Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques
année 2004-05
Processus stationnaires et prévision
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
















Processus stationnaires et prévision.



Mode d'emploi

Ce polycopié est destiné aux étudiants de l'U.E. ``Processus stationnaires et prévision'' du Master de Mathématiques de l'Université Pierre et Marie Curie. En principe il s'adresse donc à des étudiants ayant suivi un premier cours de probabilités. Cependant le chapitre 2 contient un rappel de tous les résultats probabilistes utilisés par la suite. Il est relativement autonome et peut éventuellement être abordé par un étudiant n'ayant jamais suivi de cours de probabilités. Le chapitre 1 introduit les principales notions de séries et transformations de Fourier, et comporte, en annexe, quelques éléments de la théorie classique du signal déterministe. Cette annexe qui, en principe, ne fait pas partie de ce cours, concerne néanmoins tous les étudiants désirant acquérir quelques notions de base de traitement du signal. Les chapitres 3, 5 et 6 sont consacrés aux deux sujets essentiels traités dans ce polycopié, à savoir l'étude spectrale des processus du second ordre et l'étude des séries chronologiques classiques: Ar, Ma, Arma ainsi que quelques éléments d'étude statistique de ces processus.

Un certain nombre de résultats sur la ``petite'' intégrale stochastique, figurant classiquement dans un cours sur les processus du second ordre, ont été rassemblés dans le chapitre 4 ``L'intégrale stochastique'', car ils ne sont pas vraiment nécessaires pour la compréhension des trois chapitres principaux, à savoir les chapitres 3, 5 et 6. Il est néanmoins vivement recommandé au lecteur d'en prendre connaissance.

Ce polycopié est divisé en chapitres, sections et sous-sections. Ainsi 3.2.4 renvoie au chapitre 3, section 2, sous-section 4 et 5.4 renvoie au chapitre 5, section 4. A l'intérieur d'une même section, les énoncés sont numérotés en continu. Ainsi ``d'après le th. 5.4.6'' renvoie au chapitre 5, section 4, énoncé 6. Quant aux égalités, elles sont numérotées entre parenthèses et en continu au sein d'un même chapitre. Ainsi ``vu (3.5)'' réfère à la cinquième égalité numérotée du chapitre 3. Le signe " $ \hspace{-0.25cm}{\qed}\;$" indique la fin d'une preuve. Paolo Baldi qui a enseigné ce cours en 04-05, s'est tout particulièrement attaché à le compléter par des procédures d'estimation dans les modèles Arma.

Jean Lacroix