Chaînes de Markov
Cours 1 : Définitions de base, MC comme systèmes dynamiques aléatoires, Exemples de MC (marches aléatoires). Discussion rapide du cas inhomogène. La propriété de Markov (simple). Temps d'arrêt et propriété de Markov forte (à completer). Jusqu'à page 11 (Ch.1)
Cours 2 : La propriété de Markov forte. Noyau potentiel : Proposition 5.2 et 5.3. Etats récurrents : Prop. 5.4. Mesures invariantes et mesures réversibles (Ch. 1, Sec. 6). Espace d'états dénombrable (Ch., Sec. 7). Exemple : la marche aléatoire simple (Sec. 7.2), à completer.
Cours 3 : Exemple : la marche aléatoire simple (Sec. 7.2) et le processus de naissance et mort (sec. 7.3). Ch. 2 : états accessibles et récurrents. Le processus de Lindley (introduction). La mesure $\lambda_x$. Th. 2.1 : énoncé complet. Th. 2.1 (1) pas loin d'être démontré.
Cours 4 : Demonstration du Th. 2.1 (sauf point (2). Prop. 2.2. MC de Bienaymé-Galton-Watson (Sec. 7.3, Ch. 1). Introduction au Ratio Limit Theorem et au théorème ergodique p.s..
Cours 5 : Ratio Limit Theorem et au théorème ergodique p.s. : démonstrations. La notion de période. La distance en variation totale : énoncé du Théorème Ergodique pour MC. Etude du processus de Lindley.
Cours 6 : Théorème Ergodique pour MC : démonstration. Propriétés de la convergence en variation totale. MCs contractants : Random Coefficients Autoregressive MC.
Cours 7 : MC de Harris, exemples, construction de la MC auxiliaire (avec état accessible). Retour sur la Random Coefficients Autoregressive MC. MC de Feller. Moyennes temporelles de la loi de la MC et probabilités invariantes. Un premier exemple de résultat de type Foster-Lyapunov (Prop. 3.4).
Examen novembre 2023, avec corrigé et vous trouvez ici les notes