I. Filtrations en temps négatif / II. Systèmes dynamiques et musique ANR

schedule le mardi 15 octobre 2019 de 09h17 à 09h17

Organisé par : David Burguet, Yves Coudene et Pierre-Antoine Guiheneuf

Intervenant : Paul Lanthier (LMRS)
Lieu : Salle Paul Levy (Jussieu salle 16.26.209)

Sujet : Filtrations en temps négatif / Systèmes dynamiques et musique ANR

Résumé :

I. L’étude des filtrations est une théorie largement étudiée et l’une des branches de cette dernière est

l’étude de la classification. Un des pionniers de la classification des filtrations est A.Vershik dont les

travaux ont été étendus par S.Laurent. Nous sommes intéressés ici par des filtrations naturelles donc

engendrées par des processus stochastiques qui seront indexés par des temps négatifs. Les travaux de

classification de Vershik et Laurent sont valables pour des espaces de probabilités. L’aspect innovant de

ce travail est l’extension des travaux existants sur la classification des filtrations en temps négatif valable

pour des espaces de probabilités vers les systèmes dynamiques, c’est à dire en ajoutant une transformation.

L’exemple des filtrations naturelles engendrées par deux versions d’un automate cellulaire sera

utilisé.


II. En quoi peut on mêler systèmes dynamiques et composition musicale?

Une part importante de l’histoire de la musique occidentale repose dans l’exploitation d’un matériau de

départ, un point x subissant des transformations diverses au cours du temps. Parmi ces dernières, on

peut citer les inverses, les opposés ou les permutations, utilisées dans les fugues de J-S Bach par exemple.

L’idée d’itérer une transformation ou d’étudier une dynamique en partant d’un point de départ est une

étape naturelle. On considère un triplet (X, T, T ) où X est un ensemble, appelé espace d’état par exemple

X peut être un espace de courbes à valeur dans une partie de R+ R+ , T  R un monoïde, appelé

espace du temps et T : X T ! X une fonction avec

8t1, t2 2 T : T(x, 0) = x

T

􀀀

T(t1, x), t2

= T(x, t1 + t2)

Nous avons réalisé avec Rodolphe Bourotte une réactualisation des travaux de Iannis Xenakis qui avait

inventé une machine pour dessiner et mathématiser la musique trente ans auparavant. Le logiciel

créé, nommé UPISketch permet de placer n’importe quelle courbe ou point temporellement et fréquentiellement.

Un exemple venant de la théorie ergodique et des automates cellulaires en particulier sera

utilisé comme exemple pour motiver ce projet, il s’agit d’une transformation visant à itérer le calcul

d’intervalles (rapports de fréquences) sur une mélodie donnée (une suite de fréquences).



 Résumé