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2017/2018

4M004 Fonctions classiques

4M056 Programmation C++ pour mathématiciens

Voir la page web dédiée au cours.

2M110 Introduction aux équations différentielles

Les sources utilisées seront :

  • Le polycopié d’Anne-Laure Dalibard du module 2M310 (P)

  • Le livre Equations différentielles et systèmes dynamiques de John Hubbard et Beverly West (B)

Plan du cours :

  • Introduction. (P, Chap. 1)

  • Équations différentielles scalaires du 1er ordre du type x'=g

  • Équations différentielles scalaires du 1er ordre linéaires x'=p x + q (P. 2.1.1)

    • technique de résolution.

    • Théorème d’existence et unicité pour l’équation homogène.

    • Détermination de solutions particulières par la méthode des coefficients indéterminés dans des cas particuliers (B, Section 2.1 pp 55)

    • principe de superposition

    • Méthode de la variation de la constante pour déterminer une solution particulière en toute généralité (B Section 2.2)

  • Équations différentielles scalaires du 1er ordre à variables séparables x'=g(t)h(x) (B, Section 2.1)

  • Mise sous la forme d’une équation vectorielle du 1er ordre d’une équation différentielle d’ordre n. Accent sur le cas linéaire à coefficients constants

  • Exponentielles de matrices (P. 2.1.3)

    • Définition

    • Propriétés algébriques et analytiques

    • Méthodes de calculs. Rappels de réduction d’endomorphismes

    • Résolution de l’équation différentielle vectorielle homogène à coefficients constants.

    • Portraits de phase

  • Équations différentielles linéaires à coefficients constants

    • Adaptation de la méthode de la variation de la constante

    • Cas particulier d’une équation différentielle scalaire d’ordre n à coefficients constants.

    • Traitement complet d’un exemple

  • Système proie/prédateur et équation de Lodka-Volterra

  • Le pendule simple

    • Système physique, mise en equation

    • Comportement des solutions

  • Théorème de Cauchy-Lipschitz

Feuilles d’exercice : 1 2 3 4 5

Sujet de la première session 2016 et son corrigé

Sujet de la deuxième session 2016

Sujet de la première session 2017 et un commentaire

M2 Modèles de dimères et pavages aléatoires

Voici une courte bibliographie.

  • Kasteleyn, P. W., Dimer statistics and phase transitions, J. Mathematical Phys. 4 (1963) 287—​293

  • Kasteleyn, P. W., Graph theory and crystal physics, in Graph Theory and Theoretical Physics, Academic Press (1967) 43—​110

  • Johansson, Kurt, Non-intersecting paths, random tilings and random matrices, Probab. Theory Related Fields 123 no 2 (2002) 225—​280 arXiv

  • Kenyon, Richard and Okounkov, Andrei and Sheffield, Scott, Dimers and amoebae Ann. of Maths, second series 163 no 3 (2006) 1019—​1056 arXiv

  • Cohn, Henry and Kenyon, Richard and Propp, James, A variational principle for domino tilings, J. Amer. Math. Soc., 14 no 2 (2001) 297—​346 arXiv

  • Kenyon, Richard, Conformal invariance of domino tiling, Ann. Probab., 28, no 2 (2000) 759—​795 arXiv

  • Kenyon, Richard, Dominos and the Gaussian free field, Ann. Probab., 29 no 3, 128—​1137, arXiv