We are interested in the approximation of a square-integrable function from a finite number of evaluations on a random set of nodes. We assume that the target function is smooth, in the sense that it belongs to a reproducing kernel Hilbert space (RKHS). This covers many classical cases of interest in signal processing, such as band-limited functions. I will present our results on fast convergence rates for the mean-square approximation error, when the set of nodes is drawn from a suitable determinantal point process, or a mixture of determinantal point processes known as volume sampling.

In this talk, we shall discuss the mixing time of the Asymmetric Zero Range process (AZRP) with non-decreasing jump rates on the segment. We will first study the hydrodynamic limit starting from the configuration where all particles are gathered on the left-most site. The macroscopic equilibrium time gives a lower bound on the mixing time. We will show the sharpness of this estimate when the system is asymmetric enough, which establishes the cut-off phenomenon. This extends earlier results of Labbe and Lacoin in the context of the asymmetric simple exclusion process.

Résumé: Le processus ponctuel de Hawkes est un outil statistique très répandu pour analyser des dynamiques temporelles. Les applications modernes des processus de Hawkes proposent des extensions du modèle initial pour prendre en compte certaines caractéristiques spécifiques à chaque domaine d'étude, ce qui complexifie les tâches d'inférence. Dans cette thèse, nous proposons différentes contributions à l'estimation paramétrique de deux variantes du processus de Hawkes dans les cadres univarié et multivarié. Motivée par la modélisation d'interactions complexes au sein d'une population de neurones, notre première étude porte sur la prise en compte conjointe d'effets excitateurs et inhibiteurs entre les signaux émis par les neurones au cours du temps, modélisés par un processus de Hawkes non-linéaire. Dans ce modèle, nous obtenons une expression explicite de la log-vraisemblance qui nous permet d'implémenter une procédure de maximum de vraisemblance. Nous établissons également une méthode de sélection de modèle qui fournit notamment une estimation du réseau d'interactions dans le cadre multivarié. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus de Hawkes bruités par deux types d'altérations : l'ajout ou la suppression de certains points. Le manque d'information lié à ces mécanismes de bruit rend les méthodes classiques d'inférence non-applicables ou numériquement coûteuses. Notre solution consiste à s'appuyer sur l'analyse spectrale des processus ponctuels afin d'établir un estimateur obtenu en maximisant la log-vraisemblance spectrale. Nous obtenons l'expression des densités spectrales des processus bruités et, après avoir établi des conditions d'identifiabilité pour nos différents modèles, nous montrons que cette méthode d'inférence ne nécessite pas de connaître la structure du bruit, contournant ainsi le problème d'estimation. Notre étude sur les processus bruités donne accès à une méthode de sous-échantillonnage qui nous permet d'améliorer les approches d'estimation en introduisant un paramètre de pénalisation. Nous illustrons la performance des différentes méthodes proposées à travers des implémentations numériques reproductibles.

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Abstract: The Hawkes point process is a popular statistical tool to analyse temporal patterns. Modern applications propose extensions of this model to account for specificities in each field of study, which in turn complexifies the task of inference. In this thesis, we advance different approaches for the parametric estimation of two submodels of the Hawkes process in univariate and multivariate settings. Motivated by the modelling of complex neuronal interactions observed from spike train data, our first study focuses on accounting for both inhibition and excitation effects between neurons, modelled by the non-linear Hawkes process. We derive a closed-form expression of the log-likelihood in order to implement a maximum likelihood procedure. As a consequence of our approach, we gain access to a goodness-of-fit scheme allowing us to establish ad hoc model selection methods to estimate the interaction network in the multivariate setting. The second part of this thesis focuses on studying Hawkes process data noised by two different alterations: adding or removing points. The absence of knowledge on the noise dynamics makes classical inference procedures intractable or computationally expensive. Our solution is to leverage the spectral analysis of point processes to establish an estimator obtained by maximising the spectral log-likelihood. By deriving the spectral densities of the noised processes and by establishing identifiability conditions on our model, we show that the spectral inference method does not necessitate any information on the structure of the noise, effectively circumventing this issue. An additional result of the study of Hawkes processes with missing points is that it gives access to a subsampling paradigm to enhance the estimation methods by introducing a penalisation parameter. We illustrate the efficiency of all of our methods through reproducible numerical implementations.

We investigate propagation of convexity and convex ordering on a typical stochastic optimal control problem, namely the pricing of “Take-or-Pay” swing option, a financial derivative product commonly traded on energy markets. The dynamics of the underlying asset is modelled by an ARCH model with convex coefficients. We prove that the value function associated to the stochastic optimal control problem is a convex function of the underlying asset price. We also introduce a domination criterion offering insights into the monotonicity of the value function with respect to parameters of the underlying ARCH coefficients. We particularly focus on the one-dimensional setting where, by means of Stein’s formula and regularization techniques, we show that the convexity assumption for the ARCH coefficients can be relaxed with a semi-convexity assumption. To validate the results presented in this paper, we also conduct numerical illustrations. An ArXiv version of the paper is available here: http://www.arxiv.org/abs/2406.07464.

Résumé: L'objectif de cette thèse est d'étudier l'impact de la transition climatique sur les portefeuilles de crédit. Il s'agit précisément de calculer, quand on introduit le prix du carbone dans une économie, les déformations des mesures de risques d'un portefeuille de crédits. Ces derniers peuvent être garantis ou non garantis. Ils sont contractés par des entreprises appartenant à une économie organisée en secteurs, dirigée par une productivité dynamique et stochastique, et soumise à la transition climatique modélisée à l'aide d'un processus dynamique et déterministe représentant le prix du carbone. La principale nouveauté de notre approche est que nous proposons une méthodologie de bout en bout, partant d'un scénario de transition modélisation par le prix du carbone, jusqu'à l'impact sur différentes mesures de risque de crédit. Elle est divisée en trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous modélisons l'environnement économique dans lequel opèrent les entreprises d'un portefeuille de crédits supposés tous non collatéralisés. Dans cet Dans le deuxième chapitre, nous utilisons la méthode Discounted Cash Flow (DCF) pour déterminer la valeur des firmes opérant dans l'économie décrite précédemment. Nous utilisons ensuite cette valeur dans un modèle structurel de crédit. Cela nous permet de calculer différentes mesures de risques d'un portefeuille de crédits. Dans le troisième chapitre, nous travaillons en temps continu. Le problème est le même, mais les prêts peuvent être garantis. Les mesures de risques dépendent par conséquent de la valeur des garanties qui subissent, de même que les entreprises prêteuses, la transition climatique. Nous proposons dans ce contexte une modélisation de deux exemples de garanties: l'une mobilière (un actif financier) et l'autre matérielle (un bien immobilier).

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Abstract: The objective of this thesis is to quantify the impact of climate transition on credit portfolios. It is specifically about calculating, when introducing the carbon price into an economy, the distortions in the risk measures of a credit portfolio. They are contracted by firms belonging to an economy divided in sectors, driven by a dynamic and stochastic productivity (modelled as a vector autoregressive process or a multidimensional Ornstein-Uhlenbeck process), and subject to climate transition modeled using a dynamic and deterministic process representing the carbon price. The main contribution of our approach is that we propose an end-to-end methodology, starting from a transition scenario modeled by the carbon price, to the impact on different credit risk measures. It is divided into three chapters. In the first chapter, we model the economic environment in which the companies of a portfolio of credits, all assumed unsecured, operate. In the second chapter, we use the Discounted Cash Flow (DCF) method to determine the value of firms operating in the previously described economy. We then use this value into a structural credit model. This allows us to calculate different risk measures of a credit portfolio: the probability of default of each firm, as well as the expected and unexpected losses. In the third chapter, we work in continuous time. The problem remains the same, but the loans can be secured. Consequently, the risk measures depend on the value of the collateral, which, like the lending companies, undergoes the climate transition. In this context, we propose modeling two examples of collateral: one financial asset and one real estate property.

On considère un domaine D_N de Z^d, de taille typique N, dans lequel on piège une marche aléatoire “pour toujours”. Cette marche confinée est en fait une marche sur un potentiel donné par le premier vecteur propre de la marche simple tuée au premier temps où elle sort de D_N. On s'intéresse ici à la géométrie en temps long de cette marche confinée, plus précisément à sa trace dans un sous-domaine intérieur à D_N. Je présenterai un couplage entre cette trace et un entrelac “tilté”, que l'on peut voir comme une soupe de trajectoires indépendantes de marche sur conductances. Ce couplage utilise la méthode des soft local times, une méthode générale de simulation de chaînes de Markov.

L’estimateur SLOPE a la particularité d’avoir des composantes nulles (parcimonie) et des composantes égales en valeur absolue (appariement). Le nombre de groupes d’appariement dépend du paramètre de régularisation de l’estimateur. Ce paramètre peut être choisi comme un compromis pour obtenir un estimateur interprétable (en sélectionnant un petit nombre de groupes d’appariement) et précis (avec une faible erreur de prédiction). Trouver un tel compromis nécessite de calculer le chemin des solutions, c’est-à-dire la fonction reliant le paramètre de régularisation à l’estimateur SLOPE. Durant cette présentation j’aborderai quelques résultats théoriques sur le chemin des solutions du SLOPE, j'introduirai une méthode numérique pour résoudre ce chemin et j'illustrerai cette méthode sur un jeu de données réelles.

Soit $(Z_k)$ une suite de variables aléatoires complexes indépendantes et identiquement distribuées de distribution commune $\mu$ et soit $P_n(X):=\prod_{k=1}^n (X-Z_k)$ le polynôme aléatoire associé dans $\mathbb C[X]$. En 2015, Z. Kabluchko a établi le résultat remarquable et inconditionnel qui affirme que la mesure empirique $\nu_n$ associée aux points critiques de $P_n$ converge faiblement en probabilité vers la mesure de base $\mu$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment renforcer cette convergence en probabilité en une convergence presque sûre. Nous évoquerons aussi le cas des zéros des dérivées d'ordres supérieurs. Travaux en commun avec D. Malicet et G. Poly.

Dans sa thèse,  Schwartzman montre le résultat suivant en dynamique topologique : pour un homéomorphisme d'un espace métrique compact infini, il existe deux orbites restant à une distance arbitrairement petite le long de leurs orbites positives. Ce résultat a en fait été retrouvé plusieurs fois avec des applications différentes, comme par exemple le théorème de Morse et Hedlund en dyamique symbolique, ou  le théorème de Mañé pour les dynamiques expansives minimales. Plus tard Boyle et Lind obtiennent un résultat similaire pour des actions continues de groupe abéliens libres. Cela conduit à la notion de direction non-expansivité étudiée pour les automates cellulaires. Dans un travail en commun avec S. Donoso et A. Maass (Univ. du Chili) nous étendons ces résultats à toutes les actions  continues d'un groupe dénombrable G sur un espace métrique compact. Nous précisons même des résultats dans le cas de ${\mathbb Z}^d$ : par exemple, nous montrons que dans tout demi-espace de ${\mathbb R}^d$ il existe un vecteur définissant une direction non -expansivité (orientée) au sens de Boyle et Lind. Ceci permet de retrouver quelques résultats récents obtenus pour l'étude de la conjecture de Nivat. Nous déduisons également plusieurs applications en dynamique topologique et sur des ensembles de Cantor.