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Rappels sur les espaces de Hilbert

Soit $ H$ un espace de Hilbert complexe muni du produit scalaire $ \langle \ \rangle $. L'inégalité suivante, appelée inégalité de Schwarz, sera très souvent utilisée dans la suite du cours:

Proposition 1.1   Soit $ x$ et $ y$ des éléments de $ H$. On a alors:

$\displaystyle \vert\langle x,y\rangle \vert\leq \Vert x\Vert \,\Vert y\Vert $

Avec égalité si et seulement si $ x$ et $ y$ sont colinéaires.

La propriété suivante porte le nom de ''bicontinuité du produit scalaire'':

Proposition 1.2   Soit $ x_n$ et $ y_n$ deux suites dans $ H$ qui convergent respectivement vers $ x$ et $ y$. Alors la suite numérique $ \langle x_n,y_n\rangle $ converge vers $ \langle x,y\rangle $.

Définition 1.3   Soit $ A$ une partie de $ H$.

Proposition 1.4   Soit $ A$ une partie de $ H$. Alors:

$\displaystyle A^\perp=(\sigma(A))^\perp,\ \hbox{\ et\ \ } H=\sigma(A)\oplus A^\perp$

Cette proposition sera souvent utilisée sous la forme suivante:

Corollaire 1.5   Soit $ A$ une partie de $ H$.
  1. $ A$ est totale dans $ H$ si et seulement si $ A^\perp=\{0\}$.
  2. Soit $ x\in H$. Alors $ x\in \sigma(A)$ si et seulement si pour tout $ y\in A^\perp$ on a $ \langle x,y\rangle =0$.

La proposition suivante est généralement attribuée à Bessel et Parseval:

Proposition 1.6   Soit $ \{e_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ une famille orthonormée dans $ H$. Pour $ x\in H$ on pose $ x_\lambda=\langle x,e_\lambda\rangle $. On a alors:

$\displaystyle \sum_{\lambda\in\Lambda}\vert x_\lambda\vert^2\leq \Vert x\Vert ^2$

Si de plus la famille $ \{e_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ est totale dans $ H$ (on dit alors que c'est une base orthonormée) on a les égalités:

$\displaystyle \sum_{\lambda\in\Lambda}\Vert x_\lambda\Vert ^2= \Vert x\Vert ^2,\ \
\sum_{\lambda\in\Lambda}x_\lambda \overline{y_\lambda}= \langle x,y\rangle
$

Dans le cas d'un espace de Hilbert séparable (de dimension infinie) toute base est dénombrable et peut donc être indexée par l'ensemble $ {\mathbb{Z}}$. On a alors:

Proposition 1.7   Soit $ \{e_n\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}$ une base orthonormée de $ H$ . L'application $ x\longrightarrow \{x_n\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}$ est une application linéaire bijective et isométrique de $ H$ sur $ \ell^2(\mathbb{Z})$ , dont l'application réciproque est donnée par $ \{x_n\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}} \longrightarrow \sum_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}x_ne_n$.

Autrement dit, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à $ \ell^2(\mathbb{Z})$ . La notion de projection orthogonale sera fondamentale dans la suite du cours et résulte de la décomposition orthogonale de l'espace $ H$ donnée en 1.4 (2).

Proposition 1.8   Soit $ F$ un sous espace fermé de $ H$, on désigne par $ P_F(x)$ (projection orthogonale de $ x$ sur $ F$) la surjection continue de $ H$ sur $ F$ vérifiant les deux propriétés équivalentes:
  1. $ \langle x-P_F(x),y\rangle =0$ pour $ \forall y\in F$.
  2. $ \Vert x-P_F(x)\Vert =\inf_{y\in F}\Vert x-y\Vert $.

Dans la plupart des cas, on calcule une projection orthogonale en utilisant une base orthonormée:

Proposition 1.9   Soit $ \{e_n\}_{n\in{\hbox{$\scriptstyle\mathbb{Z}$}}}$ une base orthonormée de $ H$, telle que $ \{e_n\}_{n\leq p}$ soit une base orthonormée de $ F$, alors $ P_F(x)=\sum_{-\infty}^p \langle x,e_n\rangle e_n$

Il est facile de prouver la propriété de ``continuité`` suivante:

Proposition 1.10   Soit $ F_n$ une suite de sous espaces de l'espace de Hilbert $ H$ et $ x\in H$. On pose $ x_n=\hbox{\rm Proj}(x\vert F_n)$
  1. Si la suite $ F_n$ est décroissante et $ F=\cap_n F_n$ alors $ x_n$ converge vers $ \hbox{\rm Proj}(x\vert F)$.
  2. Si la suite $ F_n$ est croissante et $ F={\overline{\cup_n F_n}}$ alors $ x_n$ converge vers $ \hbox{\rm Proj}(x\vert F)$.

Nous terminons cette section par une propriété d'extension des isométries qui nous sera très utile.

Proposition 1.11   Soit $ F_1$ ( resp $ F_2$) un sous espace dense de l'espace de Hilbert $ H_1$ (resp $ H_2$). Alors si $ W$ est une application linéaire isométrique et surjective de $ F_1$ sur $ F_2$ elle se prolonge de façon unique en une isométrie de $ H_1$ sur $ H_2$

Les espaces de Hilbert les plus utilisés dans ce cours seront les espaces de suites ou de fonctions complexes de carré sommable.

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