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Wednesday at 14:15, Sophie Germain 1016


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Groupe de Travail Modélisation Stochastique
Wednesday November 30, 2022, 2:15PM, Sophie Germain 1016
Sara Brofferio (Université Paris Est Créteil) Unicité de la mesure stationnaire pour des Systèmes de Fonctions Itérées de la droite

Un Système de Fonctions Itérées (IFS) est une chaine de Markov définie récursivement par des transformations aléatoires i.i.d. sur un espace donné. Ces types de processus apparaissent naturellement dans différents domaines des mathématiques. D'une part ce sont des modèles naturels en probabilité (plus ou moins appliqués), d'autre part leur comportement en mesure est strictement lié aux propriétés géométriques des (semi)-groupes générés par les transformations. Nous nous intéresserons aux mesures invariantes pour un IFS défini par itération d'homéomorphismes de la droite et je présenterai les résultats d'un travail en collaboration avec D. Buraczewski et T. Szarek, dans lequel nous établissons des conditions (relativement optimales) garantissant que le système admet une unique mesure invariante (éventuellement de masse infinie).



Year 2022

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Wednesday November 23, 2022, 2:15PM, Sophie Germain 1016
Camille Coron (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay) Poids des ancêtres dans une population biparentale

Notre but est d'étudier la composition génétique d'une population dans laquelle chaque individu a deux parents, qui contribuent à parts égales au génome de leur enfant. On modélise cette population par un modèle de Moran biparental, caractérisé par une taille de population N. Ensuite on échantillonne un gène dans la population au temps présent et on regarde la loi de sa position (l'ancêtre dans lequel il se trouve) n pas de temps plus tôt. On étudie la convergence de cette loi lorsque n puis N tendent vers l'infini. On obtient que le poids asymptotique d'un ancêtre, lorsque la taille de population tend vers l'infini, est soit égal à 0 (avec probabilité 1/2), soit suit une loi exponentielle de paramètre 1/2. Des extensions sont proposés dans des cas avec sélection, possibilité d'auto-fécondation, et transmission inégale du génome.

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Wednesday November 16, 2022, 2:15PM, Sophie Germain 1016
Pierre Le Bris (LJLL) Some recent results in propagation of chaos

Consider a system of N particles interacting with one another. We are interested in the limit, as N goes to infinity, of this particle system, trying to derive from a microscopic point of view (i.e the particle dynamics) a mesoscopic point of view (i.e a statistical description of the system). The notion of propagation of chaos refers to the phenomenon according to which, as N grows in the particle system, two given particles become « more and more » statistically independent. The goal of this talk is to show this phenomenon for various types of particle systems (depending on time) : either in a kinetic framework, or with singular interactions (2D vortex model or 1D log and Riesz gases), or with incomplete interactions (i.e in a graph). In the process, we will describe some current methods used in this field, and focus in particular on proving the convergence in N uniformly in time. This is based on joint work with A. Guillin and P. Monmarché, also mentioning some results with L. Colombani and C. Poquet.

Lien Zoom : https://u-paris.zoom.us/j/81178287932?pwd=SCtRUlg3dVJmSjRFWUpPNFBIRHh3QT09 ID de réunion : 811 7828 7932 Code secret : 781251

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Wednesday October 26, 2022, 2:15PM, Sophie Germain 1016
Matteo Tanzi (LPSM) Uniformly Expanding Coupled Maps: Self-Consistent Transfer Operators and Propagation of Chaos

Recently, much progress has been made in the mathematical study of self-consistent transfer operators describing the thermodynamic limit of globally coupled expanding maps. Existence of equilibrium measures (fixed points for the self-consistent transfer operator) has been established together with their stability under perturbations and linear response. One of the main questions remaining open is to which extent the thermodynamic limit describes the evolution of the finite dimensional system. More precisely, I will consider N uniformly expanding coupled maps when N is finite but large. I will introduce self-consistent transfer operators that approximate the evolution of measures under the dynamics, and quantify this approximation explicitly with respect to N. Using this result, I will prove that uniformly expanding coupled maps satisfy propagation of chaos when N tends to infinity, and characterize the absolutely continuous invariant measures for the finite dimensional system. The main working assumption is that the expansion is not too small and the strength of the interactions is not too large, although both can be of order one. In contrast with previous approaches, we do not require the coupled maps and the interactions to be identical. The technical advances that allow us to describe the system are: the introduction of a framework to study the evolution of conditional measures along some non-invariant foliations where the dependence of all estimates on the dimension is explicit; and the characterization of an invariant class of measures close to products that satisfy exponential concentration inequalities.

Retransmission Zoom : https://u-paris.zoom.us/j/81178287932?pwd=SCtRUlg3dVJmSjRFWUpPNFBIRHh3QT09 ID de réunion : 811 7828 7932 Code secret : 781251

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Wednesday October 19, 2022, 2:15PM, Sophie Germain 1016
Cristina Toninelli (CEREMADE) Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model: sharp threshold

The Fredrickson-Andersen 2-spin facilitated model (FA-2f) on Zd is a paradig- matic interacting particle system with kinetic constraints (KCM) featuring co- operative and glassy dynamics. For FA-2f vacancies facilitate motion: a particle can be created/killed on a site only if at least 2 of its nearest neighbors are empty. We will present sharp results for the first time, τ , at which the origin is emptied for the stationary process when the density of empty sites (q) is small: in any dimension d ≥ 2 it holds τ ∼ exp( dλ(d, 2) + o(1)q1/(d−1)) w.h.p., with λ(d, 2) the threshold constant for the 2-neighbour bootstrap perco- lation on Zd. This is the first sharp result for a critical KCM and settles various controversies accumulated in physics literature over the last four decades. We will explain the dominant relaxation mechanism leading to this result, give a flavour of the proof techniques, and discuss further results that can be obtained via our technique for more general KCM, including full universality results in two dimensions. [Joint work with I.Hartarsky and F.Martinelli]

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Wednesday October 12, 2022, 2:15PM, Sophie Germain 1016
Guillaume Chapuy (IRIF) Mots synchronisants dans les automates aléatoires, et w-arbres.

On considère un automate aléatoire à n états, c'est à dire le choix de deux fonctions aléatoires uniformes a,b de [n] dans [n]. Un mot w est dit synchronisant (“reset word”) s'il existe un état v_0 dans [n] tel qu'en lisant lettre-à-lettre le mot w depuis n'importe quel état, on arrive à l'état v_0. On démontre une conjecture de Kisielewicz, Kowalski, Szykula (2013) selon laquelle, avec proba tendant vers 1, il existe un mot synchronisant de longueur au plus \sqrt{n}^{1+o(1)}. La meilleure borne connue était quasilinéaire (Nicaud, 2016). Cela repose sur un théorème de structure un peu étonnant qui dit qu'avec grande proba, il existe un mot w très court (de longueur seulement 1.01log(n)) tel que les w-transitions induisent un arbre. J'expliquerai l'heuristique de la preuve et j'en profiterai pour énoncer quelques questions ouvertes sur ces “w-arbres” que nous introduisons, dont notre preuve trop technique est loin de révéler tous les secrets. Travail commun avec Guillem Perarnau (Barcelone), https://arxiv.org/abs/2207.14108.

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Thursday June 23, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Pierre Youssef (New York University in Abu Dhabi) Temps de mélange de la chaîne d'échange sur les graphes bipartites.

On considère la chaîne d'échange sur les graphes bipartite d-reguliers avec d fixé. Nous montrons des inégalités de Poincaré, Log-Sobolev, et Modified Log-Sobolev optimales. Ces inégalités impliquent que le temps de mélange de la chaîne est de l'ordre de n. log(n) améliorant les résultats de Kannan, Tetali, Vempala et Dyer et al. qui avaient montré des majorations de l'ordre de n^13 log n et n^7 log n respectivement. Ceci est un travail en collaboration avec Konstantin Tikhomirov.

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Thursday June 16, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Marco Zamparo (Università degli Studi di Bari Aldo Moro) Large deviation principles in renewal-reward processes

Renewal-reward processes describe some event that is continuously renewed over time, involving a reward at each occurrence. In this seminar, I will establish a sharp large deviation principle for renewal-reward processes supposing that rewards take values in a separable Banach space. My large deviation principle extends Cramér’s theorem to renewal theory. Some applications will be reviewed with special focus on renewal models of statistical physics, such as the Poland-Scheraga model of DNA denaturation, which are Gibbs changes of measure of a renewal process.

References:

M. Zamparo, Large deviations in discrete-time renewal theory,

Stoch. Process. Their Appl. 139 (2021) 80-109

M. Zamparo, Large deviations in renewal models of statistical mechanics, J. Phys. A: Math. Theor. 52 (2019) 495004

M. Zamparo, Critical fluctuations in renewal models of statistical mechanics, J. Math. Phys. 62 (2021) 113301

M. Zamparo, Large deviation principles for renewal-reward processes, submitted to Ann. Appl. Probab. (arXiv:2111.01679)

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Thursday June 2, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Clément Berenfeld (CEREMADE) Centrality Measures in Random Geometric Graphs

In the context of multivariate analysis, a data depth is meant to provide an ordering on the sample that encapsulates its outlyingness with respect to the underlying distribution. A natural method to build such a depth could be to form a neighbourhood graph on the sample, and then use a notion of graph centrality. We study the behaviour of the resulting processes in the large-sample limit for two popular centrality measures, namely the H-index and the coreness. These processes are shown to converge, under standard conditions on the connectivity radii, to new notions of depths.

(Joint work with Eddie Aamari and Ery Arias-Castro)

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Thursday May 19, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Yijun Wan (ENS) On massive perturbations of loop-erased random walks, the Ising model and dimer model

Over the past decade, there has been a lot of progress in the understanding of discrete models at criticality, such as the loop-erased random walk, the Ising model, and the dimer model, notably their scaling limits, in large parts due to the development of discrete complex analysis techniques and the introduction of the Schramm-Loewner evolution. Recently such convergence has also been obtained in the off-critical case by moving away from the critical temperature carefully. In this talk, I will talk about some massive perturbations of those models and related convergence results in the near-critical regime. This talk is based on joint works with Dmitry Chelkak and Sung-Chul Park.

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Thursday May 12, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Djalil Chafaï Processus de Dyson Ornstein Uhlenbeck : phénomène de convergence abrupte

Le processus de Dyson Ornstein Uhlenbeck est un système de particules browniennes en interaction avec une force de rappel linéaire et une interaction répulsive de paire proportionnelle à l'inverse de la distance. Ce processus a été découvert par Freeman Dyson lors de son étude dynamique de modèles de matrices aléatoires. L'exposé sera principalement consacré à un phénomène de convergence abrupte à l'équilibre, entre comportement en temps long et comportement en grand nombre de particules, en liaison avec des phénomènes d'universalité et de grande dimension. Référence : http://arxiv.org/abs/2107.14452 collaboration avec Jeanne Boursier et Cyril Labbé.

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Thursday April 21, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Quentin Berger (LPSM) Équation de la Chaleur Stochastique avec bruit (multiplicatif) de Lévy

Équation de la Chaleur Stochastique avec bruit (multiplicatif) de Lévy

Dans cet exposé, je présenterai le modèle de polymère dirigé en dimension 1+d, qui décrit un polymère placé dans un milieu hétérogène. Je donnerai un aperçu du modèle qui peut être vu comme une version discrète de l’Équation de la Chaleur Stochastique (ECS) avec bruit multiplicatif. J’expliquerai comment ce modèle discret peut être utilisé comme porte d’entrée pour comprendre l’ECS — ce qui a été fait dans le cas où le bruit admet un moment d’ordre 2 fini, ce qui correspond à un bruit gaussien. Je présenterai ensuite des résultats récents obtenus avec Carsten Chong (Columbia) et Hubert Lacoin (IMPA) à propos de l’ECS avec bruit de Lévy (à saut purs).

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Thursday April 14, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Sylvie Corteel (IRIF) Modèles de vertex colores et k-pavages par losange et dominos

Des modèles de vertex intégrables ont récemment été utilisés pour étudier diverses familles de polynômes symétriques et non symétriques. Dans cet exposé, nous définirons des modèles colorés, à partir desquels nous construirons des k-pavages de l'hexagone par des losanges ou du diamant azteque par des dominos. Un k-pavage est une superposition de k pavages de la meme region tel que chaque couple de pavages “interagit”. J'expliquerai dans cet expose ce que nous savons sur ces pavages et leur comportement asymptotique et j'expliquerai aussi toutes les questions ouvertes qu'on peut se poser quand on tire aleatoirement un k-pavage. Ceci est basé sur des travaux en collaboration avec Andrew Gitlin, David Keating et Jeremy Meza.

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Thursday April 7, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Lorenzo Zambotti (LPSM) La renormalisation: de la QFT aux EDPS

Dans les 10 dernières années il y a eu une activité très intense autour des EDP stochastiques qui nécessitent une procédure de renormalisation, comme la quantisation stochastique qui apparait en théorie quantique des champs (QFT). Dans cet exposé je vais sortir de ma zone de confort pour essayer de (comprendre et) raconter ce que signifie la renormalisation en QFT, en la comparant à la procédure analogue en analyse stochastique.

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Thursday March 31, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Anne-Laure Basdevant (Université Paris Nanterre) Coloriage d'un ensemble au plus proche voisin.

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Thursday March 17, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1016
Anna Ben-Hamou (LPSM) Cutoff pour les chaînes de Markov permutées

Une chaîne de Markov sur un espace d’états fini peut mettre très longtemps avant de converger vers sa mesure stationnaire. Une question qui se pose souvent est alors celle de l’accélération des chaînes de Markov: peut-on construire une perturbation simple de la chaîne qui garantisse un mélange rapide? Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la perturbation suivante: on se donne une bijection sur l’espace d’états, et l’on considère la chaîne qui alterne entre des sauts gouvernés par la chaîne initiale, et des sauts déterministes gouvernés par la bijection. Chatterjee et Diaconis (2020) ont montré que si la bijection satisfait une condition d’expansion par rapport à la chaîne initiale, alors le temps de mélange de la chaîne permutée est logarithmique en la taille de l’espace d’états, et que cette condition est satisfaite par presque toutes les bijections. Nous verrons que pour presque toute bijection, le temps de mélange peut même être caractérisé très précisément: la chaîne permutée présente un cutoff en un temps qui ne dépend que du taux d’entropie de la chaîne initiale.

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Thursday March 10, 2022, 10:45AM, Sophie Germain 1013
Davide Giraudo (Université de Strasbourg) Une inégalité exponentielle pour des U-statistiques de données indépendantes.

Nous fournirons une inégalité de déviation pour le maximum d'une U-statistique d'ordre $r$ de données indépendantes $(X_i)_{i\geq 1}$. Ceci permet de majorer la queue de cette variable aléatoire par deux termes : un terme exponentiel et un autre mettant en jeu la queue de la variable aléatoire $h(X_1,…,X_r)$, $h\colon\mathbb R^r\to\mathbb R$ étant le noyau de la U-statistique en question. Nous présenterons ensuite deux applications : une à l'estimation de la vitesse de convergence dans la loi des grands nombres et l'autre à des théorèmes limites fonctionnels dans des espaces hölderiens.

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Thursday February 24, 2022, 11:45AM, Zoom
Félix Foutel Rodier (Université de Québec Montréal) Convergence de généalogies via des méthodes spinales et un problème en génétique des populations

Le travail que je vais présenter dans cet exposé est motivé par l'étude d'un modèle de génétique des populations : le modèle de Wright-Fisher avec recombinaison. Dans un premier temps, j'introduirai un processus de branchement approximant la descendance d'un individu dans ce modèle. Il s'agit d'un objet intéressant où chaque individu possède un intervalle qui se fragmente au fil des générations, représentant un bout de chromosome soumis à la recombinaison. J'en donnerai quelques propriétés asymptotiques : limite jointe de la généalogie vue comme un espace métrique, de la distribution de la taille des intervalles et de la répartition des intervalles sur le chromosome.

Notre preuve de ces résultats se base sur une approche générale qui peut être vue comme une “méthode des moments” pour la convergence de la généalogie et des types dans un processus de branchement. Dans un second temps, j'exposerai les grandes lignes de cette approche, qui semble pouvoir s'appliquer à de nombreuses situations. Elle repose sur l'utilisation de la topologie de Gromov-faible en combinaison avec des techniques récentes de décompositions spinales.