Convergence de mesures, Grandes déviations, Percolation
Il s'agit d'une UE du Master 2 Probabilités et modèles aléatoires.
Le cours a lieu le mercredi de 13h30 à 16h30 en salle 15-25 102. Le premier cours aura lieu le mercredi 17 septembre 2025.
Le cours s'appuiera sur des notes disponibles en suivant ce lien. Ces notes sont mises à jour de temps à autre sans préavis – toute remarque à leur sujet est bienvenue.
Le premier chapitre fait appel à des notions de topologie pour lesquelles on pourra se reporter à ces notes de cours écrites par Frédéric Le Roux, ou à celles-ci écrites par Frédéric Paulin. Le contenu du premier chapitre est par ailleurs traité dans ces notes écrites par Grégory Miermont.
Travaux dirigés
Ce cours sera accompagné de travaux dirigés, encadrés par Elias Nohra. L'heure et le lieu des séances sont indiqués sur cette page.
Sujets des examens passés
Déroulement du cours
L'avancement du cours sera indiqué ici au fur et à mesure du semestre.
17/09 – Présentation générale du cours.
Chapitre 1. Convergence de mesures.
Espaces topologiques. Espaces métriques.
Espaces séparés, espaces compacts.
Espaces à base dénombrable, espaces séparables.
Suites convergentes, suites de Cauchy, espaces complets. Complétion d'un espace métrique.
Espaces polonais.
Mesures de probabilité boréliennes sur un espace topologique.
24/09 – Régularité extérieure des mesures de probabilité boréliennes sur un espace métrique.
Convergence étroite d'une suite de mesures de probabilités sur un espace topologique mesurable.
Fonctions uniformément continues, fonctions lipschitziennes sur un espace métrique.
Frontière topologique d'une partie d'un espace topologique.
Théorème de Portmanteau.
Topologie faible-$*$ sur le dual d'un espace de Banach.
Lorsque $E$ est un espace métrique, topologie induite sur $\mathscr M(E)$ vu comme partie de $\mathcal C_b(E)'$.
01/10 – Espaces métriques précompacts.
Parties relativement compactes d'un espace métrique.
Tout espace métrique séparable est homéomorphe à un espace métrique précompact.
Si $(E,d)$ est séparable, alors la topologie faible-$*$ sur $\mathcal M(E)$ est métrisable.
08/10 – Si $(E,d)$ est compact, alors $\mathcal M(E)$ est compact.
Parties tendues de $\mathcal M(E)$.
Théorème de Prokhorov.
15/10 – Espace de Wiener d'un espace métrique. Topologie compacte-ouverte.
L'espace de Wiener d'un espace polonais est polonais.
Tribu borélienne et tribu cylindrique.
Convergence de mesure au sens des marginales fini-dimensionnelles.
Une suite de mesures de probabilités sur l'espace de Wiener d'un espace polonais converge faiblement si et seulement si elle est tendue et converge au sens des marges fini-dimensionnelles.
Théorème d'Ascoli.
Page mise à jour le 16 octobre 2025