3.3 (expression d'un PGD en une borne supérieure et une borne inférieure)
• Proposition 3.3.5 (principe de contraction)
• Définition 4.1.1 et les remarques qui la suivent jusqu’à la fin de la section 4.1 (entropie et entropie relative)
• Lemme 5.1. (convexité de la transformée de log-Laplace)

• Proposition 6.2.8 (pour la percolation sur $\mathbb Z^d$, on a $p_c\geqslant\frac{1}{2d-1}$)
• Théorème 7.1.2 (ergodicité de la percolation)
• Proposition 7.2.1 (si la probabilité de percolation à l'origine est nulle, alors il n’y a pas d’agrégat infini)
• Lemme 7.5.2 (s’il existe une partie A telle que \phi(A)<1, alors la taille des agrégats décroît exponentiellement vite)
• Proposition 8.2.1 (sur $\mathbb Z^2$ à $p=\frac12$, la probabilité de percolation est nulle)

• 2019-20 — Session 1, Session 2.
• 2020-21 — Session 1, Session 2.
• 2021-22 — Session 1, Session 2.
• 2022-23 — Session 1, Session 2.

20/09 – Présentation générale du cours.

Chapitre 1. Convergence de mesures.
Espaces topologiques, sous-espaces topologiques. Espaces métriques. Applications continues. Homéomorphismes.
Espaces séparés, espaces compacts.
Espaces à base dénombrable, espaces séparables.
Suites convergentes, suites de Cauchy, espaces complets.
Espaces polonais.

27/09 – Complété d'un espace métrique.
Mesures de probabilité boréliennes sur un espace topologique.
Application $\mathcal M(E) \to \mathcal C_b(E)^*$. Sur un espace métrique, cette application est injective.
Régularité intérieure, extérieure.
Sur un espace métrique, toute mesure borélienne de probabilité est extérieurement régulière.
Convergence faible d'une suite de mesures de probabilité.
Théorème de Portmanteau.

04/10 – Topologie faible-$*$ sur le dual d'un espace de Banach.
Topologie sur $\mathcal M(E)$ induite par la topologie faible-$*$ de $\mathcal C_b(E)^*$.
Espaces métriques précompacts.
Sur un espace précompact, toute fonction uniformément continue est bornée, et l'espace des fonctions uniformément continues muni de la norme uniforme est séparable.
Tout espace métrique séparable est homéomorphe à un espace métrique précompact.
Si $(E,d)$ est séparable, alors la topologie faible-$*$ sur $\mathcal M(E)$ est métrisable.

11/10 – Si $(E,d)$ est compact, alors $\mathcal M(E)$ est compact.
Théorème de Prokhorov.
Espace de Wiener d'un espace métrique. Topologie compacte-ouverte. Tribu borélienne et tribu cylindrique.
L'espace de Wiener d'un espace polonais est polonais.

18/10 – Théorème d'Ascoli.
Convergence de mesure au sens des marginales fini-dimensionnelles.
Une suite de mesures de probabilités sur l'espace de Wiener d'un espace polonais converge faiblement si et seulement si elle est tendue et converge qu sens des marges fini-dimensionnelles.

25/10 – Critères de tension pour des suites de mesures sur l'espace de Wiener d'un espace polonais.
Fonctions höldériennes. Critère de tension Kolmogorov.

08/11 – Chapitre 2. Grandes déviations.
Inégalité de Chernoff. Introduction à l'idée des grandes déviations.
Fonction de taux. Énoncé d'un principe de grandes déviations.
Borne inférieure, borne supérieure.
Unicité de la fonction de taux.
Principe de contraction.

15/11 – Deux théorèmes de grandes déviations : le théorème de Sanov et le théorème de Cramér.

22/11 – Chapitre 3. Percolation.
Graphes, configurations de percolation (par arêtes), mesures de percolation.
Événements de connexion, agrégats, événement de percolation. Probabilité de percolation sur $\mathbb Z^d$, probabilité critique.
Énoncé du théorème principal.
Domination stochastique, couplage croissant.
Démonstration du fait que $p_c(d)\geq \frac{1}{2d-1}$.

Page mise à jour le 9 janvier 2024

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