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Processus Stochastiques 2019-2020

Les TDs sont assurés par Rémy Mahfouf feuilles d'exercices

Littérature conseillée :

[TS] Trucs supplémentaires

Déroulement du cours :

Sémaine 1 : Rappels sur les notions de convergence de variables aléatoires réelles, sur la fonction de répartition et la fonction caractéristique pour des variables à valeurs dans R. Théorème de continuité de Lévy. Démonstration via Lemme de Helly-Bray, notion de tension de suites (lois de) v.a.'s.. Le Théorème Central Limite : deux lemmes préparatoires et revisitation du cas IID. Ch.17 et 18 de [W] et Sec. 1.1 de [TS].

Semaine 2 : TCL avec convergence en probabilité? Impossible! (Argument basé sur la loi 0-1 de Kolmogorov). Condition de Lindeberg et TCL de Lindeberg (démontré). Corollaires: TCL's de Lyapunov. Examples et applications. Convergence vers une variable de Poisson (avec aperçu rapide de la la notion de divisibilité infinie pour une variable aléatoire). Sec. 1.2 et 1.3 de [TS]. La représentation de Skorokhod et applications. Sec. 1.7 de [TS].

Semaine 3 : Les vecteurs gaussiens. La fonction de répartition d'un vecteur aléatoire. La convergence en loi pour des vecteurs aléatoires. Le Théorème de Porte-manteau : énoncé, démonstration très partielle. Théorèmes de Lévy (énoncés, discussion rapide de la preuve). Cramer-Wold. TCL pour des suites IID de vecteurs aléatoires. Une partie des choses présentées se trouvent dans [LG] et la plupart des démonstrations peuvent être complétées à partir des arguments détaillés donnés dans le cas de variables à valeurs dans R. Espérance conditionnelle : exemples de E[X|Y] 1. avec Y discrète et 2. avec X et Y conjointement continues. Théorème d'existence et unicité (et définition) de l'espérance conditionnelle de X dans L^1 par rapport à une sigma-algèbre. Démonstration via Radon-Nykodym. Liste de propriétés (partielle). Exemple : E[X| |X| ] avec X qui a la même loi que -X (cas général laissé comme challenge). [TS] et [W] donnent des présentation complètes de l'espérance conditionnelle.

Semaine 4 : Espérance conditionnelle : approche dans L^2. Existence et unicité (et définition) de l'espérance conditionnelle de X dans [0, ∞]. Liste de propriétés (complète). Probabilité conditionnelle (et difficultés). Définition de filtration et se (sur/sous) martingale. Trois classes (ou examples) basiques de martingales.[W] ou [LG]contiennent tout ça.

Semaine 5 : Processus prévisibles, transformé de martingale, Théorème “on ne peut pas battre le système”. Définition de temps d'arrêt, (sur/sous) martingales arrêtées. Théorème d'arrêt de Doob. Cette partie est développée en détail dans [LG] et [W]. Application [W] : calcul de la loi du premier temps de retour en 0 pour une marche simple symétrique (issue de 0). Bold strategy et son optimalité dans le jeu Rouge/Noir à la roulette (Ch. 2 dans [TS]).

Semaine 6 : Le Théorème de Convergence de Martingales. Démonstration avec le Lemme de montées de DOOB. Martingales (bornées) dans L^2. Décomposition de DOOB et application au carré d'une martingale dans L^2. Les martingales dans L^2, notamment la notion de variation quadratique. La présentation est très proche de ce qu'il y a dans [W], sans le résultat plus avancé (sur le contrôle de la martingale via sa variation quadratique que j'ai traité complètement seulement pour le cas de sommes de variables indépendantes). Introduction à l'uniforme integrabilité (UI).

Semaine 7 : Uniforme intégralité, Théorème (DOM*). Martingales uniformément intégrables. Application : loi 0-1 de Kolmogorov. Martingales inverses (et convergence). Inégalités de Doob et convergence dans L^p des martingales (bornées dans L^p), p>1. [W]

Semaine 8 : Exemples/Applications : le théorème de Kakutani pour les martingales produit et le problème “ABRACADABRA” [W]. Vendredi 8 novembre Partiel 13h-15h. Sujet avec corrigé.

Semaine 9 : Chaînes de Markov. Définition, construction, propriétés élémentaires. Propriété de Markov simple et introduction à la Propriété de Markov forte. [LG, Ch. 13].

Semaine 10 : Propriété de Markov forte. Etats transitoires et récurrents : le notre de fois on revient en x est p.s. fini ou c'est une variable géométrique. Fonction de Green : si x est recurrent et la fonction de Green entre x et y est strictement positive alors y est recurrent. Decomposition de E en classes de récurrence. Irréductibilité. Mesures invariantes, mesures réversibles et probabilités (lois, distributions) invariantes. Première discussion rapide de la notion de réversibilité. Exemple : marche simple sur Z (calcul de toutes les mesures invariantes). Si Q-MC a un état récurrent x alors il existe une mesure invariante (écriture explicite via temps de retour en x). [LG, Ch. 13].

Semaine 11 : Unicité de la mesure invariante, sous hypothèse de irréductibilité. MC récurrentes positives et récurrentes nulles. Si Q est irréductible et il existe une probabilité invariante alors X Q-MC est récurrente positive. Théorème ergodique presque sûr et corollaire pour le cas récurrent positif. Exemple : marche simple symétrique sur un graphe, modèle de Eherenfest [LG, Ch. 13].

Semaine 12 : Notion de période d'un état, puis d'une MC.Théorème Ergodique dans le cas irréductible, récurrent positif et apériodique [LG, Ch. 13]. Le Théorème Ergodique dans le cas transitoire (facile) ou récurrent nul (moins facile) [je vais écrire des notes asap à ce propos]. Le Lemme de Scheffé [W, p. 55].

Semaine 13 : TCL pour les martingales et application aux MC [Ch. 3, TS]. Introduction aux modèles d'accrochage (30 minutes).

Semaine 14 : Introduction aux modèles d'accrochage (cas non désordonné presque complet). Un aperçu du modèle désordonné.

Semaine 15 : Introduction au champs libre. Définitions, representation probabiliste de moyenne et covariance en volume fini. Passage au volume infini.

 Une image, pour faire joli