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Théorie de Doeblin ``globale''

La théorie ``globale'' est en fait restreinte dans la plupart des applications au cas d'un espace d'états compact (ou fini) car sa définition est beaucoup trop restrictive en dehors de ces cas particuliers. Contrairement à la théorie ``locale'' on va obtenir très facilement la convergence de $ \hbox{\bf Q}^n(x,\bullet)$ vers la probabilité invariante avec une vitesse exponentielle, qui est indépendante du point de départ $ x$.


On n'envisage ici que l'action de $ \hbox{\bf Q}$ sur l'espace de Banach $ \hbox{${\cal B}_b$}(E)$ muni de la norme uniforme, alors qu'en fait cette technique s'applique à des espaces fonctionnels plus sophistiqués (par exemple des espaces de fonctions höldériennes) sur lesquels cet opérateur aura de ``bonnes propriétés spectrales''.

Définition 2.6.28   On dit qu'une probabilité de transition $ \hbox{\bf Q}$ vérifie la condition de Doeblin globale s'il existe $ \nu\in\hbox{${\cal M}^+_1$}(E)$ et $ p>0$ avec

$\displaystyle \hbox{\bf Q}(x,B)\geq p\nu(B),\hbox{\ \ pour tout \ } B\in{\cal E}
$

La constante $ p$ est nécessairement $ \leq 1$ et on supposera qu'elle est strictement plus petite que $ 1$ pour ne pas être dans le cas trivial $ \hbox{\bf Q}=\nu$. Il existe alors une probabilité de transition $ {\bf S}$ telle qu'en posant $ q=1-p$ on ait:

$\displaystyle \hbox{\bf Q}(x,B)=p\nu(B)+q{\bf S}(x,B)
$

On considère la topologie forte sur $ \hbox{${\cal M}_b$}(E)$ associée à la norme duale:

$\displaystyle \vert\vert\mu\vert\vert=\sup(\vert\mu(f)\vert\;;\;f\in\hbox{${\cal B}_b$}(E),\ \vert\vert f\vert\vert\leq 1)
$

L'espace $ \hbox{${\cal M}_b$}(E)$ est alors un espace de Banach réel et une probabilité  de transition définit un opérateur positif de norme $ 1$ sur $ \hbox{${\cal M}_b$}(E)$.

Théorème 2.6.29   Soit Q une probabilité de transition vérifiant la condition de Doeblin pour $ 0<p<1$. Il existe alors une unique probabilité invariante $ \lambda$ et pour tout $ \mu\in\hbox{${\cal M}^+_1$}(E)$ on a:

$\displaystyle \vert\vert\mu\hbox{\bf Q}^n -\lambda\vert\vert\leq 2q^n
$

De plus $ \lambda=p\sum_{n=0}^\infty q^n\nu{\bf S}^n$

Indications de preuve:
Une probabilité $ \lambda$ est invariante si et seulement si $ \lambda=p\nu+q\lambda{\bf S}$ soit encore $ \lambda(I-q{\bf S})=p\nu$. Or puisque $ {\bf S}$ est un opérateur de norme $ 1$, $ (I-q{\bf S})$ est inversible dans $ \hbox{${\cal M}_b$}(E)$ et d'inverse $ \sum_{n=0}^\infty
q^n{\bf S}^n$ ce qui fournit l'unicité de $ \lambda$ et son et la formule $ \lambda=
p(\sum_{n=0}^\infty
q^n\nu{\bf S}^n)$. Il reste à prouver la convergence exponentielle de $ \mu\hbox{\bf Q}^n$ mais ceci résulte de la formule:

$\displaystyle \hbox{\bf Q}^n(x,\bullet)=p\nu\sum_{k=0}^{n-1}q^k{\bf S}^k+q^n{\bf S}^n(x,\bullet)
$

qui s'obtient facilement par récurrence. Et alors:

$\displaystyle \lambda-\mu\hbox{\bf Q}^n=p\nu(\sum_{k=n}^\infty q^k{\bf S}^k)-q^n\mu{\bf S}^n
=q^n(\lambda -\mu){\bf S}^n
$

$ \Box$


Un exemple typique d'une telle situation est le suivant:


Pour $ n\geq 1$ soit $ (A_n,B_n,C_n)$ des variables aléatoires toutes indépendantes entre elles et telles que:

On se donne de plus une fonction $ f$ mesurable de $ E\times F$ dans $ E$ et on considère la suite $ X_n$ de variables aléatoires à valeurs dans $ E$ vérifiant:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
X_{n+1}=C_{n+1} & \hbox{\ si\ } A_{n+1}=1\\
X_{n+1}=f(X_n,B_{n+1}) & \hbox{\ si\ } A_{n+1}=0
\end{cases}\end{displaymath}

On note $ {\bf S}$ la fonction de transition de la chaîne $ Z$ définie par $ Z_{n+1}=f(Z_n,B_{n+1})$. Alors $ X_n$ est une chaîne de Markov de transition $ \hbox{\bf Q}=p\nu+q{\bf S}$.


Corollaire 2.6.30   Soit Q une probabilité de transition et $ k$ un entier $ \geq 1$ tels que $ \hbox{\bf Q}^k$ vérifie la condition de Doeblin. Il existe alors une unique probabilité invariante $ \lambda$. De plus il existe des constantes $ C<\infty$ et $ 0<\rho<1$ tels que:

$\displaystyle \vert\vert\mu\hbox{\bf Q}^n -\lambda\vert\vert\leq C\rho^n,\hbox{\ \ pour tout\ }\mu\in\hbox{${\cal M}^+_1$}(E)
$

Les hypothèses de ce corollaire sont en particulier vérifiées sur un espace d'états fini lorsqu'il existe une puissance de la matrice de transition possèdant une colonne strictement positive.

Indications de preuve:
On pose $ {\bf R}=\hbox{\bf Q}^k$. Il existe donc une probabilité $ {\bf R}$ invariante $ \lambda$ avec $ \vert\vert\mu{\bf R}^{n}-\lambda\vert\vert\leq 2q^n$ pour toute probabilité $ \mu$. Si on choisit $ \mu=\lambda\hbox{\bf Q}$ alors

$\displaystyle \mu{\bf R}^{n}=\lambda\hbox{\bf Q}^{nk+1}=
(\lambda{\bf R}^{n})\hbox{\bf Q}=\lambda\hbox{\bf Q}$

et l'on obtient donc que $ \lambda$ est Q invariante. Il suffit ensuite d'écrire que si $ n=kp+r$ avec $ 0\leq r\leq k-1$ on a:

$\displaystyle \vert\vert\mu\hbox{\bf Q}^n-\lambda\vert\vert=\vert\vert\mu\hbox{...
...rt\vert=
\vert\vert\mu\hbox{\bf Q}^{pk}-\lambda\vert\vert\leq 2q^p\leq C\rho^n
$

avec $ \rho=q^{1/k}$ et $ C=2/q$. $ \Box$


Remarque
Une chaîne satisfaisant à la conclusion du Corollaire 2.6.30 est nécessairement de Harris. En effet, pour un ensemble mesurable $ B$ avec $ \lambda(B)=2\alpha>0$ il existe $ N$ tel que $ \hbox{\bf Q}^N(x,B)\geq \alpha$ et donc $ \hbox{$\mathbb{P}$}_x(T_B<\infty)\geq \alpha$ pour tout $ x\in E$. En utilisant la proposition 2.3.19 on obtient que $ \hbox{${\large\bf 1}_{\{N_B=\infty\}}$}\geq \alpha$, $ \hbox{$\mathbb{P}$}_x$ p.s. pour tout $ x\in E$ et par conséquent $ \hbox{$\mathbb{P}$}_x(N_B=\infty)=1$.




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