Les processus de Hawkes sont des processus de comptage dont l'intensité dépend du processus lui même au travers d'une convolution avec un noyau $\phi.$ Utilisés initialement pour modéliser les répliques des tremblements de terre, ils fournissent de bons modèle tant pour des application à la biologie qu'en assurance ou en mathématiques financière. En 2015, Jaisson and Rosenbaum ont montré que lorsque l'intégrale du noyau converge vers 1, l'intensité re normalisée du processus de Hawkes converge vers un processus de Cox-Ingersoll-Ross en loi. Dans cet exposé ont présentera une borne sur la vitesse de convergence dans ce cadre, ainsi que des idées de preuve. cela repose en particulier sur la construction d'un couplage entre un drap brownien et une mesure martingale de Poisson. cet exposé s'appuye sur des travaux réalisés avec L. Decreusefond, B. Massat et A. Reveillac.

À l'époque des grandes données, de nombreux ensembles de données présentent des structures de dépendance spatiale ou spatio-temporelle complexes. Notre objectif est de développer des méthodes statistiques capables d’exploiter efficacement ces dépendances. En un premier temps, nous nous concentrons sur les processus de Hawkes spatio-temporels. De nombreuses données spatio-temporelles, notamment en sociologie ou épidémiologie, présentent des dynamiques auto-excitantes que les processus de Hawkes permettent de modéliser de manière précise et efficace. Pour faire face aux défis posés par les grands volumes de données, nous proposons une méthode d’inférence paramétrique rapide et flexible pour estimer les paramètres de la fonction d’intensité. Notre approche statistique repose sur trois ingrédients clés : (1) l'utilisation de fonctions noyaux à support fini, (2) la discrétisation du domaine spatio-temporel, et (3) des pré-calculs efficaces, éventuellement approximatifs. Nous présentons des expériences numériques sur des données spatio-temporelles, synthétiques et réelles (issues de la sismologie et de la criminologie). Dans un second temps, nous analysons le Krigeage simple sous l’angle de l’apprentissage statistique, en cherchant à prédire un champ aléatoire de covariance inconnue à partir d’un échantillon fini, tout en minimisant le risque quadratique. Du fait de la dépendance spatiale, l’analyse de la capacité de généralisation est un défi complexe. Nous établissons des bornes non asymptotiques sur l’excès de risque d’une règle plug-in, illustrées par des expériences numériques sur des données simulées.

Abstract: We study semi-infinite particle systems on the one-dimensional integer lattice, where each particle performs a continuous-time nearest-neighbour random walk, with jump rates intrinsic to each particle, subject to an exclusion interaction which suppresses jumps that would lead to more than one particle occupying any site. We review some results we have in collaboration with Mikhail Menshikov and Andrew Wade; these are mainly about the behaviour of the leftmost particle (namely, its transience/recurrence properties), and the rate of escape to infinity (in the transient case). Also we study this process in a random environment, i.e., when these parameters are chosen at random with some common distribution for all the particles, independently; then, we obtain results about the stable cloud decomposition of the system.