Page mathématique de Sébastien Martineau


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Présentation

Pour commencer

Surcritique polynomial

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Percolation inhomogène

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Percolation arithmétique

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Percolation et revêtements

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Graphes localement infinis

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Constantes de connectivité

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Transitivité par rotations

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DLA dirigé

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Localité abélienne

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Indistinguabilité

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Présentation de mon thème de recherche



Une pierre poreuse plongée dans un seau d'eau est-elle trempée en profondeur ? La théorie de la percolation se propose de répondre à cette question, ainsi qu'à nombre d'autres questions de propagation (qu'il s'agisse de maladie, de rumeur ou de feu de forêt). Pour résoudre le problème de la pierre, le probabiliste mesure par pesée la porosité \(p\) de cette dernière, c'est-à-dire sa proportion de trous. Il conçoit ensuite un modèle probabiliste de pierre aléatoire de porosité \(p\). Pour ce faire, il utilise une pièce biaisée qui renvoie pile avec probabilité \(p\). Il découpe une pierre (non-poreuse) imaginaire en une multitude de petits blocs et, pour chaque bloc, il tire à pile ou face pour savoir s'il jette ce bloc (pile) ou s'il le conserve dans la pierre (face). Si la réponse du modèle probabiliste de porosité \(p\) est presque toujours la même, il n'est pas aberrant de partir du principe que la pierre réelle se rangera du côté de la majorité. Or, on a de la chance, c'est exactement ce qu'il se produit : à \(p\) fixé, la réponse à la question initiale est quasiment toujours la même. En revanche, cette réponse déterministe dépend de \(p\). Si \(p\) est plus petit qu'une certaine valeur critique, l'infiltration n'a pas lieu, si \(p\) excède cette valeur, elle a lieu.

Mathématiquement, on part d'un graphe (\(\mathbb{Z}^3\) dans le cas de la pierre) et d'un paramètre \(p\) entre 0 et 1. Chaque arête est conservée avec probabilité \(p\) et éliminée sinon, et ce indépendamment les unes des autres. On cherche alors à savoir s'il existe une composante connexe infinie dans ce graphe.

J'étudie ce processus pour un groupe de type fini quelconque au lieu de \(\mathbb{Z}^3\). Je cherche à comprendre comment la valeur critique dépend du graphe étudié et ce qu'on peut dire des composantes connexes infinies qui apparaissent. De façon plus générale, je m'intéresse à la mécanique statistique, la théorie ergodique et la géométrie des graphes/groupes.

Pour une présentation de mon thème de recherche à destination d'étudiants en début de L1, voir cette conférence que j'ai donnée dans le cadre des Soirées Mathématiques de Lyon. La conférence s'intitule Labyrinthes aléatoires et transition de phase et une question qui guide l'exposé est celle de l'émergence de continents dans un monde imaginaire à mesure que le niveau de l'eau s'abaisse.

Je conclus cette présentation par un lien vers ma thèse de doctorat, qui s'intitule Percolation sur les groupes et modèles dirigés. Celle-ci a été effectuée à l'UMPA et mon directeur de thèse était Vincent Beffara.

Enseignement



Depuis septembre 2019, je suis maître de conférences à Sorbonne Université. J'y ai enseigné ou y enseigne encore : les TD de l'UE de probabilités de L2, les TD de l'UE de Mesures-Probabilités de L3, les TD de l'UE Probabilités Approfondies de M1, ainsi que le cours-TD-TP Bases de l'aléatoire, niveau M1.


Entre 2011 et 2015, j'ai été moniteur puis agrégé-préparateur au département de mathématiques de l'ENS Lyon.


J'ai professé durant les automnes 2011 à 2014 le cours de probabilités destiné aux agrégatifs non-spécialisés en probabilités. Vous trouverez ici le polycopié de cours (qui n'aborde malheureusement pas tous les points vus en amphi), les feuilles d'exercices et derrière ce lien matière à approfondissement. Voici également un tableau récapitulatif sur les lois usuelles.

Au premier semestre 2012, j'ai encadré avec François Le Maître un groupe de lecture niveau L3 sur le livre Groups, graphs and trees de John Meier.

En automne 2012, j'ai assuré avec Emmanuel Jacob les TD du cours d'introduction aux probabilités professé aux L3 par Grégory Miermont. Vous trouverez ici quelques éléments de correction.

Durant le premier semestre de l'année 2014, j'ai assuré avec Emmanuel Jacob et Vincent Tassion les TD du cours d'intégration et probabilités de Grégory Miermont à destination des L3.

Au cours des premiers semestres des années 2014 et 2015, j'ai assuré les TD du cours de mouvement brownien et processus stochastiques d'Emmanuel Jacob (Master 1).

J'ai encadré un certain nombre de leçons d'agrégation. Pour la leçon sur la combinatoire, j'ai rédigé des notes que voici.

En janvier 2014, j'ai co-encadré une partie de la semaine ski agrég. On a notamment parlé de connexes dénombrables.

Au premier semestre 2015, j'ai professé le cours alterdisciplinaire de mathématiques. Ce cours de L3 destiné aux non-matheux s'intitulait Aperçus de mathématiques.

Enfin, durant l'année académique 2014-2015, j'ai assuré avec Emmanuel Jacob les cours, TP et oraux blancs destinés aux agrégatifs en option A.

Bonus




Voici un exposé que j'ai donné au séminaire Les Probas du Vendredi du LPSM. Cet exposé était intitulé Mesurer toutes les parties de \(\mathbb{R}^n\). La première moitié de l'exposé survole un certain nombre de résultats plus ou moins classiques, dont l'existence d'ensembles de Vitali et le paradoxe de Banach–Tarski. Dans la seconde moitié, on découvre en quoi un changement de cadre permet de s'affranchir de ces théorèmes d'impossibilité et de mesurer, malgré eux, toutes les parties \(\mathbb{R}^n\).

Vous trouverez ici quelques énigmes destinées aux étudiants de mathématiques en fin de licence ou début de master.

Voici un document sur les notions d'ouvert et de voisinage. On y définit les notions de voisinage et d'ouvert dans cet ordre-ci (naturel), à l'inverse de l'approche la plus répandue en topologie générale.

Voici quelques exercices tapés jadis, tandis que je co-encadrais le stage olympique de Grésillon 2008.

Trois amis et moi-même avons produit une histoire sans fin poétique dont vous êtes le héros, intitulée Le Voyage. Chaque poème a deux fins possibles. En cliquant sur le tercet final pour lequel vous optez, un nouveau poème apparaît et l'histoire se poursuit. Comme on peine souvent à écrire en temps fini un nombre infini de lignes, les histoires sans fin ont tendance à être circulaires. Ici, on a une histoire dont vous êtes le héros (histoire qui se ramifie donc) et, pour n'avoir qu'un nombre fini de poèmes à écrire, il a fallu "refermer toute cette arborescence sur elle-même" — de même qu'il fallait refermer la droite du temps en un cercle pour faire tenir une histoire sans fin en un nombre fini de pages. La théorie des groupes nous a aidé à trouver une structure de ramification/coalescence des scénarios qui soit convaincante et élégante.

Enfin, quelques vers de Malherbe s'appliquant bien à Gromov :

Moy de qui la fortune est si proche des cieux
Que je voy sous moy toutes choses,
Et tout ce que je voy n'est qu'un point à mes yeux.